勾股定理題型總結(jié)83533

1、勾股定理題型總結(jié)83533-標(biāo)）隹化文件發(fā)布號(hào)：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII勾股定理知識(shí)技能和題型歸納（一）一一知識(shí)技能一、本章知識(shí)內(nèi)容歸納1、勾股定理一一揭示的是平面幾何圖形本身所蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系。（1）重視勾股定理的敘述形式：直角三角形直角邊上的兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊上的正方形的面積直角三角形斜邊長(zhǎng)度的平方，等于兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度平方之和.從這兩種形式來(lái)看，有“形的勾股定理”和“數(shù)的勾股定理”之分。（2）定理的作用：已知直角三角形的兩邊，求第三邊。證明三角形中的某些線段的平方關(guān)系。作長(zhǎng)為、打的線段。（利用勾股定理探究長(zhǎng)度為呀,t3,的無(wú)理數(shù)線

2、段的幾何作圖方法，并在數(shù)軸上將這些點(diǎn)表示出來(lái)，進(jìn)一步反映了數(shù)與形的互相表示，加深對(duì)無(wú)理數(shù)概念的認(rèn)識(shí)。）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的證明方法，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)三角形與直角三角形全等，達(dá)到證明某個(gè)角為直角的目的。（2）逆定理的作用：判定一個(gè)三角形是否為直角三角形。（3）勾股定理的逆定理是把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，是利用代數(shù)計(jì)算來(lái)證明幾何問(wèn)題。要注意敘述及書(shū)寫格式。運(yùn)用勾股定理的逆定理的步驟如下：首先確定最大的邊（如c）驗(yàn)證a2 + b2與c2是否具有相等關(guān)系：若a2 + b2 = c2，則&是以NC為90的直角三角形。若a2 + b2 c2，則&不是直角三角形。補(bǔ)充知識(shí)：當(dāng)a 2 + b 2 c

3、2時(shí)，則是銳角三角形；拶2 + b 2 vc2時(shí)，則是鈍角三角形。（4）通過(guò)總結(jié)歸納，記住一些常用的勾股數(shù)。如：3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 8，15，17； 9，40，41； 以及這些數(shù)組的倍數(shù)組成的數(shù)組。勾股數(shù)組的一般規(guī)律：丟番圖發(fā)現(xiàn)的：式子m2 - n2,2mn,m2 + n2（m n的正整數(shù)）畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的：2n + 1,2n2 + 2n,2n2 + 2n +1 （ n 1的整數(shù)）柏拉圖發(fā)現(xiàn)的：2n,n2 -1,n2 +1 （n 1的整數(shù)）3、勾股定理與勾股定理逆定理的關(guān)系（1）注意分清應(yīng)用條件：勾股定理是由直角得到三條邊的關(guān)系，勾股定理逆定理則是由邊的關(guān)系來(lái)判斷一

4、個(gè) 角是否為直角。（2）根據(jù)課標(biāo)要求，對(duì)原命題、逆命題及命題之間的關(guān)系只要求根據(jù)例子了解即 可，不必專門訓(xùn)練.二、本章解題技能歸納1、直角三角形的性質(zhì)與判定小結(jié)（1）直角三角形的性質(zhì)：角的關(guān)系：直角三角形兩銳角互余。邊的關(guān)系：直角三角形斜邊大于直角邊。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。邊角關(guān)系：直角三角形中，30的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。雙垂圖：雙垂圖中的線段關(guān)系。（2）直角三角形的判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。兩邊的平方和等于第三邊（最長(zhǎng)的邊）的平方的三角形是直角三角形。2、已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)

5、，會(huì)求第三邊長(zhǎng)設(shè)直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊長(zhǎng)為c，由勾股定理知道：a2 + b2 = c2。變形得：a = . c2 b2,b = ：c2 a2,c = a2 + b2，因此已知直角三角形的任意兩邊，利用勾股定理可求出第三條邊。3、當(dāng)直角三角形中含有30。與45角時(shí)，已知一邊，會(huì)求其它的邊（1）含有30的直角三角形的三邊的比為：1： /3 : 2。（2）含有45。的直角三角形的三邊的比為：1:12。3a3（3）等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則高為 ，面積為廠a 2。24三、閱讀與思考“希波克拉底月牙形”(1)AB如左圖:NC=90，圖中有陰影的三個(gè)半圓 的面積S1,S2,S3有什么關(guān)系？ 答：

6、（2）如圖：NC=90，ABC的面積為20，在AB的同側(cè)，分別以AB,BC,AC為直徑作三個(gè)半圓，則陰影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面積為勾股定理知識(shí)技能和題型歸納(二)題型一、基礎(chǔ)練習(xí)(要求熟練掌握)1、在NABC中，a, b,c為三邊長(zhǎng).當(dāng)NA=90時(shí)，三邊關(guān)系.當(dāng)NC=90。時(shí)，三邊關(guān)系.(3)當(dāng) a 2 + c 2 = b 2 時(shí)，=90 .2、如圖，在 RtAABC 中，乙C=90, BC=afAC=bfAB=c.已知 a=5,b=12，則 c=;已知 b=6, c=10,則 a=已知 a=2,c=v 5，則 b=;已知 a=15,b=20, ABC 的周長(zhǎng)=;已知 a=2, c

7、 =2.5,則ABC 的面積=;已知 a: c =3:5, a+ c =32,則 b=; 已知c =10, a: b=3:4,則a=, b=，斜邊上的高=3、已知 ABC是直角三角形，AC=3, BC=5,求AB的長(zhǎng)。4、在 ABC 中，乙C=90, AB=20。(1)若 ZB=45，求 BC、AC(2)若 ZA=60,求 BC、AC。5、求下列圖中未知數(shù)隊(duì)八z的值：x=y=z=二、與其它章節(jié)知識(shí)的聯(lián)系6、在&的三邊 a,b,c，且a2c2 -b2c2 = a4 -b4，判斷&的形狀。7、若&的三邊a,b,c 滿足條件a2 + b2 + c2 + 338 = 10a + 24b + 26c，判

8、斷 ABC的形狀。8、 ABC 的三邊 a, b, c ,滿足 a 2 + b2 +100 = 12b + 16a, c 邊的長(zhǎng)是2尤5=3 + 的解，求ABC中最大角的度數(shù)。x - 5x - 59、用本章學(xué)過(guò)的知識(shí)判斷直線 y = 3x + 3與y = -3x + 3的位置關(guān)系，說(shuō)明理 由。10、在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時(shí)8海里的速度 前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到 M島，乙船到尸島，兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？11、為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設(shè)一邊長(zhǎng)為10米的等腰三 角形綠地，請(qǐng)你

9、求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。12、如圖，鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距25 千米，C、D為兩個(gè)村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DAAB于 A, CBAB于B, DA=15千米，CB=10千米，現(xiàn)要在鐵 路上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E,使得C、D兩村到E的 的距離相等，則E應(yīng)建在距A多少千米處？13、在河L的同側(cè)有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)A、B相距1640米，其中A距河21。米，B距河570 米，現(xiàn)要在河岸上建一個(gè)貨運(yùn)碼頭，使得兩倉(cāng)庫(kù)到碼頭的路程和最短，問(wèn)：這個(gè)最短路程是多少碼頭應(yīng)建在何處三、典型數(shù)學(xué)思想、方法的訓(xùn)練（一）方程思想進(jìn)行計(jì)算14、小明用一根長(zhǎng)30厘米的繩子折成三段，圍成一個(gè)三角形，他用尺子量了一下，

10、其中一條線段的長(zhǎng)度比較短線段長(zhǎng)7厘米，比較長(zhǎng)線段短1厘米，請(qǐng)你幫助小 明判斷一下，他圍成的三角形是宜角三角形嗎15、已知 ABC 中，/ C=90 , D、E 分別為 BC、AC 的中點(diǎn)，AD=5 , BE= 210，求 AB 的長(zhǎng).16、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦， 它高出水面1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的 水面。這個(gè)水池的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別為多少？17、如圖所示.已知：在正方形ABCD中，/BAC的平分線交BC于E,EAFG 2作EF上AC于F,作FGAB于G.求的值.AB 2（二）構(gòu)造直角三角形18、已知 AB

11、C 中，AB=8, AC=7, BC=6，求 ABC的面積。19、已知 ABC 中，乙B=30,ZC=45, ABAC=2- 2，求BC 的長(zhǎng)。20、已知：如圖，AB=AC=20, BC=32,D為BC邊上一點(diǎn)，/DAC=90 .求BD的長(zhǎng).21、（1）寫出三種用“構(gòu)造斜邊長(zhǎng)為k7的直角三角形的方法”作長(zhǎng)為7的線 段的方案。（2）能否通過(guò)“構(gòu)造直角邊長(zhǎng)為、亓的直角三角形的方法” 來(lái)作長(zhǎng)為t7的線 段？若能，寫出三角形的三邊；若不能，說(shuō)明理由。（3）在（1）中，作長(zhǎng)為*7的線段，往往需要先作出其它長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段才能 求出長(zhǎng)為7的線段，對(duì)于正整數(shù)k，能否通過(guò)構(gòu)造兩邊均為有理數(shù)的直角三角形 求出作

12、長(zhǎng)為的線段？若能，請(qǐng)寫出此時(shí)三角形三邊之間的關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō) 明理由。（三）勾股定理與變換22、已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C處，BC與AD交于點(diǎn) E，AD=8, AB=4，求 DE 的長(zhǎng)。CEA23、（2004年荊州中考）一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股 定理的一種證明方法。如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到AB C D的位置，連結(jié)cc ，設(shè)AB =。, BC = b, AC = c，請(qǐng)利用四邊形BCCD的面積證明勾股 定理。24XAABC 中,CD 是 AB 邊上的中線，AC=8, BC=6, CD=5，判斷 AABC 的形 狀。（四）面積法:h

13、 .h .h,h h25、設(shè)1 2 3表示三角形的三條高，如果（-）2 + （汁）2 1 ，那么這個(gè)三角I Lf L形是什么三角形？26、證明：直角三角形的斜邊與斜邊上的高的和大于兩直角邊之和。27、已知：平面宜角坐標(biāo)系xOy 內(nèi)，點(diǎn) A (-3v3,0), B (、3，0 ), C(0,-3),判斷阪BC的形狀并說(shuō)明理由；若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(OB,求證：AC2 + BD2 = AD2 + BC2 ； AC2 - BC2 = AD2 - BD2.CMDLAB 于 G, MEBC 于 K, MF1CA 于 H, BD=BE, CE=CF，求證：AD=AF;第33題圖（六）圖形的割、補(bǔ)與拼圖33、已知

14、：如圖，四邊形ABCD中，AB=3, BC=4,CD=5, AD=5 2 , ZB=90，求四邊形 ABCD 的面積。第34題圖34、一塊四邊形的草地ABCD,其中ZA=60 ZB=ZD=90 , AB=20m, CD=10m,求這塊草地的面積.35、有十字形，它由五個(gè)全等的正方形組成，如圖所示，你能把它切成三塊，拼成 一個(gè)長(zhǎng)是寬的2倍的長(zhǎng)方形嗎（先計(jì)算，再拼圖）備用圖：PPP36、現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5,寬為2的紙片，請(qǐng)你將它分割成6塊，再合并成一個(gè)正方 形，要求先畫(huà)出分割線，再拼成正方形并證明你的方法的正確性。（七）運(yùn)動(dòng)、開(kāi)放與探究37、在左ABC中，設(shè)BC =。, AC = b,BA = c

15、,當(dāng)ZC=90。時(shí)，根據(jù)勾股定理有a 2 + b 2 = c 2 ；若左ABC不是直角三角形，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a 2 + b 2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。38、如圖，M是RtAABC斜邊AB的中點(diǎn),判斷PQ、AP與BQ判斷PQ、AP與BQ的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.PMQP、Q分別在AC BC上，PM上MQ,39.AABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，猜想AP2 + PB - PC的值是否 隨點(diǎn)P位置的變化而變化，并證明你的猜想.40、已知：矩形ABCD .（四個(gè)角是宜角）？為矩形內(nèi)一點(diǎn)（如圖a）,求證：PA 2 + PC 2 = PB 2 + PD 2;探索P運(yùn)動(dòng)到AD邊上（如圖2、矩形ABCD外（如圖c）時(shí)，結(jié)論是否仍然成 立.41、探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：(3 , 4 , 5)(5, 12, 13)(7 , 24 , 25)(9 , 40 , 41)