2018年高考數(shù)學(xué)專題40拋物線熱點(diǎn)題型和提分秘籍理

1、PAGE PAGE - 30 -專題40 拋物線1掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)。2理解數(shù)形結(jié)合的思想。3了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用。熱點(diǎn)題型一 拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例1、【2017課標(biāo)II，理16】已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)。若為的中點(diǎn)，則 ?！敬鸢浮?【解析】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，作與點(diǎn)，與點(diǎn)，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故【變式探究】(1)已知點(diǎn)M(3,2)，F(xiàn)為拋物線y22x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上移動(dòng)

2、，當(dāng)|PM|PF|取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_。(2)已知拋物線y22px，以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是()A相離 B相交C相切 D不確定解析：(1)如下圖，由定義知|PF|PE|，故|PM|PF|PM|PE|ME|MN|3eq f(1,2)。顯然，只有當(dāng)點(diǎn)P在由點(diǎn)M向準(zhǔn)線所作的垂線上時(shí)，距離之和最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)?！咎岱置丶颗c拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的解題策略該類問(wèn)題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)。實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化。(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問(wèn)題得解。(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距

3、離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決。(3)引入變量，建立目標(biāo)函數(shù)，利用不等式或者函數(shù)性質(zhì)求解。【舉一反三】 已知拋物線C：y2x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|eq f(5,4)x0，則x0()A1 B2 C4 D8解析：由題意知拋物線的準(zhǔn)線為xeq f(1,4)。因?yàn)閨AF|eq f(5,4)x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0eq f(1,4)|AF|eq f(5,4)x0，解得x01，故選A。答案：A熱點(diǎn)題型二 拋物線的幾何性質(zhì) 例2、【2017課標(biāo)1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與

4、C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D10【答案】A【解析】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得， ，同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取等號(hào). 【變式探究】(1)已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若雙曲線的離心率為2，AOB的面積為eq r(3)，則p()A1 B.eq f(3,2) C2 D3(2)已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)若eq o(FP,

5、sup6()4eq o(FQ,sup6()，則|QF|()A.eq f(7,2) B.eq f(5,2) C3 D2【提分秘籍】 1涉及拋物線幾何性質(zhì)的問(wèn)題常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性。2求拋物線方程應(yīng)注意的問(wèn)題(1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種；(2)要注意把握拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用它的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題?！九e一反三】 從拋物線x24y上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|5，設(shè)拋物線

6、的焦點(diǎn)為F，則MPF的面積為_。解析：設(shè)P(x0，y0)。由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為y1，|PM|PF|5，y04，代入拋物線方程得|x0|4。SMPFeq f(1,2)|PM|x0|eq f(1,2)5410。答案：10熱點(diǎn)題型三 直線與拋物線的位置關(guān)系 例3.【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).（）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）求證：A為線段BM的中點(diǎn).【答案】（）方程為，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（）詳見

7、解析.【解析】（）由拋物線C： 過(guò)點(diǎn)P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（）由題意，設(shè)直線l的方程為（），l與拋物線C的交點(diǎn)為， .由，得.則， .因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)椋?故A為線段BM的中點(diǎn).【變式探究】已知過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為2eq r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點(diǎn)，且|AB|9。(1)求該拋物線的方程。(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()e

8、q o(OB,sup6()，求的值。解析：(1)由題意得直線AB的方程是y2eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(p,2)，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20，所以x1x2eq f(5p,4)。由拋物線定義得|AB|x1x2peq f(5p,4)p9，所以p4，從而拋物線的方程是y28x。(2)由p4知4x25pxp20可化為x25x40，從而x11，x24，y12eq r(2)，y24eq r(2)，從而A(1，2eq r(2)，B(4,4eq r(2)。設(shè)eq o(OC,sup6()(x3，y3)(1，2eq r(2)(4,4eq r(2)(41,4eq r

9、(2)2eq r(2)，又yeq oal(2,3)8x3，所以2eq r(2)(21)28(41)，即(21)241，解得0或2?！咎岱置丶拷鉀Q直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的常用方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系。(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式。(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法。提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解?！九e一反三】 設(shè)F為拋物

10、線C：y23x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|()A.eq f(r(30),3) B6 C12 D7eq r(3)解析：拋物線C：y23x的焦點(diǎn)為Feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，0)，所以AB所在的直線方程為yeq f(r(3),3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,4)，將yeq f(r(3),3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,4)代入y23x，消去y整理得x2eq f(21,2)xeq f(9,16)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2eq f(21,2)，由拋物線

11、的定義可得|AB|x1x2peq f(21,2)eq f(3,2)12，故選C。答案：C 1.【2017課標(biāo)1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D10【答案】A【解析】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得， ，同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取等號(hào).2.【2017課標(biāo)II，理16】已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)。若為的中點(diǎn)，則 ?！敬鸢浮?【解析】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于

12、點(diǎn)，作與點(diǎn)，與點(diǎn)，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故3.【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).（）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）求證：A為線段BM的中點(diǎn).【答案】（）方程為，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（）詳見解析.【解析】（）由拋物線C： 過(guò)點(diǎn)P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（）由題意，設(shè)直線l的方程為（）

13、，l與拋物線C的交點(diǎn)為， .由，得.則， .因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所?故A為線段BM的中點(diǎn).1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選A4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，,則的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A5.【2016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C

14、1：+y2=1(m1)與雙曲線C2：y2=1(n0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（ ）Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Cm1 Dmn且e1e20），以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限，故雙曲線的方程為，故選D.13.【2016高考山東理數(shù)】已知雙曲線E： （a0，b0），若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是_.【答案】2【

15、解析】假設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第二象限，則，所以，由，得離心率或（舍去），所以E的離心率為2.14.【2016年高考北京理數(shù)】雙曲線的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則_.【答案】2【解析】是正方形，即直線方程為，此為雙曲線的漸近線，因此，又由題意，故填：227. 【2016高考上海理數(shù)】（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)且與雙曲線交于兩點(diǎn)。（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率. 【答案】（1）（2）.

16、（2）由已知，設(shè)，直線顯然由，得因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，且設(shè)的中點(diǎn)為由即，知，故而，所以，得，故的斜率為1.【2015高考福建，理3】若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則 等于（）A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】由雙曲線定義得，即，解得，故選B2.【2015高考四川，理5】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則（ ）(A) (B) (C)6 （D）【答案】D【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)F與x軸垂直的直線為，漸近線方程為，將代入得：.選D.3.【2015高考廣東，理7】已知雙曲線：的離心率，且其右焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（ ）A B.

17、 C. D. 【答案】B【解析】因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為且離心率為，所以，所以所求雙曲線方程為，故選B4.【2015高考新課標(biāo)1，理5】已知M（）是雙曲線C：上的一點(diǎn)，是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是( )（A）（-，） （B）（-，）（C）（，） （D）（，）【答案】A【解析】由題知，所以= =，解得，故選A.5.【2015高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則（ ）A對(duì)任意的， B當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，C對(duì)任意的， D當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】依題意，因?yàn)?，由于，所以?dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，而，所以，所以.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.6.【2

18、015高考重慶，理10】設(shè)雙曲線（a0,b0）的右焦點(diǎn)為1，過(guò)F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過(guò)B,C分別作AC，AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A、 B、C、 D、【答案】A【解析】由題意，由雙曲線的對(duì)稱性知在軸上，設(shè)，由得，解得，所以，所以，因此漸近線的斜率取值范圍是，選A.7.【2015高考安徽，理4】下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由題意，選項(xiàng)的焦點(diǎn)在軸，故排除，項(xiàng)的漸近線方程為，即，故選C.8.【2015高考新課標(biāo)2，理11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M

19、在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為（ ）A B C D【答案】D9.【2015高考北京，理10】已知雙曲線的一條漸近線為，則【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，,則10【2015高考湖南，理13】設(shè)是雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)，使線段的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的離心率為 .【答案】.【解析】根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，短軸端點(diǎn)為，從而可知點(diǎn)在雙曲線上，.11.【2015高考浙江，理9】雙曲線的焦距是 ，漸近線方程是 【答案】，.【解析】由題意得：，焦距為，漸近線方程為.12.【2015高考上海，理9】已知點(diǎn)和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分別為雙曲線和

20、若的漸近線方程為，則的漸近線方程為 【答案】【解析】由題意得：，設(shè)，則，所以，即的漸近線方程為13.【2015江蘇高考，12】在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。若點(diǎn)到直線的距離大于c恒成立，則是實(shí)數(shù)c的最大值為 .【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)橹本€平行于漸近線，所以點(diǎn)到直線的距離恒大于直線與漸近線之間距離，因此c的最大值為直線與漸近線之間距離，為。1（2014湖北卷）已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且F1PF2eq f(,3)，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A.eq f(4r(3),3) B.eq f(2r(3),3) C3 D2【答案】A2

21、（2014北京卷）設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2)，且與eq f(y2,4)x21具有相同漸近線，則C的方程為_；漸近線方程為_【答案】eq f(x2,3)eq f(y2,12)1y2x【解析】設(shè)雙曲線C的方程為eq f(y2,4)x2，將(2，2)代入得eq f(22,4)223，雙曲線C的方程為eq f(x2,3)eq f(y2,12)1.令eq f(y2,4)x20得漸近線方程為y2x.3（2014全國(guó)卷）已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1()A.eq f(1,4) B.eq f(1,3) C.eq f(r(2),4) D.eq

22、f(r(2),3)【答案】A【解析】根據(jù)題意，|F1A|F2A|2a，因?yàn)閨F1A|2|F2A|，所以|F2A|2a，|F1A|4a.又因?yàn)殡p曲線的離心率eeq f(c,a)2，所以c2a，|F1F2|2c4a，所以在AF1F2中，根據(jù)余弦定理可得cosAF2F1eq f(|F1F2|2|F2A|2|F1A|2,2|F1F2|F2A|)eq f(16a24a216a2,24a2a)eq f(1,4).4（2014福建卷）已知雙曲線E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的兩條漸近線分別為l1：y2x，l2：y2x.(1)求雙曲線E的離心率(2)如圖16，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)

23、直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)(A，B分別在第一、四象限)，且OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說(shuō)明理由圖16【解析】解：方法一：(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為y2x，y2x，所以eq f(b,a)2，所以eq f(r(c2a2),a)2，故ceq r(5)a，從而雙曲線E的離心率eeq f(c,a)eq r(5).(2)由(1)知，雙曲線E的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,4a2)1.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C.當(dāng)lx軸時(shí)，若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則|OC|a，|AB|4a.又因

24、為OAB的面積為8，所以eq f(1,2)|OC|AB|8，因此eq f(1,2)a4a8，解得a2，此時(shí)雙曲線E的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.以下證明：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E：eq f(x2,4)eq f(y2,16)1也滿足條件設(shè)直線l的方程為ykxm，依題意，得k2或k2，則Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(m,k)，0).記A(x1，y1)，B(x2，y2)由eq blc(avs4alco1(ykxm，,y2x)得y1eq f(2m,2k)，同理得y2

25、eq f(2m,2k).由SOABeq f(1,2)|OC|y1y2|，得eq f(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(m,k)eq blc|rc|(avs4alco1(f(2m,2k)f(2m,2k)8，即m24eq blc|rc|(avs4alco1(4k2)4(k24)由eq blc(avs4alco1(ykxm，,f(x2,4)f(y2,16)1)得(4k2)x22kmxm2160.因?yàn)?k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因?yàn)閙24(k24)，所以0，即l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E

26、的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.方法二：(1)同方法一(2)由(1)知，雙曲線E的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,4a2)1.設(shè)直線l的方程為xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依題意得eq f(1,2)meq f(1,2).由eq blc(avs4alco1(xmyt，,y2x)得y1eq f(2t,12m)， 同理得y2eq f(2t,12m).設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C，則C(t，0)由SOABeq f(1,2)|OC|y1y2|8，得eq f(1,2)|t|eq blc|rc|(avs4alco1(f(2t,12m)f(2t,12m)8.所以t2

27、4|14m2|4(14m2)由eq blc(avs4alco1(xmyt，,f(x2,a2)f(y2,4a2)1)得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因?yàn)?m212或k2.由eq blc(avs4alco1(ykxm，,4x2y20)得(4k2)x22kmxm20，因?yàn)?k20，所以x1x2eq f(m2,4k2)，又因?yàn)镺AB的面積為8，所以eq f(1,2) |OA|OB| sinAOB8，又易知sinAOBeq f(4,5)，所以eq f(2,5)eq r(xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)eq r(xeq oal(2,2)yeq oal(2,2)8，化簡(jiǎn)得x1x2

28、4.所以eq f(m2,4k2)4，即m24(k24)由(1)得雙曲線E的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,4a2)1，由eq blc(avs4alco1(ykxm，,f(x2,a2)f(y2,4a2)1)得(4k2)x22kmxm24a20.因?yàn)?k20，直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以a24，所以雙曲線E的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.當(dāng)lx軸時(shí)，由OAB的面積等于8可得l：x2，又易知l：x2與雙曲線E：eq f(x2,4)eq f(y2,16)1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)綜上所述，存

29、在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.5（2014廣東卷）若實(shí)數(shù)k滿足0k0，且x2eq f(4,2m2)，y2eq f(m2,2m2)，從而|PQ|2eq r(x2y2)2eq r(f(m24,2m2).設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d，則點(diǎn)B到直線PQ的距離也為d，所以2deq f(|mx12y1|mx22y2|,r(m24).因?yàn)辄c(diǎn)A，B在直線mx2y0的異側(cè)，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，從而2deq f(（m22）|y1y2|,r(m24).又因?yàn)閨y1y2|e

30、q r(（y1y2）24y1y2)eq f(2r(2)r(1m2),m22)，所以2deq f(2r(2)r(1m2),r(m24).故四邊形APBQ的面積Seq f(1,2)|PQ|2deq f(2r(2)r(1m2),r(2m2)2eq r(2)eq r(1f(3,2m2).而00)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))圖17(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)C上一點(diǎn)P(x0，y0)(y00)的直線l：eq f(x0 x,a2)y0y1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線xeq f(3,2)相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，eq f(|MF|,

31、|NF|)恒為定值，并求此定值【解析】解：(1)設(shè)F(c，0)，因?yàn)閎1，所以ceq r(a21).由題意，直線OB的方程為yeq f(1,a)x，直線BF的方程為yeq f(1,a)(xc)，所以Beq blc(rc)(avs4alco1(f(c,2)，f(c,2a).又直線OA的方程為yeq f(1,a)x，則Aeq blc(rc)(avs4alco1(c，f(c,a)，所以kABeq f(f(c,a)blc(rc)(avs4alco1(f(c,2a),cf(c,2)eq f(3,a).又因?yàn)锳BOB，所以eq f(3,a)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1，解得a2

32、3，故雙曲線C的方程為eq f(x2,3)y21.(2)由(1)知aeq r(3)，則直線l的方程為eq f(x0 x,3)y0y1(y00)，即yeq f(x0 x3,3y0)(y00)因?yàn)橹本€AF的方程為x2，所以直線l與AF的交點(diǎn)為Meq blc(rc)(avs4alco1(2，f(2x03,3y0)，直線l與直線xeq f(3,2)的交點(diǎn)為Neq f(3,2)，eq f(f(3,2)x03,3y0)，則eq f(|MF|2,|NF|2)eq f(f(（2x03）2,（3y0）2),f(1,4)f(blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)x03)sup12(2),（3y0）2)e

33、q f(（2x03）2,f(9yeq oal(2,0),4)f(9,4)（x02）2)eq f(4,3)eq f(（2x03）2,3yeq oal(2,0)3（x02）2).又P(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則eq f(xeq oal(2,0),3)yeq oal(2,0)1，代入上式得eq f(|MF|2,|NF|2)eq f(4,3)eq f(（2x03）2,xeq oal(2,0)33（x02）2)eq f(4,3)eq f(（2x03）2,4xeq oal(2,0)12x09)eq f(4,3)，所以eq f(|MF|,|NF|)eq f(2,r(3)eq f(2r(3),3)，為定值8（

34、2014新課標(biāo)全國(guó)卷 已知F為雙曲線C：x2my23m(m0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A.eq r(3) B3C.eq r(3)m D3m【答案】A【解析】雙曲線的一條漸近線的方程為xeq r(m)y0.根據(jù)雙曲線方程得a23m，b23，所以ceq r(3m3)，雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq r(3m3)，0)故雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為eq f(|r(3m3)|,r(1m)eq r(3).9（2014山東卷）已知ab0，橢圓C1的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，雙曲線C2的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，C1與C2的離

35、心率之積為eq f(r(3),2)，則C2的漸近線方程為()A. xeq r(2)y0 B. eq r(2)xy0 C. x2y0 D. 2xy0【答案】A10（2014天津卷）已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一條漸近線平行于直線l：y2x10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為()A.eq f(x2,5)eq f(y2,20)1 B.eq f(x2,20)eq f(y2,5)1C.eq f(3x2,25)eq f(3y2,100)1 D.eq f(3x2,100)eq f(3y2,25)1【答案】A【解析】由題意知，雙曲線的漸近線為yeq f

36、(b,a)x，eq f(b,a)2.雙曲線的左焦點(diǎn)(c，0)在直線l上，02c10，c5.又a2b2c2，a25，b220，雙曲線的方程為eq f(x2,5)eq f(y2,20)1.1若拋物線y22px上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay24x By26xCy28x Dy210 x解析：由題意可知p0，因?yàn)閽佄锞€y22px，所以其準(zhǔn)線方程為xeq f(p,2)，因?yàn)辄c(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，所以|eq f(p,2)2|4，所以p4，故拋物線方程為y28x。故選C。答案：C2設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5。所以MF為直

37、徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析：由已知得拋物線的焦點(diǎn)Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，拋物線上點(diǎn)Meq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,0),2p)，y0)，則eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，2)，eq o(AM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,0),2p)，y02)。由已知得，eq o(AF,sup6()eq o(AM,sup6()0

38、，即yeq oal(2,0)8y0160，因而y04，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(8,p)，4)。由|MF|5得，eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(8,p)f(p,2)216)5，又p0，解得p2或p8，故選C。答案：C3已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，P，Q是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，若PQF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p的值是()A2eq r(3) B2eq r(3)C.eq r(3)1 D.eq r(3)1解析：Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，設(shè)Peq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,1),2p)，y1

39、)，Qeq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,2),2p)，y2)(y1y2)。由拋物線定義及|PF|QF|，得eq f(yoal(2,1),2p)eq f(p,2)eq f(yoal(2,2),2p)eq f(p,2)，所以yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)，又y1y2，所以y1y2，所以|PQ|2|y1|2，|y1|1，所以|PF|eq f(1,2p)eq f(p,2)2，解得p2eq r(3)。答案：A4已知直線yk(x2)(k0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|2|FB|，則k的值為()A.eq f(1,3) B.eq f

40、(r(2),3)C.eq f(2r(2),3) D.eq f(2,3)解析：設(shè)拋物線C：y28x的準(zhǔn)線為l：x2，直線yk(x2)(k0)恒過(guò)定點(diǎn)P(2,0)，如圖過(guò)A，B分別作AMl于M，BNl于N，由|FA|2|FB|，則|AM|2|BN|，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，連接OB，則|OB|eq f(1,2)|FA|，所以|OB|BF|，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2eq r(2)，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得k的值為eq f(2r(2),3)。答案：C5直線l經(jīng)過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則線段AB的長(zhǎng)為()A5 B6C7 D86如圖，已知拋物線y

41、22px(p0)的焦點(diǎn)F恰好是雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，且兩條曲線交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)F，則該雙曲線的離心率為()A.eq r(2) B2C.eq r(2)1 D.eq r(2)1解析：由題意，因?yàn)閮蓷l曲線交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)F，所以兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，p)，代入雙曲線方程得eq f(f(p2,4),a2)eq f(p2,b2)1，又eq f(p,2)c，所以eq f(c2,a2)4eq f(c2,b2)1，化簡(jiǎn)得c46a2c2a40，所以e46e210，所以e232eq r(2)(1eq r(2)2

42、，所以eeq r(2)1，故選C。答案：C7已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(a，2)到焦點(diǎn)的距離為3，則拋物線的方程是_。解析：由題意可設(shè)拋物線的方程為x22py(p0)，拋物線上的點(diǎn)P(a，2)到焦點(diǎn)的距離即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線yeq f(p,2)的距離，所以eq f(p,2)23，解得p2，所以拋物線的方程為x24y。答案：x24y8已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)。若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_。解析：設(shè)直線ya與y軸交于M點(diǎn)，若拋物線yx2上存在C點(diǎn)使得ACB90，只要以|AB|為直徑的圓與拋物線yx2有除A，B外的交點(diǎn)即可，即使|AM|MO|，所以eq r(a)a，所以a1或a0，因?yàn)橛深}意知a0，所以a1。答案：1，)9已知拋物線y24x的準(zhǔn)線與雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若FAB為直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是_。10已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足到點(diǎn)F(0,1)的距離比到直線l：y2的距離小1。(1)求曲線C的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)E在直線l上，過(guò)點(diǎn)E分別作曲線C的切線EA，EB，切點(diǎn)為A，B。直線AB是