CH07二叉樹期權(quán)定價(jià)法

1、第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型單步二叉樹模型風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理兩步二叉樹模型.一、單步二叉樹模型執(zhí)行價(jià)錢為21元的看漲期權(quán)。3個(gè)月 一個(gè)例如2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型2. 股票和股票期權(quán)所面臨的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)，適當(dāng)配置兩種資產(chǎn)可以消除系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，組建無風(fēng)險(xiǎn)組合。思索以下組合：買入1份股票看漲期權(quán)賣空股股票 顯然，適當(dāng)調(diào)整可以使得上述組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型3. 假設(shè)這個(gè)組合是無風(fēng)險(xiǎn)組合，那么其價(jià)值與形狀無關(guān)，所以，以下數(shù)學(xué)表達(dá)式成立：解得， 也就是說，1份看漲期權(quán)多頭加上0.25股股票空頭構(gòu)成的組合是無風(fēng)險(xiǎn)組合。2022/8/24第7章 期權(quán)

2、定價(jià)的二叉樹模型4.4.50元5.00-C0元3個(gè)月2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型5. 單步二叉樹模型的推行無風(fēng)險(xiǎn)組合：股股票多頭+1份期權(quán)空頭2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型6.2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型7.將代入f，得2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型8.2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型9.在之前的例如中，我們得到：結(jié)果與之前一致。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型10. 單步二叉樹模型至少給我們兩點(diǎn)啟示： 期權(quán)價(jià)錢與股票價(jià)錢變化的真實(shí)概率無關(guān)這與我們的直覺不一致 期權(quán)價(jià)錢在定價(jià)方式上可以看成到期日價(jià)值

3、期望值的貼現(xiàn)值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型11.二、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè) 公平賭博是指賭博結(jié)果的預(yù)期只該當(dāng)和入局前所持有的資金量相等，即賭博的結(jié)果從概率平均的意義上來講該當(dāng)是“不輸不贏。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型12. 有一個(gè)擲硬幣的賭局假定硬幣是完全對(duì)稱的，正面朝上可以博得2000元，反面朝上那么無錢收回。試問他情愿以多少錢作為入局費(fèi)參與這樣的賭博？公平的入局費(fèi)200050+0501000元2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型13. 假設(shè)有人情愿無條件地參與公平的賭博，那么這樣的人被以為是風(fēng)險(xiǎn)中性。風(fēng)險(xiǎn)中性者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)采取無所

4、謂的態(tài)度。入局費(fèi)1000元 風(fēng)險(xiǎn)厭惡者 眾多入局費(fèi)1000元 風(fēng)險(xiǎn)中性者入局費(fèi)1000元 風(fēng)險(xiǎn)喜好者 極少情愿支付的入局費(fèi) 風(fēng)險(xiǎn)類型 數(shù)量2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型14.財(cái)富的成效情愿支付的風(fēng)險(xiǎn)金W0Wh風(fēng)險(xiǎn)厭惡者風(fēng)險(xiǎn)中性者風(fēng)險(xiǎn)喜好者不同風(fēng)險(xiǎn)類型者的財(cái)富成效曲線凹性成效函數(shù)線性成效函數(shù)凸性成效函數(shù)金融學(xué)2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型15.u1u1u1u2u2u2Uf財(cái)富UgERUh風(fēng)險(xiǎn)UqRRR風(fēng)險(xiǎn)逃避型成效函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)喜好型成效函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)中立型成效函數(shù)投資學(xué)2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型16. 風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不要求報(bào)答，他們投資于任何資產(chǎn)

5、所要求的收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率。投資報(bào)答率=無風(fēng)險(xiǎn)利率+風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型17. 在一個(gè)假想的風(fēng)險(xiǎn)中性的世界Risk-Neutral World 里，一切的市場參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，那么，一切的資產(chǎn)不論其風(fēng)險(xiǎn)的大小或能否有風(fēng)險(xiǎn)，預(yù)期收益率都一樣，都等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率，因此，一切資產(chǎn)如今的市場平衡價(jià)錢都應(yīng)等于其未來價(jià)值的預(yù)期值，加上思索到貨幣的時(shí)間價(jià)值，就都是未來預(yù)期價(jià)值按無風(fēng)險(xiǎn)收益率貼現(xiàn)的價(jià)值即現(xiàn)值。 這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的根本思想。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型18. 我們回到之前的例如中，在那里，我們可以把股票價(jià)錢上升的概率定義為p，于是在到

6、期日T時(shí)辰，股票價(jià)錢的期望值為：代入p值，得 在我們的假設(shè)下，從概率角度講，股票價(jià)錢以無風(fēng)險(xiǎn)利率增長也就是說股票的期望收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型19. 所謂風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)就是： 假設(shè)對(duì)一個(gè)問題的分析過程和投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)，那么可以將問題放到一個(gè)假設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里進(jìn)展分析，所得的結(jié)果在真實(shí)的世界里也應(yīng)成立。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型20. 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)實(shí)際 風(fēng)險(xiǎn)中性實(shí)際又稱風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法 Risk Neutral Pricing Theory ，是考克斯Cox J.C.和斯蒂芬羅斯Stephen A. Ross于1976年推導(dǎo)

7、期權(quán)定價(jià)公式時(shí)建立的。 2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型21. 風(fēng)險(xiǎn)中性定理表達(dá)了資本市場中的這樣的一個(gè)結(jié)論：即在市場不存在任何套利能夠性的條件下，假設(shè)衍生證券的價(jià)錢依然依賴于可買賣的根底證券，那么這個(gè)衍生證券的價(jià)錢是與投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度無關(guān)的。 這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為衍生證券定價(jià)的微分方程中并不包含有受投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的變量，尤其是期望收益率。 2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型22.2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型23. 利用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的分析方法進(jìn)展金融產(chǎn)品的定價(jià)，其中心環(huán)節(jié)是構(gòu)造出風(fēng)險(xiǎn)中性的概率。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型24.標(biāo)

8、的股票價(jià)錢變動(dòng)途徑解得即股票價(jià)錢上升的概率為0.6523。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型25.解得股票看漲期權(quán)價(jià)錢變動(dòng)途徑這與在真實(shí)世界里利用無套利實(shí)際得出的定價(jià)結(jié)論是一致的。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型26. 留意，我們在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)過程中運(yùn)用的標(biāo)的股票價(jià)錢上升的概率不是真實(shí)的概率，而是假想的概率稱為風(fēng)險(xiǎn)中性概率，這個(gè)假想是建立在股票的期望收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率的根底上的。現(xiàn)實(shí)上，股票價(jià)錢是按期實(shí)踐收益率上升的，假設(shè)股票的實(shí)踐收益率為16%，那么其價(jià)錢上升的概率為以下表達(dá)式中的q：解得2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型27. 與此對(duì)應(yīng)，在真實(shí)世界里

9、，該股票期權(quán)在到期日的預(yù)期價(jià)值為：由此可以得到期權(quán)的預(yù)期收益率 股票期權(quán)的預(yù)期收益率明顯高于股票的預(yù)期收益率。這與我們的直覺是一致的，由于期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)要高于股票的風(fēng)險(xiǎn)。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型28.對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理的總結(jié)： 在風(fēng)險(xiǎn)中性的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，投資者并不要求風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償或風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，所以根底證券與衍生證券的期望收益率都恰好等于無風(fēng)險(xiǎn)利率；由于不存在任何的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償或風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，市場的貼現(xiàn)率也恰好等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，所以根底證券或衍生證券的任何盈虧經(jīng)無風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn)值與它們當(dāng)前的價(jià)值相等。 2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型29. 假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中根底資產(chǎn)價(jià)錢上升的概率

10、為p，由于其未來價(jià)錢的期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必需等于其當(dāng)前的價(jià)錢，因此該概率可經(jīng)過下式求得：那么以該資產(chǎn)為標(biāo)的物的衍生證券的價(jià)錢為：2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型30.三、兩步二叉樹模型 一個(gè)例如兩步二叉樹中的股票價(jià)錢和期權(quán)價(jià)錢2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型31. 根據(jù)單步二叉樹的定價(jià)原理，可以可以將上述兩步二叉樹分別為三個(gè)單步二叉樹從右向左；先上后下：2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型32.根據(jù)無套利原那么，得2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型33.2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型34. 兩步二叉樹的普通方式2022

11、/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型35. 根據(jù)單步二叉樹定價(jià)法，可得以下三表達(dá)式：將前兩式代入第三式，整理得到這個(gè)結(jié)論驗(yàn)證了風(fēng)險(xiǎn)中性原理。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型36. 例7.1 思索一個(gè)2年期的歐式股票看跌期權(quán)，其執(zhí)行價(jià)錢為52元，當(dāng)前標(biāo)的股票的價(jià)錢為50元。我們假定股票價(jià)錢為兩步二叉樹，每個(gè)步長為1年，在每個(gè)步長中，股票價(jià)錢按20%的比例上升或下降。假設(shè)每個(gè)步長的無風(fēng)險(xiǎn)利率均為5%延續(xù)復(fù)利，試?yán)L制出股票價(jià)錢和股票期權(quán)價(jià)錢的兩步二叉樹，并確定該股票期權(quán)當(dāng)前的合理價(jià)錢。2022/8/24第7章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型37.作業(yè)題： 股票現(xiàn)價(jià)為50元，6個(gè)月后期間無紅利支付的股票價(jià)錢要么為60元，要么為42元?，F(xiàn)有以該股票為標(biāo)的物的歐式看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)錢為48元，6個(gè)月后到期。假設(shè)6個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)利率為12%延續(xù)復(fù)利，試分別利用無套利原理和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理確定該期權(quán)當(dāng)前價(jià)錢，并比較計(jì)算結(jié)果。 將本章第一