中考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)之-正多邊形和圓及正多邊形的有關(guān)計(jì)算

1、之考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)之一正多邊形和圓及正多邊形的有關(guān)計(jì)算正多邊形和圓是初中幾何課本中的最后一單元 ，它包括正多邊形的定義、正多邊形的判 定、性質(zhì)，正多邊形的有關(guān)計(jì)算，圓周長(zhǎng)及弧長(zhǎng)公式，圓、扇形、弓形的面積。今天我們一起 學(xué)習(xí)正多邊形的定義、判定、性質(zhì)及有關(guān)計(jì)算.一、基礎(chǔ)知識(shí)及其說(shuō)明：.正多邊形的定義：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.此定義中的條件各邊 相等，各角也相等 缺一不可”.如：菱形各邊相等，因四個(gè)角不等，所以菱形不一定是正多邊 形.矩形的四個(gè)角相等，但因四條邊不一定相等，故矩形不一定是正四邊形，只有正方形是正 四邊形.正多邊形的判定，正多邊形的定義當(dāng)然是正多邊形的判定方法之一，但如同

2、全等三角形的判定一樣，用定義來(lái)證明兩個(gè)三角形全等顯然不可取，因此需用判定定理來(lái)證.判定定理：把圓幾等分（n之3）依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)做圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.也就是說(shuō)，若要證明一個(gè)多邊形是圓內(nèi)接正多邊形 ，只要證明這個(gè)多邊形的頂點(diǎn)是圓的等分 點(diǎn)即可，如：要證明一個(gè)圓內(nèi)接n邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正n邊形，就要證A、B C D E、 F各點(diǎn)是圓的n等分點(diǎn)，就是要證AB=BC=CD=DE=EF=.同樣，要證明一個(gè)圓外切n邊形 是圓鄉(xiāng)卜切Hn邊形，只要證明各切點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)即可.例1：證明：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形

3、. TOC o 1-5 h z 已知：在。中，多邊形ABCDE/是OO的內(nèi)接n邊形，OE /_且 AB=BC=CD=DE=1/求證:n邊形ABCDE是正n邊形. Ap/證明：AB=BC=CD=DE= B C一-. AB=Bc=CD=de . OEb=aEC=Bed=co e=. A = B = C = D =又AB=BC=CD=DE=.n邊形ABCDE是正n邊形.例2:證明：各角相等的圓外切n邊形是正n邊形.已知：多邊形ABCDEF是圓外切 n邊形，切點(diǎn)分別是 A,B,C,D,E ,/A = /B=/C = /D=/E = /F=求證:n邊形AB C D E F 是正n邊形.證明：連結(jié)OB,O

4、C,OD，在四邊形COC和四邊形BOCB中 A B ：B C ：C D 切。于 B,C,D OBB:/OCB/OCC:/ODCgOb BOC = C COD =1800而 /A = NB = /C =. BOC = COD. BC=Cd在同圓中，相等的圓b心呼吸呼批等）.同理 Bc=cd=dE=fe=- -.A,B,C,D,E,F是圓的n等分點(diǎn)多邊形ABCDEF是圓外切n正多邊形.正多邊都是軸對(duì)稱圖形，若n是奇數(shù)，正n邊形是軸對(duì)稱圖形,n是偶數(shù)，正n邊形既是 軸對(duì)稱圖形又是中心圖形.正多邊形的性質(zhì)：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.正多邊形的外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫正

5、多邊形的中心.外接圓半徑叫正多邊形的半 徑.內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距.正多邊形的每一邊所對(duì)的圓心角叫中心角,中心角的度數(shù)是幽.n如圖:OA,OB是半徑,O是中心，OHLAB于H,OH是邊心距,ZAOB是中心角.正多邊形的有關(guān)計(jì)算，一般是圍繞正n邊形的半徑R,邊長(zhǎng)an,邊心距 ,周長(zhǎng)Pn及面 積Sn來(lái)進(jìn)行，但關(guān)健是an, R,rn之間的計(jì)算，因?yàn)檎齨邊形的邊心距把正n邊形的一邊與該邊 所對(duì)應(yīng)的兩條半徑所圍成的等腰三角形分成兩個(gè)全等的直角三角形，所以在RtAAOH,斜邊是R,直角邊分別是 包和rn,銳角2AOH = /，利用直角三角形的有關(guān)知識(shí)（勾股定理，銳2n角三角函數(shù)等）來(lái)解直角三角形即

6、可.例：已知正六邊形ABCDE的半徑是R,求正六邊形的邊長(zhǎng)a6,面積S6.解：作半徑OA OB過(guò)。做OHL AB,WJ/AOH=80 =30。6DAH sin 30 =OAAH =OA sin 301 _.AH = R . a6 = 2AH = R 2 cos30 =包RS 6=12c 1 _ a6 r6 6 = R 2.33 3 2R 6 =R同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行正多邊形的計(jì)算時(shí)，應(yīng)很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法進(jìn)行 計(jì)算，但也可以推出公式，然后利用公式變形進(jìn)行計(jì)算.an則 sin180 n2 R180an = 2R sin n，如已知這是已知半徑 R,求4和%的公式，若記住公式則正多邊形

7、的計(jì)算就簡(jiǎn)單了很多半徑R,求a4,6解：a4 =2R sin180- =2R sin 45 = . 2R4冉如：已知正三角形的邊長(zhǎng)為a,求7,可以先由a = 2R sin匕，求出半徑R = ；=Y3a, 333rn = R c o1 80 Q再將求得的R代入q =R cos60=在a.l=是a ;若已知邊心距求邊長(zhǎng)，則先用326，求出R,再代入求邊長(zhǎng)公式an =2R sin竺匕即可求出，此法好處是不用畫圖， n只需將上面兩個(gè)公式反復(fù)變形即可.7.如何求同圓的圓內(nèi)接正n邊形與圓外切正n邊形的邊長(zhǎng)比，半徑比，邊心距比.如：求同 圓的圓內(nèi)接正n邊形和圓外切正n邊形的邊長(zhǎng)比.設(shè)。的半徑的為R則圓內(nèi)接正

8、n邊形的邊長(zhǎng)是an =2R sinOAB HC而在 RtzXOBC中,OB=R，則tg180180生BC OB=R tg180-, 2BC =2R tg180-即外切正 n邊形的邊長(zhǎng)是2Rtg180 n,圓內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng).圓外切正n邊形的邊長(zhǎng)1802R sin n1802Rtg-.180=sin180-tg n,180,180 . sin nsin-n 180cos,180一 =sinn實(shí)際上,n圓內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)n180 cosn180 sinn圓內(nèi)接正180=cosnn邊形的半徑圓外切正n邊形的邊長(zhǎng)圓外切正n邊形的半徑胃片n黑M噌QB是學(xué)的鄰邊,OC是RfBOC的斜邊,OB /BOC

9、的斜邊BC斜邊= cos幽,希望同學(xué)們記住此結(jié)論.如圓內(nèi)接正四邊形的邊心距與圓 n外切正四邊形的邊心距之比是 cos儂-，圓內(nèi)接正六邊形與圓外切正六邊形的邊長(zhǎng)之比 2是cos180-=,而圓內(nèi)接正三角形與圓外切正三角形的面積之比是(cos62180)2 =.(注意:4此結(jié)論必須是同圓的邊數(shù)相同的圓內(nèi)接正n邊形與圓外切正n邊形的相似比是cosn若求圓外切正n邊形與圓內(nèi)接正n邊形的相似比則是 一1.）.180 cos n二、練習(xí)題：.判斷題：各邊相等的圓外切多邊形一定是正多邊形.（）各角相等的圓內(nèi)接多邊形一定是正多邊形.（）正多邊形的中心角等于它的每一個(gè)外角.（）若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角是150

10、 ,則這個(gè)正多邊形是正十二邊形.（）各角相等的圓外切多邊形是正多邊形.（）.填空題：一個(gè)外角等于它的一個(gè)內(nèi)角的正多邊形是正 邊形.正八邊形的中心角的度數(shù)為 ，每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為 ，每一個(gè)外角度數(shù)為 .邊長(zhǎng)為6cm的正三角形的半徑是 cm,邊心距是 cm,面積是 cm.面積等于6/3cm2的正六邊形的周長(zhǎng)是.同圓的內(nèi)接正三角形與外切正三角形的邊長(zhǎng)之比是 .正多邊形的面積是240cn2,周長(zhǎng)是60cm2,則邊心距是 cm.正六邊形的兩對(duì)邊之間的距離是12cm,則邊長(zhǎng)是 cm.同圓的外切正四邊形與內(nèi)接正四邊形的邊心距之比是 .同圓的內(nèi)接正三角形的邊心距與正六邊形的邊心距之比是 .選擇題：下列命題中，假命題的是（）A.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.B.正多邊形的任意兩個(gè)角的平分線如果相交，則交點(diǎn)為正多邊形的中心.C.正多邊形的任意兩條邊的中垂線如果相交，則交點(diǎn)是正多邊形的中心. TOC o 1-5 h z D. 一個(gè)外角小于一個(gè)內(nèi)角的正多邊形一定是正五邊形.若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角大于它的一個(gè)內(nèi)角,則它的邊數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.不能確定同圓的內(nèi)接正四邊形與外切正四邊形的面積之比是（）A.1:3 B.1:2C.1:2 D. 2:1正六更形的兩條丫行邊間距聲是1,貝多長(zhǎng)是（）A. B. C. D. 6432周長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積S、3