2018年高考數(shù)學(xué)專題28基本不等式及其應(yīng)用熱點(diǎn)題型和提分秘籍理

1、PAGE 15專題28 基本不等式及其應(yīng)用1.了解基本不等式的證明過程。2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題。熱點(diǎn)題型一 利用基本不等式求最值例1、 (1)若x0，y0，且xy1，則eq f(3,x)eq f(4,y)的最小值是_。答案：74eq r(3)熱點(diǎn)題型二 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例2、某廠家擬在2015年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m(m0)萬元滿足x3eq f(k,m1)(k為常數(shù))。如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件。已知2015年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品

2、的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)。(1)將該廠家2015年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2015年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？解析：(1)由題意知，當(dāng)m0時(shí)，x1(萬件)，13kk2，x3eq f(2,m1)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5eq f(816x,x)(元)，2015年的利潤(rùn)y1.5xeq f(816x,x)816xmeq blcrc(avs4alco1(f(16,m1)m1)29(m0)。(2)m0，eq f(16,m1)(m1)2eq r(16)8，y82921，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(16,

3、m1)m1m3(萬元)時(shí)，ymax21(萬元)。故該廠家2015年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為21萬元?！咎岱置丶?利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)問題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問題，如“物價(jià)、銷售、稅收、原材料”等，題目往往較長(zhǎng)，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解。(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解。【舉一反三】 某化工企業(yè)2014年底投入100萬元，購入一套污水處理設(shè)備。該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，

4、第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元。設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費(fèi)用為y(單位：萬元)。(1)用x表示y；(2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí)，企業(yè)需要重新更換新的污水處理設(shè)備。則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備。熱點(diǎn)題型三 基本不等式的綜合應(yīng)用 例3(1)若點(diǎn)A(1,1)在直線mxny20上，其中mn0，則eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值為_。(2)已知a0，b0，若不等式eq f(3,a)eq f(1,b)eq f(m,a3b)恒成立，則m的最大值為()A9 B12C18 D24解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(1,1)在直線m

5、xny20上，所以mn20，即eq f(m,2)eq f(n,2)1，所以eq f(1,m)eq f(1,n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(1,n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(m,2)f(n,2)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(n,2m)eq f(m,2n)12eq r(f(n,2m)f(m,2n)2，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(n,2m)eq f(m,2n)，即m2n2時(shí)取等號(hào)。所以eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值為2。(2)因?yàn)閍0，b0，不等式eq f(3,a)eq f(1,b)eq f(m,a3b)恒成立，所以meq blc

6、rc(avs4alco1(a3bblc(rc)(avs4alco1(f(3,a)f(1,b)min。因?yàn)?a3b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,a)f(1,b)6eq f(9b,a)eq f(a,b)62eq r(f(9b,a)f(a,b)12，當(dāng)且僅當(dāng)a3b時(shí)取等號(hào)，所以m的最大值為12。故選B?！咎岱置丶炕静坏仁骄C合問題的解題策略(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對(duì)所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解。(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解。(3)求參數(shù)的值域范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參

7、數(shù)的值或范圍。【舉一反三】 已知直線axbyc10(b，c0)經(jīng)過圓x2y22y50的圓心，則eq f(4,b)eq f(1,c)的最小值是()A9 B8C4 D2 1.【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B2.【2017天津，理8】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】不等式為 (*)，當(dāng)時(shí)，(*)式即為， ，又（時(shí)取等號(hào)），（時(shí)取等號(hào)），所以，當(dāng)時(shí)，(*)式為， ，又（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，綜上故選A1.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最

8、小值為（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B.2.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C1.【2015高考四川，理9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【解析】時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為.據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，即.由且得.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，據(jù)題意得，即.由且得，故應(yīng)舍去.要使得取得最大值，應(yīng)有.所以，所以最大值為18.選B.2.【2015高考陜西，理9】設(shè)，若，則下列關(guān)系式中正確的

9、是（ ）A B C D【答案】C【解析】，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，故選C 3（2014遼寧卷）對(duì)于c0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a22ab4b2c0且使|2ab|最大時(shí)，eq f(3,a)eq f(4,b)eq f(5,c)的最小值為_4（2014山東卷）若eq blc(rc)(avs4alco1(ax2f(b,x)eq sup12(6)的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20，則a2b2的最小值為_【答案】2【解析】Tr1Ceq oal(r,6)(ax2)6req blc(rc)(avs4alco1(f(b,x)eq sup12(r)Ceq oal(r,6)a6rbrx123r，令123r3，

10、得r3，所以Ceq oal(3,6)a63b320，即a3b31，所以ab1，所以a2b22ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab，且ab1時(shí)，等號(hào)成立故a2b2的最小值是2.5(2014福建卷)要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長(zhǎng)方體容器已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是 ()A80元 B120元 C160元 D240元【解析】設(shè)底面矩形的長(zhǎng)和寬分別為a m，b m，則ab4(m2)容器的總造價(jià)為20ab2(ab)108020(ab)8040eq r(ab)160(元)(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)故選C.【答案】C6(2014重慶卷)若log4(3a4

11、b)log2eq r(ab)，則ab的最小值是_【答案】74eq r(3)5（2014四川卷）已知F為拋物線y2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2 B3 C.eq f(17r(2),8) D.eq r(10)【答案】B【解析】由題意可知，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0).設(shè)A(yeq oal(2,1)，y1)，B(yeq oal(2,2)，y2)，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()y1y2yeq oal(2,

12、1)yeq oal(2,2)2，解得y1y21或y1y22.又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)位于x軸兩側(cè)，所以y1y20，即y1y22.當(dāng)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)時(shí)，AB所在直線方程為yy1eq f(y1y2,yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)(xyeq oal(2,1) eq f(1,y1y2)(xyeq oal(2,1)，令y0，得xy1y22，即直線AB過定點(diǎn)C(2，0)于是SABOSAFOSACOSBCOSAFOeq f(1,2)2|y1|eq f(1,2)2|y2|eq f(1,2)eq f(1,4)|y1|eq f(1,8)(9|y1|8|y2|)eq f(1

13、,8)2eq r(9|y1|8|y2|)3，當(dāng)且僅當(dāng)9|y1|8|y2|且y1y22時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)時(shí)，取y1eq r(2)，y2eq r(2)，則AB所在直線的方程為x2，此時(shí)求得SABOSAFO2eq f(1,2)2eq r(2)eq f(1,2)eq f(1,4)eq r(2)eq f(17r(2),8)，而eq f(17r(2),8)3，故選B. 6(2013年高考山東卷)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)eq f(z,xy)取得最小值時(shí)，x2yz的最大值為()A0 B.eq f(9,8) C2 D.eq f(9,4)【解析】

14、含三個(gè)參數(shù)x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值z(mì)x23xy4y2(x，y，zR)，eq f(z,xy)eq f(x23xy4y2,xy)eq f(x,y)eq f(4y,x)32 eq r(f(x,y)f(4y,x)31.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(x,y)eq f(4y,x)，即x2y時(shí)“”成立，此時(shí)zx23xy4y24y26y24y22y2，x2yz2y2y2y22y24y2 (y1)22.當(dāng)y1時(shí)，x2yz取最大值2.【答案】C7（2013重慶卷）eq r(（3a）（a6）)(6a3)的最大值為()A9 B.eq f(9,2) C3 D.eq f(3 r(2),2)【答案】B【解析】因?yàn)?/p>

15、6a3，所以eq r(（3a）（a6）)eq f(（3a）（a6）,2)eq f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)3aa6，即aeq f(3,2)時(shí)等號(hào)成立，故選B.1設(shè)x0，y0，且2xy6，則9x3y有()A最大值27 B最小值27C最大值54 D最小值54答案：D2已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)y2aexb的圖象過點(diǎn)(0,1)，則eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值是()A32eq r(2) B32eq r(2)C4 D2解析：因?yàn)楹瘮?shù)y2aexb的圖象過(0,1)點(diǎn)，所以2ab1，所以eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(2ab,a)eq f(2ab,b)3eq f(b,a)eq f(2a

16、,b)32eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(b,a)eq f(2a,b)，即beq r(2)a時(shí)，取等號(hào)，所以eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值是32eq r(2)。答案：A3若正數(shù)a，b滿足eq f(1,a)eq f(1,b)1，則eq f(1,a1)eq f(9,b1)的最小值為()A1 B6C9 D16解析：方法一：因?yàn)閑q f(1,a)eq f(1,b)1，所以abab(a1)(b1)1，所以eq f(1,a1)eq f(9,b1)2eq r(f(1,a1)f(9,b1)236。方法二：因?yàn)閑q f(1,a)eq f(1,b)1，所以abab，所以eq f(1,a1)eq f

17、(9,b1)eq f(b19a9,abab1)b9a10(b9a)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)1016106。方法三：因?yàn)閑q f(1,a)eq f(1,b)1，所以a1eq f(1,b1)，所以eq f(1,a1)eq f(9,b1)(b1)eq f(9,b1)2eq r(9)236。答案：B4設(shè)a1，b0，若ab2，則eq f(1,a1)eq f(2,b)的最小值為()A32eq r(2) B6C4eq r(2) D2eq r(2)答案：A5已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am，an使得eq r(aman)4a1，則eq f

18、(1,m)eq f(4,n)的最小值為()A.eq f(3,2) B.eq f(5,3)C.eq f(9,4) D.eq f(25,6)解析：由各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)。因?yàn)閑q r(aman)4a1，所以qmn216，所以2mn224，所以mn6，所以eq f(1,m)eq f(4,n)eq f(1,6)(mn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(4,n)eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(n,m)f(4m,n)eq f(1,6)(54)eq f(3

19、,2)。當(dāng)且僅當(dāng)eq f(n,m)eq f(4m,n)時(shí)，等號(hào)成立，故eq f(1,m)eq f(4,n)的最小值等于eq f(3,2)。答案：A6正數(shù)a，b滿足eq f(1,a)eq f(9,b)1，若不等式abx24x18m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A3，) B(，3C(，6 D6，)答案：D7已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x2y10，eq r(3x)eq r(2y)的最大值為_。解析：由eq f(ab,2) eq r(f(a2b2,2)得eq r(3x)eq r(2y) eq r(2) eq r(r(3x)2r(2y)2)eq r(2) eq r(3x2y)2eq r(5)，當(dāng)

20、且僅當(dāng)xeq f(5,3)，yeq f(5,2)時(shí)取等號(hào)。答案：2eq r(5)8若不等式(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,x)f(4,y)16對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為_。解析：因?yàn)椴坏仁?xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,x)f(4,y)16對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，所以16eq blcrc(avs4alco1(xyblc(rc)(avs4alco1(f(a,x)f(4,y)min。令f(x)(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,x)f(4,y)(a0)，則f(x)a4eq f(ay,x)eq f(4x,

21、y)a42eq r(f(ay,x)f(4x,y)a44eq r(a)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(x,y)eq f(r(a),2)時(shí)取等號(hào)，所以a4eq r(a)416，解得a4，因此正實(shí)數(shù)a的最小值為4。答案：49下列命題中正確的是_(填序號(hào))。y23xeq f(4,x)(x0)的最大值是24eq r(3)；ysin2xeq f(4,sin2x)的最小值是4；y23xeq f(4,x)(x0)的最小值是24eq r(3)。答案：10若a0，b0，且eq f(1,a)eq f(1,b)eq r(ab)。(1)求a3b3的最小值。(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并說明理由。解析：(1)因?yàn)閍0，b0

22、，且eq f(1,a)eq f(1,b)eq r(ab)，所以eq r(ab)eq f(1,a)eq f(1,b)2eq r(f(1,ab)，所以ab2，當(dāng)且僅當(dāng)abeq r(2)時(shí)取等號(hào)。因?yàn)閍3b32eq r(ab3)2eq r(23)4eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)abeq r(2)時(shí)取等號(hào)，所以a3b3的最小值為4eq r(2)。(2)由(1)可知，2a3b2eq r(2a3b)2eq r(6ab)4eq r(3)6，故不存在a，b，使得2a3b6成立。11已知f(x)eq f(2x,x26)。(1)若f(x)k的解集為x|x3或x2，求k的值；(2)若對(duì)任意x0，f(x)t恒成立，求實(shí)數(shù)t的范圍。解析：(1)f(x)kkx22x6k0，由已知其解集為x|x3或x2