2021-2022學(xué)年四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 16 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 頁(yè)2021-2022學(xué)年四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1下列命題中，正確的是（）A直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B直線的傾斜角為，則直線的斜率為tanC直線的斜率為tan，則直線的傾斜角是D直線的傾斜角時(shí)，直線的斜率分別在這兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【分析】直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，即傾斜角存在斜率不一定存在，斜率存在傾斜角一定存在?！驹斀狻緼.直線的傾斜角時(shí)，直線的斜率分別在這兩個(gè)區(qū)間

2、上單調(diào)遞增,故錯(cuò)誤，B.當(dāng)時(shí)斜率不存在。C.只有當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角才是故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。2下列命題正確的是（）.A如果非零向量、的方向相反或相同，那么的方向必與、之一的方向相同B若，則、為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)C設(shè)，若，則D若，則【答案】C【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算和性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷正誤即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，A選項(xiàng)錯(cuò)，若，則、三點(diǎn)共線或、為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，B選項(xiàng)錯(cuò)，若與不共線，則與不共線，C選項(xiàng)對(duì)，若，則或(與反向共線，且)，D選項(xiàng)錯(cuò)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的有關(guān)概念和共線定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.3設(shè)mn0，則關(guān)于x的不等式(mx)(

3、nx)0的解集是（）Ax|xmBx|nxmCx|xnDx|mx0在區(qū)間1,2上有解，則a的取值范圍是()ABCD【答案】B【分析】x1，2時(shí)不等式x2ax50化為a-x+；求出f（x）=-x+的最小值，即可求出a的取值范圍【詳解】x1，2時(shí)，不等式x2ax50化為a-x+，設(shè)f（x）=-x+，x1，2，因?yàn)閥=-x，y=，x1，2，都是減函數(shù).則f（x）的最小值為f（2）=-2+=.所以a的取值范圍是a故答案為B【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查不等式的有解問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題有兩個(gè)關(guān)鍵，其一是分離參數(shù)得到a-x+有解，其二是求出函數(shù)f（x）=-x+，x1

4、，2的最小值.10設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且，則為A432B567C543D654【答案】D【詳解】因?yàn)閍，b，c為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且ABC，可得ac2，bc1又因?yàn)?b20acosA，由余弦定理可知cosA，則3b20a 聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得7c213c600，解得c4或c (舍去)，則a6，b5.又由正弦定理可得，sinAsinBsinCabc654.故選D.11若O，M，N在所在平面內(nèi)，滿足，且，則點(diǎn)O，M，N依次為的（）A重心，外心，垂心B重心，外心，內(nèi)心C外心，重心，垂心D外心，垂心，重心【答案】D【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，線性運(yùn)算及三角形五心的性質(zhì)即

5、可判斷出答案【詳解】解：因?yàn)椋?，所以O(shè)為的外心；因?yàn)椋裕ǎ?，即0，所以MBAC，同理可得：MABC，MCAB，所以M為的垂心；因?yàn)?，所以，設(shè)AB的中點(diǎn)D，則，所以，所以C，N，D三點(diǎn)共線，即N為的中線CD上的點(diǎn)，且，所以N為ABC的重心故選：D12一個(gè)正方體的內(nèi)切球、外接球、與各棱都相切的球的半徑之比為ABCD【答案】C【詳解】試題分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，那么其內(nèi)切球的半徑，外接球的半徑（對(duì)角線的一半），與各棱都相切的球的半徑（面對(duì)角線的一半），所以比值是，故選C【解析】球與正方體【方法點(diǎn)睛】考察了球與正方體的組合體的問(wèn)題，屬于中檔題型，球與幾何體的組合體的問(wèn)題，尤其是相切，一般不畫(huà)

6、組合體的直觀圖，而是畫(huà)切面圖，圓心到切點(diǎn)的距離是半徑并且垂直，如果是內(nèi)切球，那么對(duì)面切點(diǎn)的距離就是直徑，而對(duì)面切點(diǎn)的距離是棱長(zhǎng)，如果與棱相切，那么對(duì)棱切點(diǎn)的距離就是直徑，而切點(diǎn)在棱的中點(diǎn)，所以對(duì)棱中點(diǎn)的距離等于面對(duì)角線長(zhǎng)，而如果外接球，那么相對(duì)頂點(diǎn)的距離就是直徑，即正方體的對(duì)角線是直徑二、填空題13若直線和直線垂直，則_【答案】0或【分析】由，解得或，驗(yàn)證兩條直線是否垂直由，得，解得即可得出【詳解】若，解得或經(jīng)過(guò)驗(yàn)證只有時(shí)，兩條直線相互垂直若，因?yàn)橹本€和直線垂直，則，解得（驗(yàn)證分母不等于）綜上可得或0,故答案為0或【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線相互垂直的充要條件、分類(lèi)討論方法，屬于中檔題對(duì)直線位置

7、關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類(lèi)問(wèn)題以簡(jiǎn)單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），這類(lèi)問(wèn)題盡管簡(jiǎn)單卻容易出錯(cuò)，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點(diǎn)一定不能掉以輕心.14已知，若與夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】且【分析】由且與不共線求解【詳解】由題意得：且與不共線，即且，解得且故答案為：且15三棱錐的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球的球面上.若是等邊三角形，平面平面，則三棱錐體積的最大值為_(kāi).【答案】3【解析】作圖，設(shè)，則，求出，根據(jù)圖像得，底面三角形的面積最大時(shí)，即底面為等腰直角三角形時(shí)，三棱錐的體積最大，進(jìn)而求解可得答案【詳解】

8、根據(jù)可知，為三角形所在截面圓的直徑，又平面平面，為等邊三角形，所以在上，如圖所示，設(shè)，則，當(dāng)?shù)酌嫒切蔚拿娣e最大時(shí)，即底面為等腰直角三角形時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，故答案為：3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是根據(jù)三角形的形狀判斷球心的位置，得出到平面的最大距離，難度屬于中檔題16已知，且，則的最小值為_(kāi)【答案】【分析】利用基本不等式求解即可，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】因?yàn)?，且，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化

9、成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.三、解答題17已知平面得量滿足：，.（1）求與的夾角；（2）求向量在向量上的投影.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)條件可以求出，根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出，然后根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角；（2）可求出，從而得出，并求出，這樣根據(jù)投影的計(jì)算公式即可求出投影【詳解】解：（1），又，；（2），向量在向量上的投影為：【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量夾角，以及向量投影的計(jì)算，考查運(yùn)

10、算能力18在ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角（）求最大角的余弦值；（）求以此最大角為內(nèi)角，夾此角的兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積【答案】（）；（）【分析】（）第一步先將三邊設(shè)為連續(xù)正整數(shù)，第二步，寫(xiě)出最大角的余弦定理，并小于0，第三步，解不等式；（）第一步，先設(shè)邊，根據(jù)上一問(wèn)的結(jié)果，寫(xiě)出面積公式，第二步，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值【詳解】（）設(shè)這三個(gè)數(shù)為n，n1，n2，最大角為，則cos ，化簡(jiǎn)得：n22n301nn2，n2cos （）設(shè)此平行四邊形的一邊長(zhǎng)為a，則夾角的另一邊長(zhǎng)為4a，平行四邊形的面積為：Sa（4a）sin a（4a）當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)，Smax【解析】1余弦定理；

11、2三角形面積公式；19已知函數(shù)，若的解集為(1)求；(2)解關(guān)于的不等式【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）把不等式變形，利用韋達(dá)定理，求得的值（2）把不等式變形為一元二次不等式，分類(lèi)討論的值，求得它的解集【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)，所以不等式，即為，由于不等式的解集為可得，且 ，求得(2)關(guān)于的不等式，即 ，即當(dāng)時(shí)，不等式即，它的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式 的解集為；當(dāng)c2時(shí)，不等式的解集為20某呼吸機(jī)生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃投資固定成本500萬(wàn)元引進(jìn)先進(jìn)設(shè)備，用于生產(chǎn)救治新冠肺炎患者的無(wú)創(chuàng)呼吸機(jī)，需要投入成本y（單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（單位：百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式為.據(jù)以往出口市場(chǎng)價(jià)格，每臺(tái)呼吸機(jī)的售價(jià)為3

12、萬(wàn)元，且依據(jù)國(guó)外疫情情況，預(yù)測(cè)該年度生產(chǎn)的無(wú)創(chuàng)呼吸機(jī)能全部售完.(1)求年利潤(rùn)t（單位：萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-投入成本固定成本）；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤(rùn)最大？并求出最大年利潤(rùn).【答案】(1)(2)8000臺(tái)，1040萬(wàn)元【分析】（1）分別求出和時(shí)的解析式，即可得到年利潤(rùn)t（單位：萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式；（2）分別求出和時(shí)的最大值，比較大小，即可得到最大年利潤(rùn).【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.(2)當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，t取得最大值，為625，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即當(dāng)時(shí)，t取得最大值，為1040，綜上所述，當(dāng)年產(chǎn)量為8000臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)最

13、大，且最大年利潤(rùn)為1040萬(wàn)元.21如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PCD為等邊三角形，平面PAC平面PCD，PACD，CD2，AD3(1)求證：PA平面PCD；(2)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，可得DNPC，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得DN平面PAC，從而得到DNPA，利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）連接AN，由線面角的定義可得，DAN為直線AD與平面PAC所成的角，在三角形中，利用邊角關(guān)系求解即可【詳解】(1)證明：取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，由題意可知，DNPC，又因?yàn)槠矫鍼AC平面

14、PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA，又PACD，CDDND，CD，DN平面PCD，則PA平面PCD；(2)連接AN，由（1）可知，DN平面PAC，則DAN為直線AD與平面PAC所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切危珻D2且N為PC的中點(diǎn)，所以DN，又DNAN，在中，sinDAN，故直線AD與平面PAC所成角的正弦值為22已知數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，對(duì)任意nN都有數(shù)列滿足，（nN）(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足cn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切nN恒成立，求的取值范圍【答案】(1)，nN；(2)【分析】（1）由數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，可得所求；（2）由等比數(shù)列的求和公式和數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及不等式恒成立思想，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，計(jì)算可得所求范圍【詳解】(1)數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，對(duì)任意nN