六年級奧數(shù)第15講抓“不變量”解題（教師版）

1、 PAGE 頁碼 11 / NUMPAGES 總頁數(shù) 11六年級奧數(shù)第15講抓“不變量”解題教師版教學目標掌握“總量不變”,“相差量不變”和“部分量不變”三種不變量思想,并能用不變量思想解決現(xiàn)實生活中的問題。知識梳理 一個數(shù)量的變化,往往會引起其他數(shù)量的變化。如“某班轉走3名女生”,女生人數(shù)變了,總人數(shù)也跟著變了,男生與女生、女生與總人數(shù)之間的倍數(shù)關系也變了只有注意到這些變化,才能防止出錯。但在這些數(shù)量變化時,與它們相關的另外一些數(shù)量卻沒有改變。在分析數(shù)量關系時,這種不變量常常會起到非常重要的作用。抓住不變量進行思考,可以順利解答一些經(jīng)典的應用題,能達到事半功倍的效果。根據(jù)不變量的不同,可以將

2、“量不變”應用題分為三種類型：“總量不變”應用題、“相差量不變”應用題和“部分量不變”應用題。典例分析 考點一：總量不變題中兩個變化的量中,一個量在增加,另一個量減少,但是增加的和減少的同樣多,所以兩個量的總和保持不變。解題時,一般把兩個量的總和看作單位“1”或者把其中一個量看作是1倍的量。例1、有一個書架,上層與下層書的數(shù)量比是7:8,現(xiàn)從上層拿10本給下層,這時上層與下層的數(shù)量比是8:7,求原來上、下層各有多少本?【解析】這道題上下層都發(fā)生了變化,但總數(shù)量不變,可把總數(shù)量看作單位“1”,抓住總數(shù)量不變,根據(jù)上層與下層的數(shù)量比是7:8知上層占總數(shù)的7/15,又根據(jù)上層與下層的數(shù)量比是8:7,

3、知上層占總數(shù)的8/15,列式:108/15-7/15=150本,150本為總數(shù)量,1507+8=10本710=70本810=80本。例2、小麗有故事書108本,小芳有故事書140本,小芳借了若干本故事書給小麗后,小麗的故事書的本數(shù)是小芳的3倍。問小芳借了多少本故事書給小麗？【解析】小芳借了若干本故事書給小麗前后,小芳和小麗擁有故事書的本數(shù)都發(fā)生了變化,但兩人擁有故事書的總本數(shù)不變,這是本題解題的關鍵。即108+140本就是小芳現(xiàn)有故事書的本數(shù)的3+1倍,因此小芳現(xiàn)有故事書的本數(shù)是108+140 3+1=62本,所以小芳借給小麗故事書的本數(shù)是140-62=78本?？梢则炞C一下：108+78140

4、-78=18662=3,答案正確。例3、有一個書架,上層與下層書的數(shù)量比是2：3,現(xiàn)從上層拿15本書給下層,這時上層與下層書的數(shù)量比是3：7,求原來上、下層各有多少本書？【解析】根據(jù)題意,上、下兩層書的本數(shù)都發(fā)生了變化,而上下兩層書的總數(shù)量是不變的,可把總數(shù)量看作單位“1”。抓住總數(shù)量不變,根據(jù)上層與下層書的數(shù)量比是2:3,知道上層書占總數(shù)的2/5；又根據(jù)上層與下層書的數(shù)量比是3:7,知道上層書占總數(shù)的3/10,兩人故事書的總本數(shù)是：152/5-3/10=150本,所以上層原有書1502/5=60本,下層原有書150-60=90本?？键c二：相差量不變題中的兩個量同時增加,或者同時減少,但是這兩

5、個量的差始終保持不變。根據(jù)這個不變的差量,就可以解決問題了。例1、有一個書架,上層與下層的數(shù)量比是7:8,上、下層同時都拿走10本后,剩下上層與下層本數(shù)的比是13:15,求原來上、下層各有多少本?【解析】這道題上下層都發(fā)生了變化,但它們的差不變,可把它們的差看作單位“1”,抓住相差量不變,根據(jù)上層與下層的數(shù)量比是7:8,知上層占差的7/1,又根據(jù)上層與下層的數(shù)量比是13:15,知上層占差的13/2,列式:107/1-13/2=20本,208-7=20本,208=160本,207=140本。例2、今年琪琪5歲,媽媽32歲,再過多少年媽媽的歲數(shù)是琪琪歲數(shù)的4倍？【解析】不論經(jīng)過多少年,琪琪和媽媽的

6、年齡差都是不變的。今年媽媽與琪琪的年齡差為32-5=27歲,等于媽媽的歲數(shù)是琪琪歲數(shù)的4倍時的年齡差,所以27歲對應的是那一年琪琪歲數(shù)的4-1倍。那一年琪琪的歲數(shù)是32-54-1=9歲,經(jīng)過的年限是：9-5=4年。例3、用杯子往一個空瓶里倒水,如果倒進6杯水,連瓶共重680克,如果倒進9杯水,連瓶共重920克,求空瓶的重量?！窘馕觥侩S著倒進的杯數(shù)不同,瓶里水的重量和總重量都在變化,但是不管倒進幾杯水,每一杯水的重量都是不變的,所以,920-680克就正好是9-6杯水的重量。對應相除就能求出1杯水的重量,920-6809-6=80克從而就可以求出空瓶的重量。920-809=200克。 考點三：部

7、分量不變這類應用題的特點是：兩個量中的一個量發(fā)生了變化,而另一個量不變。解題時可以把這個不變的量作為解題突破口,尋找解題方法。例1、有一個書架,上層與下層書的數(shù)量比是7:8,現(xiàn)又拿來10本書放到上層,這時上層與下層的比是15:16,求原來上、下層各有多少本?【解析】這道題中,由于從外面拿10本書放到上層,上層的數(shù)量發(fā)生了變化,而下層本數(shù)不變,可把下層本數(shù)看成單位“1”,抓住部分量不變,根據(jù)原來上層與下層書的數(shù)量比是7:8,知上層本數(shù)占下層的7/8,放入10本后,上層本數(shù)占下層的15/16,也就是下層的15/16-7/8是10本,列式:1015/16-7/8=160本,160本為原下層的本數(shù),上

8、層為160/87=140本。例2、小軍原有的錢數(shù)是小明的3/4,小軍用去100元后,這時小軍的錢數(shù)是兩人總錢數(shù)的5/17。小軍原來有多少元錢？【解析】題中小軍的錢數(shù)減少了,總錢數(shù)也減少了,但小明的錢數(shù)沒有變,因此,我們可以把小明的錢數(shù)看作單位“1”。這時“小軍用去100元后,這時小軍的錢數(shù)是兩人總錢數(shù)的5/17”就轉化為“小軍用去100后,這時小軍的錢數(shù)是小明的5/17-5,即5/12”,再根據(jù)題中前兩個條件可知,100元相當于小明的錢數(shù)的3/4-5/12=1/3。因此小明的錢數(shù)是1001/3=300元,小軍原有錢數(shù)是3003/4=400元。例3、唐洋小學六4班男生人數(shù)占班級總人數(shù)的9/16,

9、后來又轉走了4名男生,這時男生人數(shù)占班級總人數(shù)的8/15,求六4班原來有學生多少名？【解析】從男生轉走了4名看出,男生人數(shù)和班級總人數(shù)都發(fā)生了變化,但女生人數(shù)沒有變。因此可以把女生人數(shù)這個不變量看作單位“1”,原來男生人數(shù)占班級總人數(shù)的9/16,女生人數(shù)就占班級總人數(shù)的1-9/16=7/16,原來男生人數(shù)是女生人數(shù)的9/167/16=9/7；現(xiàn)在男生人數(shù)占總人數(shù)的8/15,女生人數(shù)就占班級總人數(shù)的1-8/15=7/15,現(xiàn)在男生人數(shù)是女生人數(shù)的8/157/15=8/7,男生人數(shù)減少了4名,分率減少了9/7-8/7=1/7,據(jù)此求出女生人數(shù)為41/7=28名,六4班原有學生人數(shù)是287/16=6

10、4名。實戰(zhàn)演練 課堂狙擊1、育才小學六1班原有學生56人,其中女生人數(shù)占全班人數(shù)的3/7,現(xiàn)又轉入若干名女生,這時,女生人數(shù)占全班的13/29。問又轉入多少名女生？【解析】這道題中,據(jù)六1班原有學生56人,其中女生人數(shù)占全班人數(shù)的3/7,知女生有563/7=24人,由于女生后來人數(shù)發(fā)生了變化,而男生人數(shù)一直沒有變化,抓住不變量男生人數(shù),男生人數(shù)為56-24=32人,據(jù)又轉入若干名女生,這時,女生人數(shù)占全班的13/29,知男生人數(shù)占后來全班人數(shù)的1-13/29=16/39,后來全班人數(shù)為321-13/29=58人,58-56=2人,得出又轉入女生2人。列式：563/7=24人,56-24=32人

11、,1-13/29=16/39,321-13/29=58人,58-56=2人。2、某工程,由甲先做了12天,再由甲、乙兩人合做,完成任務時,甲做了這項工程的5/8,甲每天的工作量是乙的2/3,假如這項工程由甲單獨做,幾天完工？【解析】從題中條件可知,這項工程在由甲先做了12天后,剩下的工程是由甲、乙兩人合做,才完成剩下的工程,甲、乙兩人做的時間是相等的,這是一個不變的量。另外由題意明白,甲每天的工作量是乙的2/3,因為這項工程,甲做了其中的5/8,乙則做了其中的：15/83/8,在乙完成這項工程的3/8這段時間里,甲只能完成這項工程的：3/82/31/4,即可得,在甲先做的12天的這段時間里,完

12、成了工程的：5/81/4,因此可得,甲單獨完成這項工程用的時間是：125/81/4= 32天。3、王進和張明計算甲、乙兩個自然數(shù)的積這兩個自然數(shù)都比1大。王進把甲數(shù)的個位數(shù)字看錯了,計算結果為91,張明卻把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯了,計算的結果為175。兩個數(shù)的積究竟是多少?【解析】91=713 =191 ,所以175和91的公約數(shù)是1或7,因為乙數(shù)比1大,所以乙數(shù)一定是7。 抓?。阂粋€因數(shù)乙數(shù)沒有變 ,乙是91和175的公約數(shù)；917=13王進看錯了的甲數(shù)。 1757=25張明看錯了的甲數(shù)。157=105。4、如果給分數(shù)的分子加上一個數(shù),又從它的分母中減去同一個數(shù),原分數(shù)就變?yōu)?求所加減的這個數(shù)。

13、【解析】變化前后分子分母的和不變,原分數(shù)分子分母比為1945,分子分母子的和的總份數(shù)為19+45=64份；新分數(shù)分子分母比為35,分子分母的和的總份數(shù)為3+5=8份。原來總份數(shù)64份和現(xiàn)在總份數(shù)8份所表示的量應該是相同的,把35改為2440,這樣分子多了2419=5,分母少了4540=5,因而所加減的這個數(shù)是5。5、有濃度為95%的酒精溶液600克,現(xiàn)要加水稀釋成濃度為75%的酒精,求加水后酒精溶液的重量?！窘馕觥考铀♂?說明純酒精不變,原來純酒精與溶液的比是95100即1920,純酒精份數(shù)為19份；加水后純酒精與溶液的比是75100即34,純酒精份數(shù)為3份。原來純酒精份數(shù)為19份和現(xiàn)在純酒

14、精份數(shù)為3份所表示的量應該是相同的,把原來1920改為5760,把34改為5776,這樣原來酒精溶液所表示的份數(shù)為60份,因而原來酒精溶液600克對應的份數(shù)是60份, 而加水后溶液份數(shù)為76份.加水后酒精溶液的重量6006076=760。課后反擊1、育才小學六1班原有女生26人,其中女生人數(shù)占全班人數(shù)的13/29,現(xiàn)又轉出若干名女生,這時,女生人數(shù)占全班的3/7。問又轉出多少名女生？【解析】這道題中,據(jù)六1班原有女生26人,其中女生人數(shù)占全班人數(shù)的13/29,知全班人數(shù)為2613/29=58人由于女生后來人數(shù)發(fā)生了變化,而男生人數(shù)一直沒有變化,抓住不變量男生人數(shù),男生人數(shù)為58-26=32人,

15、據(jù)又轉出若干名女生,這時,女生人數(shù)占全班的3/7,知男生人數(shù)占后來全班人數(shù)的1-3/7=4/7,后來全班人數(shù)為321-3/7=56人,58-56=2人,得出又轉出女生2人。列式：2613/29=58人,58-26=32人,1-3/7=4/7,321-3/7=56人,58-56=2人。2、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā),相向而行。出發(fā)時,甲、乙兩車的速度比是43。相遇后,兩車繼續(xù)前進,乙車每小時比本來多行35千米。結果兩車同時達到目標地,求甲車每小時行多少千米？【解析】甲、乙兩車同時出發(fā),相向而行。出發(fā)時,甲、乙兩車的速度比是43,到相遇時用的時間相等,因此可得,這時兩車行的路程比也是43,

16、兩車相遇后,兩車達到目標地的行程比則變?yōu)?4,如設乙車的速度為“1”,則甲車的速度為4/3,設乙車本來的速度為X,乙車現(xiàn)如今的速度則為：X+35,甲車的速度則為4/3X,因為兩車在相遇后,又繼續(xù)前進,并且兩車同時達到目標地,這時兩車行的時間又是相等的,時間一定,路程和速度成正比例,因此可得：4X+35=34/3X,解得,X=45,即乙車本來的速度為每小時行45千米,甲車的速度則為：454/3 = 60千米。3、把一個長25厘米,寬10厘米,高4厘米的長方體木塊鋸成若干個小正方體,接著拼成一個大正方體,求這個大正方體的表面積。【解析】因為將這個長方體鋸成若干個小正方體,接著再拼成一個大正方體,這

17、個大正方體的體積和本來長方體的體積是相等的。因此,我們可抓住大正方體的體積和本來長方體的體積相等這個關鍵進行解答。本來長方體的體積為：251041000立方厘米,因此可得,將這個長方體鋸成若干個小正方體接著再拼成一個大正方體的體積也為1000立方厘米。而100010101010 3,因此可得,這個大正方體的棱長為10厘米,這個大正方體的表面積則為：10106600平方厘米。4、甲、乙兩個書架放圖書冊數(shù)的比是75,從甲書架上拿78冊到乙書架,甲、乙書架上的圖書冊數(shù)的比變?yōu)?4。甲書架原有圖書多少冊？【解析】從甲書架上拿78冊到乙書架,甲、乙兩個書架圖書總數(shù)不變,原來甲、乙兩個書架放圖書冊數(shù)的比是

18、75,總份數(shù)為7+5=12份；后來甲、乙書架上的圖書冊數(shù)的比變?yōu)?4,總份數(shù)為3+4=7份。原來總份數(shù)12份和現(xiàn)在總份數(shù)7份所表示的量應該是相同的,把75改為4935,把34改為3648,這樣甲少了4936=13份,乙多了4835=13份,因而從甲書架上拿78冊到乙書架這個78冊對應的份數(shù)是13份。甲書架原有圖書781349=294本。5、某班男生人數(shù)是女生人數(shù)的 ,最近又轉來一名女生,結果女生人數(shù)成了男生人數(shù)的 ,求現(xiàn)在全班有多少人？【解析】最近又轉來一名女生,男生人數(shù)不變,原來男生人數(shù)是女生人數(shù)的,即原來男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是54,男生人數(shù)份數(shù)為5份；后來女生人數(shù)成了男生人數(shù)的,即男生人

19、數(shù)與女生人數(shù)的比是65,男生人數(shù)份數(shù)為6份。原來男生人數(shù)份數(shù)為5份和現(xiàn)在男生人數(shù)份數(shù)為6份所表示的量應該是相同的,把54改為3024,把65改為3025,這樣女生人數(shù)增加了2524=1份,因而又轉來一名女生對應的份數(shù)是1份?，F(xiàn)在全班有30+251 =55人。6、甲乙兩種商品價格比為73,它們的價格都上漲70元后價格比變?yōu)?4,兩種商品原來價格各是多少元？【解析】甲乙兩種商品價格上漲70元前后價格差不變,原來價格比為73,差73=4份；上漲70元后價格比變?yōu)?4,差74=3份。原來差4份和現(xiàn)在差3份所表示的量應該是相同的,把73改為219,把74改為2816,這樣甲價格上漲2821=7份,乙價格

20、上漲169=7份。因而它們的價格都上漲70元對應的份數(shù)是7份。原來甲價格70721=210元；原來乙價格7079=90元 。直擊賽場 1、華杯賽第一桶柴油的重量是第二桶的6倍,從第一桶取出12千克柴油加入第二桶,這時第一桶柴油的重量是第二桶的4倍,原來第一桶有柴油多少千克？【解析】兩桶柴油的重量總是不變的,又未知,要看作單位一的量。則“取前”第一桶占兩桶總量的11617,“取后”第一桶占兩桶總量的11415,第一桶取前取后差12千克占兩桶總量的1517235,故兩桶總量為：12235=210千克。原來第一桶：2107=30千克。2、走美賽有甲乙兩個糧倉,原來甲倉庫存糧與乙倉庫存糧的噸數(shù)比是3：5,從兩個倉庫都運走后50噸的糧食后,甲倉庫的存糧是乙倉庫存糧的5/9。問原來甲乙兩個糧倉各存糧