公開課241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

1、公開課241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義數(shù)乘定義： 一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的長度和方向規(guī)定如下：(1) |a|=| |a|(2) 當(dāng)0時,a 的方向與a方向相同； 當(dāng)0時,a 的方向與a方向相反； 特別地，當(dāng)=0或a=0時, a=0運(yùn)算律： 設(shè)a,b為任意向量，,為任意實數(shù)，則有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b向量的夾角OABOABOAB已知兩個非零向量 和 ，作 ， ，則 叫做向量 和 的夾角OAB問 題sF 一個物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？為此，我們引入向量“數(shù)量積的概念。 功是一個標(biāo)量我們一種啟

2、示，能否把“功看成是這兩個向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？其中是 F 與 s 的夾角 .W = |F|s| cos問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；平面向量的數(shù)量積的定義規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即 1兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定. 3 在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時，一定要注意兩向量夾角的范圍是 0，180說明： 已知非零向量 與 ，我們把數(shù)量 叫作 與 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作 ，即規(guī)定 （2） a b中間的“ ”在向量的運(yùn)算中不能省略，也不能寫 成ab ，a

3、b 表示向量的另一種運(yùn)算（外積）思考：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負(fù)？當(dāng)0 90時 為正；當(dāng)90 180時 為負(fù)。當(dāng) =90時 為零。數(shù)量積符號由cos的符號所決定問題：向量的數(shù)量積運(yùn)算與實數(shù)同向量積的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？實數(shù)同向量積的線性運(yùn)算的結(jié)果是向量兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，是一個數(shù)量當(dāng)a與b同向時，abab；當(dāng)a與b反向時，abab；aaa2a2或a .問題：設(shè)a與b都是非零向量，若ab，則ab等于多少？反之成立嗎？ ab ab0問題：當(dāng)a與b同向時，ab等于什么？當(dāng)a與b反向時，ab等于什么？特別地，aa等于什么？ 問題：ab與ab的大小關(guān)系如何？為什

4、么？ abab 問題：對于向量a，b，如何求它們的夾角？ 向量數(shù)量積的性質(zhì)例 、在ABC中， 求練習(xí):例 、已知|a|=5，|b|=4，求ab a與b的夾角=120平面向量數(shù)量積的幾何意義向量a在b方向上的投影是什么？ 投影一定是正數(shù)嗎？| b | cos叫向量b 在a 方向上的投影OABab，過點(diǎn)B作垂直于直線OA，垂足為 ，則| b | cosacos說明：2投影也是一個數(shù)量，不是向量。1OABabBOAabOABab為銳角時，| b | cos0為鈍角時，| b | cos0為直角時，| b | cos=0當(dāng) = 0時投影為|b|當(dāng) = 180時投影為-|b|.問題：根據(jù)投影的概念，數(shù)量

5、積ab=a|bcos的幾何意義是什么？ 數(shù)量積ab等于a的模與b在a方向上的投影bcos的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影acos的乘積.練一練：交換律：對數(shù)乘的結(jié)合律：分配律：數(shù)量積的運(yùn)算律下面我們證明運(yùn)算律3：分配律：.OCAA1BB1想一想： 向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律 .向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎？說明：即：成立嗎？應(yīng)用舉例、 、 常用公式例、練習(xí)1、練習(xí)1、利用平面向量數(shù)量積求解長度問題變式：利用平面向量數(shù)量積求解夾角問題 例： 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a 5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b的夾角課堂小結(jié)：1、向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量 與 ，它們

6、的夾角為，我們把數(shù)量 叫做 與 的數(shù)量（或內(nèi)積,點(diǎn)乘），即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即 02、向量數(shù)量積的幾何意義3、數(shù)量積運(yùn)算律交換律數(shù)乘結(jié)合律分配律課堂小結(jié)：4、向量數(shù)量積的性質(zhì)5. 常用a 求向量的模.常用求向量的夾角.1、有四個式子：其中正確的個數(shù)為 A、4個B、3個C、2個D、1個2、都是單位向量，以下結(jié)論正確的選項是 A、B、C、 D、3、有以下四個關(guān)系式：，其中正確的個數(shù)是A、1B、2C、3D、4DBA作業(yè)4.判斷以下命題正確與否：1假設(shè) a =0 ，那么對任一向量 b ，有 ab=0 。 2假設(shè) a 0 ，那么對任一非零向量 b ，有 ab0。3假設(shè) a 0 ，ab = 0 ，那么 b = 0 。4假設(shè) ab = 0 ，那么 a、b