2021年中考數(shù)學重難點題型專題11 平行四邊形（簡答題專練）【含答案】

1、專題11：平行四邊形（簡答題專練）1如圖，在長方形中，點從點出發(fā)，以/秒的速度沿向點運動，設點的運動時間為秒：（1） （用的代數(shù)式表示）（2）當為何值時，？（3）當點從點開始運動，同時，點從點出發(fā)，以/秒的速度沿向點運動，當點P到達C點或點Q到達D點時，P、Q運動停止，是否存在這樣的值，使得與全等？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由（1）；（2）t=2.5，理由見解析；（3）存在，v=2.4或者v=2.【分析】(1)根據(jù)S=vt計算線段BP=2t，利用BP+PC=BC求PC即可；(2)根據(jù)三角形全等，得BP=PC=5，所以t=秒；(3)分和兩種情形討論求解.（1）點從點出發(fā)，以/秒的速度

2、沿向點運動，點的運動時間為秒，（2）當時，.理由：當時，在和中；（3）當時，時，；，解得，所以 ，；當， 時，；，解得，解得；綜上所述，當或者時與.【點評】本題考查了矩形中的動點問題，熟練掌握三角形全等，靈活運用分類思想是解題的關鍵.2如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是 AB上一點，且AF=AB 求證：CEEF證明見解析【分析】利用正方形的性質(zhì)得出，設出邊長為，進一步利用勾股定理求得、的長，再利用勾股定理逆定理判定即可連接，為正方形，設是的中點，且，在中，由勾股定理可得同理可得： 為直角三角形 【點評】此題考查勾股定理的逆定理，正方形的性質(zhì)和勾股定理，解題關鍵在于設出邊長為3如圖，

3、在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上一點，BE交AC于點F，連接DF.(1)求證：BACDAC，AFDCFE；(2)若ABCD，試證明四邊形ABCD是菱形；(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使EFDBCD，并說明理由（1）證明見解析（2）證明見解析（3）當BECD時，EFDBCD【分析】（1）先判斷出ABCADC得到BAC=DAC，再判斷出ABFADF得出AFB=AFD，最后進行簡單的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代換得出DAC=ACD，最后判斷出四邊相等；（3）由（2）得到判斷出BCFDCF，結合BECD即可(1)證明：在ABC和ADC中， ABCADC(S

4、SS)，BAC=DAC，在ABF和ADF中, ABFADF(SAS)，AFB=AFD，CFE=AFB，AFD=CFE，BAC=DAC，AFD=CFE； (2)證明：ABCD，BAC=ACD，BAC=DAC，BAC=ACD，DAC=ACD，AD=CD，AB=AD，CB=CD，AB=CB=CD=AD，四邊形ABCD是菱形； (3)BECD時，BCD=EFD；理由如下：四邊形ABCD是菱形，BC=CD，BCF=DCF，CF=CF，BCFDCF，CBF=CDF，BECD，BEC=DEF=90，BCD=EFD.4如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與AB、CD分別相交于點E

5、、F，連接EC（1）求證：OEOF；（2）若EFAC，BEC的周長是10，求平行四邊形ABCD的周長（1）證明見解析；（2）20.【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OD=OB，DCAB，推出FDO=EBO，證DFOBEO即可；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE，由已知條件得出BC+AB=10，即可得出平行四邊形ABCD的周長解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，OD=OB，DCAB，F(xiàn)DO=EBO，在DFO和BEO中，DFOBEO（ASA），OE=OF（2）解：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，AD=BC，OA=OC，

6、EFAC，AE=CE，BEC的周長是10，BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，平行四邊形ABCD的周長=2（BC+AB）=205如圖l，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連結EB，過點A作AMBE，垂足為M，AM交BD于點F（1）求證：OE=OF；（2）如圖2，若點E在AC的延長線上，AMBE于點M，交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結論“OE=OF”還成立嗎如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析解：(1)四邊形ABCD是正方形BOEAOF90，OBOA，又AMBE，MEAMAE90AFOMAEM

7、EAAFO，RtBOE RtAOF OEOF(2)OEOF成立四邊形ABCD是正方形，BOEAOF90，OBOA又AMBE，F(xiàn)MBF90EOBE又MBFOBEFERtBOERtAOFOEOF6如圖將矩形ABCD沿對角線AC對折,使ABC落在ACE的位置,且CE與AD相交于點F,求證:EF=DF.見解析【分析】先由四邊形為矩形，得出AE=CD，E=D，再由對頂角相等，即可證明AEFCDF即可四邊形ABCD是矩形，D=E，AE=CD，又AFE=CFD，在AEF和CDF中， ，AEFCDF(AAS)，EF=DF.7（1）如圖矩形的對角線、交于點，過點作，且，連接，判斷四邊形的形狀并說明理由（2）如果

8、題目中的矩形變?yōu)榱庑?，結論應變?yōu)槭裁?？說明理由（3）如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?，結論又應變?yōu)槭裁?？說明理由 （1）四邊形的形狀是菱形，理由見解析；（2）四邊形的形狀是矩形，理由見解析；（3）四邊形的形狀是正方形，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)證得，再由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證得四邊形CODP是平行四邊形，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可證得結論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得DOC=90，再由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證得四邊形CODP是平行四邊形，根據(jù)有一個角為直角的平行四邊形為矩形即可證得結論；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OD=OC，DOC=90，

9、再由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形，根據(jù)正方形的判定即可證得結論.（1）四邊形的形狀是菱形，理由是：四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，平行四邊形是菱形；（2）四邊形的形狀是矩形，理由是：四邊形是菱形，四邊形是平行四邊形，平行四邊形是矩形；（3）四邊形的形狀是正方形，理由是：四邊形是正方形，四邊形是平行四邊形，平行四邊形是正方形【點評】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，考查學生的猜想能力和推理能力，綜合性較強8在平行四邊形ABCD中，點E在AD邊上，連接BE、CE，EB平分AEC，（1）如圖1，判斷BCE的形狀，并說明理由； （2）如圖

10、2，若A=90，BC=5，AE=1，求線段BE的長 （1）證明見解析；（2） （1）如圖1中，結論：BCE是等腰三角形證明：四邊形ABCD是平行四邊形， BCAD，CBE=AEB，EB平分AEC，AEB=BEC，CBE=BEC，CB=CE， CBE是等腰三角形；（2）如圖2中，四邊形ABCD是平行四邊形，A=90，四邊形ABCD是矩形，A=D=90，BC=AD=5，在RtECD中，D=90，ED=AD-AE=4，EC=BC=5， 在中，A=90，AB=3AE=1，9如圖，在ABCD中，DECE，連接AE并延長交BC的延長線于點F.(1)求證：ADEFCE；(2)若AB2BC，F(xiàn)36，求B的度數(shù)

11、（1）見解析；（2）108【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出ADBC，AD=BC，證出D=ECF，由ASA即可證出ADEFCE；（2）證出AB=FB，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出答案證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AD=BC，D=ECF，在ADE和FCE中， ADEFCE（ASA）；（2）ADEFCE，AD=FC，AD=BC，AB=2BC，AB=FB，BAF=F=36，B=180-236=108【點評】運用了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵10如圖，在RtABC

12、中，ACB90，過點C的直線MNAB，D為AB邊上一點，過點D作DEBC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE（1）求證：CEAD；（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；（3）若D為AB中點，則當A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由（1）見解析；（2）四邊形BECD是菱形，理由見解析；（3）當A45時，四邊形BECD是正方形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)兩組對邊平行，證明四邊形ADEC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CEAD；（2）先根據(jù)一組對邊平行且相等，證明四邊形BECD是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

13、的一半證明CDBD，從而證明四邊形BECD是菱形；（3）當A45時，四邊形BECD是正方形，證明是等腰直角三角形，再利用“三線合一”的性質(zhì)證明CDAB，從而證明四邊形BECD是正方形（1）證明：DEBC，DFB90，ACB90，ACBDFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四邊形ADEC是平行四邊形，CEAD；（2）解：四邊形BECD是菱形，理由是：D為AB中點，ADBD，CEAD，BDCE，BDCE，四邊形BECD是平行四邊形，ACB90，D為AB中點，CDBD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），四邊形BECD是菱形；（3）當A45時，四邊形BECD是正方形，理由是：解：ACB90，A

14、45，ABCA45，ACBC，D為BA中點，CDAB，CDB90，四邊形BECD是菱形，菱形BECD是正方形，即當A45時，四邊形BECD是正方形【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練利用這些性質(zhì)和判定進行證明11如圖，在ABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB的延長線上的一動點，連接EF，過點C作AB的平行線CD，與線段EF的延長線交于點D，連接CE，BD（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形（2）若，則在點E的運動過程中：當BE_時，四邊形BECD是矩形，試說明理由；當BE_時，四邊形BECD是菱形

15、（1）見解析；（2）2，理由見解析；4【分析】（1）先證明EBFDCF，可得DC=BE，可證四邊形BECD是平行四邊形；（2）根據(jù)四邊形BECD是矩形時，CEB=90，再由ABC=120可得ECB=30，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BE=2；根據(jù)四邊形BECD是菱形可得BE=EC，再由ABC=120，可得CBE=60，進而可得CBE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得答案（1）ABCD，CDF=FEB，DCF=EBF，點F是BC的中點，BF=CF，在DCF和EBF中，EBFDCF（AAS），DC=BE，又DCBE，四邊形BECD是平行四邊形； （2）BE=2，當四邊形BECD是矩形時，CEB

16、=90，ABC=120，CBE=60；ECB=30，BE=BC=2，故2；BE=4，四邊形BECD是菱形時，BE=EC，ABC=120，CBE=60，CBE是等邊三角形，BE=BC=4故4【點評】本題主要考查了菱形和矩形的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，關鍵是掌握菱形四邊相等，矩形四個角都是直角12如圖,在ABC中,點D是AB邊的中點,點E是CD邊的中點,過點C作CFAB交AE的延長線于點F,連接BF.(1)求證:DB=CF；(2)如果AC=BC,試判斷四邊形BDCF的形狀,并證明你的結論.(1)證明見解析；（2）四邊形BDCF是矩形，理由見解析.(1)證明：CFAB，DAECFE又DECE，AE

17、DFEC，ADEFCE，ADCFADDB，DBCF(2)四邊形BDCF是矩形證明：由(1)知DBCF，又DBCF，四邊形BDCF為平行四邊形ACBC，ADDB，CDAB四邊形BDCF是矩形13閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎.小敏在思考問題時，有如下思路：連接AC結合小敏的思路作答：（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由，參考小敏思考問題的方法解決一下問題；（2）如圖2，在（1）的條件下，若連接AC，BD當AC與BD滿足

18、什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論（1）是平行四邊形；（2）AC=BD；證明見解析；ACBD【分析】（1）如圖2，連接AC，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)及平行四邊形判定定理即可得到結論；（2）由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=BD，HG=AC，于是得到當AC=BD時，F(xiàn)G=HG，即可得到結論；若四邊形EFGH是矩形，則HGF=90，即GHGF，又GHAC，GFBD，則ACBD解：（1）是平行四邊形證明如下：如圖2，連接AC，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，EFAC，EF=AC，同理HGAC，HG=AC，綜上可

19、得：EFHG，EF=HG，故四邊形EFGH是平行四邊形；（2）AC=BD理由如下：由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=BD，HG=AC，當AC=BD時，F(xiàn)G=HG，平行四邊形EFGH是菱形；當ACBD時，四邊形EFGH為矩形理由如下：同（1）得：四邊形EFGH是平行四邊形，ACBD，GHAC，GHBD，GFBD，GHGF，HGF=90，四邊形EFGH為矩形【點評】此題主要考查了中點四邊形，關鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半14圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點（1）在圖1中

20、畫出等腰直角三角形MON，使點N在格點上，且MON=90；（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD，使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角形和一個正方形，且正方形ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.試題分析：（1）過點O向線段OM作垂線，此直線與格點的交點為N，連接MN即可；（2）根據(jù)勾股定理畫出圖形即可試題解析：（1）過點O向線段OM作垂線，此直線與格點的交點為N，連接MN，如圖1所示；（2）等腰直角三角形MON面積是5，因此正方形面積是20，如圖2所示；于是根據(jù)勾

21、股定理畫出圖3：考點：1.作圖應用與設計作圖；2.勾股定理.15已知：如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交于BE的延長線于點F，且AF=DC，連接CF（1）求證：D是BC的中點；（2）如果AB=AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論（1）見詳解；（2）四邊形ADCF是矩形；證明見詳解【分析】（1）可證AFEDBE，得出AF=BD，進而根據(jù)AF=DC，得出D是BC中點的結論；（2）若AB=AC，則ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知ADBC；而AF與DC平行且相等，故四邊形ADCF是平行四邊形，又ADBC，則四邊形ADCF是矩形（1

22、）證明：E是AD的中點，AE=DEAFBC，F(xiàn)AE=BDE，AFE=DBE在AFE和DBE中，AFEDBE（AAS）AF=BDAF=DC，BD=DC即：D是BC的中點（2）解：四邊形ADCF是矩形；證明：AF=DC，AFDC，四邊形ADCF是平行四邊形AB=AC，BD=DC，ADBC即ADC=90平行四邊形ADCF是矩形【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形、矩形的判定等知識綜合運用解題的關鍵是熟練掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性質(zhì)進行證明16如圖1，已知銳角ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點（1）求證

23、：MNDE（2）連結DM，ME，猜想A與DME之間的關系，并證明猜想（3）當A變?yōu)殁g角時，如圖2，上述（1）（2）中的結論是否都成立，若結論成立，直接回答，不需證明；若結論不成立，說明理由（1）詳見解析；（2）DME=180-2A；詳見解析；（3）結論（1）成立，結論（2）不成立，詳見解析【分析】（1）連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計算；（3）仿照（2）的計算過程解答（1）證明：如圖，連接，、分別是、邊上的高，是的中點，又為中點，；（2）在中，；（3）結論（1）成立，結論（2）不成立，理由如下：如圖，同理（1）可

24、知：，故結論（1）正確；，在中，故結論（2）不正確【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵17閱讀理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根號，需將分子、分母同乘以一個恰當?shù)亩胃?例如：化簡 解：將分子、分母同乘以得： 類比應用： （1）化簡： ； （2）化簡： 拓展延伸： 寬與長的比是的矩形叫黃金矩形如圖，已知黃金矩形ABCD的寬AB=1（1）黃金矩形ABCD的長BC= ；（2）如圖，將圖中的黃金矩形裁剪掉一個以AB為邊的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否為黃金矩形，并證明你的結論；（3）在圖中，

25、連結AE，則點D到線段AE的距離為 類比應用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF為黃金矩形，理由見解析；（3）【分析】類比應用：（1）仿照題干中的過程進行計算；（2）仿照題干中的過程進行計算；拓展延伸：（1）根據(jù)黃金矩形的定義結合AB=1進行計算；（2）根據(jù)題意算出AD的長，從而得出DF，證明DF和EF的比值為即可；（3）連接AE，DE，過D作DGAE于點G，根據(jù)AED的面積不同算法列出方程，解出DG的長即可.解：類比應用：（1）根據(jù)題意可得：=；（2）根據(jù)題意可得：=2；拓展延伸：（1）寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，若黃金矩形ABCD的寬AB=1，則黃金矩形ABCD的長B

26、C=；（2）矩形DCEF為黃金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根據(jù)黃金矩形的性質(zhì)可得：AD=BC=，F(xiàn)D=EC=AD-AF=，=，故矩形DCEF為黃金矩形；（3）連接AE，DE，過D作DGAE于點G，AB=EF=1，AD=，AE=，在AED中，SAED =，即，則，解得DG=，點D到線段AE的距離為.【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，平方差公式，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，此類問題要認真閱讀材料，理解材料中的知識18四邊形為正方形，點為線段上一點，連接，過點作，交射線于點，以、為鄰邊作矩形，連接 （1）如圖，求證：矩形是正方形；（2）若，求的長度；（3）

27、當線段與正方形的某條邊的夾角是30時，直接寫出的度數(shù)（1）證明見解析（2）（3）當與的夾角為時，；當與的夾角為時，【分析】（1）過作于點，于點，證明，得到，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過計算發(fā)現(xiàn)是中點，點與重合，由（1）可知四邊形是正方形，由此即可解決問題（3）分兩種情形考慮問題即可；解：（1）證明：過作于點，于點，如圖：四邊形為正方形在和矩形是正方形（2）如圖：由（1）可知，在中，與重合四邊形是正方形（3）當與的夾角為時，如圖：，；當與的夾角為時，如圖：，綜上所述， 或故答案是：（1）證明見解析（2）（3）當與的夾角為時，；當與的夾角為時，【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、

28、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題19猜想與證明：如圖擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B，C，G三點在一條直線上，CE在邊CD上連結AF，若M為AF的中點，連結DM，ME，試猜想DM與ME的數(shù)量關系，并證明你的結論拓展與延伸：(1)若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關系為_；(2)如圖擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，試證明(1)中的結論仍然成立提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 猜想與證明：猜

29、想DM與ME的數(shù)量關系是：DMME，證明見解析；拓展與延伸：(1)DMME，DMME；(2)證明見解析【分析】猜想：延長EM交AD于點H，利用FMEAMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明（1）延長EM交AD于點H，利用FMEAMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，（2）連接AC，AC和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，解：猜想與證明：猜想DM與ME的數(shù)量關系是：DMME.證明：如圖，延長EM交AD于點H.四邊形ABCD、四邊形ECGF都是矩形，ADBG，EFBG，HDE90.ADEF.AHMFEM.又AMFM，AMHFME，AMHFME.