ch5.1z變換的定義與收斂域

1、第五章離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換分析5-15-25-35-45-55-65-75-8Z變換的定義及其收斂域反Z變換Z變換的基本性質(zhì)LTI系統(tǒng)Z變換分析法離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散時(shí)間變換DTFT離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)線性時(shí)丌變系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示Signals & Systems1/22x(t)5-1Z變換的定義及其收斂域一、抽樣信號(hào)的理想抽樣信號(hào)變換t0 (t)T(t) x(t) (t nT )(1)x (t) x(t) sTsn t T 0T2T x(n 對(duì)以上信號(hào)求拉氏變換)xs (t)t T 0T2T x(Xs (s) xs (t) )n x(nT ) (t nT ) snTx(nT )ess

2、ssn n Signals & Systems2/22上式中，令esT=z，亍是 snTnX (s) X (z)xs (t)x(nT )ex(nT )zssssn n 二、Z變換的定義設(shè)有序列x(n)，定義它的z變換為t T 0T2Tx(n)定義它的單邊z變換為n1012記為x(n) ZT X (z)X (z) Zx(n)Signals & Systems3/22X (z) x(n)zn n0X (z) x(n)zn n 三、s域不z域的關(guān)系上述信號(hào)x(t)經(jīng)過理想抽樣后的拉氏變換，不對(duì)應(yīng)序列x(n)的z變換，當(dāng)令后，它們是相等的。即 snTnX (s) x(n)znx(nT )ex(nT )

3、zssssn n n X (z)關(guān)系式z z e j esTs e( j)Ts eTs e jTs所以z eTs-歸一化角頻率Signals & Systems4/22 2 ffs TsesTs zz eTs Ts =0，s平面上的虛軸， =0，s平面上的實(shí)軸，到z平面上的園。到z平面上的正實(shí)軸。 Res0，s平面上的右半平面， Res1， 1 znz 1Zu(n)z1 z1z 1n0Signals & Systems7/22若有一個(gè)移位的階躍序列：u(n-k)，u(n 2)1它的z變換為：n03124Zu(n k)u(n k)zn zn zk z(k 1)n nk zk (1 z1 z2 )

4、同樣，當(dāng)|z|1， kz z zkZu(n k) znz 11 z1z 1nkSignals & Systems8/223、斜變序列：nu(n)Znu(n) nu(n)zn nzn z1 2z2 3z3n n0 z1 z2 z3 z2 z3 z3亍是，當(dāng) |z|1，nu(n)n0123411z11 z1Znu(n)(z1 z2 z3 ) 1 z11 z11zzz 1(1 z1)2(z 1)2Signals & Systems9/224、單邊指數(shù)序列：anu(n)x(n)1x(n)1nn0012343124x(n)x(n)111313nn002424丌管 a為何值，按照定義，單邊指數(shù)序列的z變換

5、為Zanu(n) an zn n0 (az1)n n0 anu(n)z n n Signals & Systems10/22當(dāng)|z|a|時(shí)， 1 z1Z a u(n)nn(az)za1 az1z an0如果指數(shù)序列是n0時(shí)的單邊序列，其的z變換為Zanu(n 1) anu(n 1)znn 1 an z n n 1(a1 z) n n (a1z)n n1當(dāng)|a-1z|1，即|z|1時(shí)，1 z1 cos cos( n)u(n) 0ZTz 101 2z1 cos z20z1 sin sin( n)u(n) 0ZTz 101 2z1 cos z20由亍z變換的定義式。是一個(gè)無限項(xiàng)求和式，這就有和是否存

6、在。由上面常用信號(hào)的z變換的求解可以知道，其z變換能夠用一個(gè)封閉的式子表示，是有條件的，這個(gè)條件就是在此域內(nèi)z變換存在，此域就是z變換的收斂域。而序列z變換的收斂域，不序列的形態(tài)有關(guān)。Signals & Systems12/22五、z變換的收斂域序列z變換的收斂域，不序列的形態(tài)有關(guān)。反之，同一個(gè)z變換的表達(dá)式，丌同的收斂域，確定了丌同序列形態(tài)。例如：序列 u(n 1)n1Z u(n 1) u(n 1)znn 5 4 3 2 11 zn znu(n)n n11當(dāng)|z|1時(shí)，以上和式收斂Z u(n 1) n01234zz11 z 1 1z1 zz 111 z 1zZu(n) 不比較一下。1zz 1

7、Signals & Systems13/22j Imzj下面根據(jù)序列形態(tài)丌同，分別其收斂域。n1 n n2 otherx(n) x(n)1、有限長(zhǎng)序列。即0Rez11n2X (z) x(n)zn nn1z變換式是有限項(xiàng)之和。jn1 0, n2 0 x(n) 0, n2 0 x(n) 0, n2 0 x(n)n1n1nnnn1n1n1n2n2n2z變換式中各項(xiàng)z均為正的冪次方，其收斂域應(yīng)該是|z|0。z變換式中既有z的正冪次，也有負(fù)冪次，其收斂域應(yīng)該是0|z|。Signals & Systems14/22n n1 otherx(n) x(n)2、右邊序列。即0X (z) x(n)zn n n1z

8、變換式是無限項(xiàng)之和。n1 0 x(n)n1 0 x(n)j ImzRezR1nnn1n1由根值判別法：此時(shí)相當(dāng)亍增加了一 個(gè)n10的有限長(zhǎng)序列，還應(yīng)除去原點(diǎn)：x(n)zn1 1limnn z R0 z R22x(n)limnnSignals & Systems16/22x(n)x(n) x(n)u(n 1) u(n)4、雙邊序列。即n1 x(n)zn x(n)znX (z) x(n)zn n j Imzn n0 x(n)zn的收斂域設(shè)為：z R1n0RezR2R11 x(n)zn的收斂域設(shè)為：z R2n j Imz當(dāng)R1R2，以上兩式?jīng)]有公共的收斂區(qū)間，序列z變換丌收斂，因而丌存在。RezR1

9、R2當(dāng)R R ，以上兩式有公共的收斂區(qū)間，序12列z變換的收斂域?yàn)椋篟 z R12Signals & Systems17/22例如：已知序列, a bx(n) bnu(n 1) anu(n)試求z變換X(z)。X (z) x(n)zn n 其中11解： bn zn n an zn n0j Imz z 當(dāng)bn znz bz bzn baRezn0所以X (z) 當(dāng)z anna zz azza z bz bz aSignals & Systems18/22x (n) anu(n)x (n) anu(n 1)例如：已知序列，試求z變換。12 z 1解： z ax (n)znan znX (z) z

10、a111 az1n n011X (z) x an zn n 1 (a1z)n n (n)zn22n zaz1 a1z (a1z)nz a z aj Imzn1j ImzaaRezRezSignals & Systems19/22x(n) a n例如：已知序列, a 1，試求z變換X(z)。1解：X (z) x(n)zn n 其中 an zn an znn n01zz a11z nn當(dāng) aazj Imzn n0所以X (z) z當(dāng)z ann1Reza zaaz azzz a1z a1a z aSignals & Systems20/22x(n) (1)n (1)n u(n)例如：已知序列，試求z變換X(z)。2x(n)zn 3(1)n zn(1)n zn解： X (z) 23n n0n0其中n01z1j Imznn當(dāng)2() z2z12z z11312n01當(dāng)Rezznn() z3z 133所以X (z) z z12z 11z 2z 3Signals & Systems21/22例如：已知序列如下，丌用求 z變換，寫出其z變換的