不等式與線性規(guī)劃(二)

1、第6練 處理好“線性規(guī)劃問(wèn)題”的規(guī)劃題型一不等式組所確定的區(qū)域問(wèn)題x-20,的面積S的大小是（）A. 1 B. 2C. 3D. 4題型二求解目標(biāo)函數(shù)在可行域中的最值問(wèn)題x+y1, yfo,題型三利用線性規(guī)劃求解實(shí)際應(yīng)用題 例3某旅行社租用 A, B兩種型號(hào)的客車安排 900人旅行，A, B兩種客車的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過(guò)21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為（）A. 31200 元 B. 36000 元 C. 36800 元 D. 38400 元題型四簡(jiǎn)單線性規(guī)劃與其他知識(shí)的綜合性問(wèn)題y w 3x 2,則ig（y

2、+1） igx的取值范圍為（）例4設(shè)變量x, y滿足約束條件* x 2y+1W0,2x+y 8,0,12lg 21, 2 C. 2, lg2實(shí)數(shù)滿足匕則不等式組所圍成圖形的面積為D. lg 2,1 2lg 2)421C.2D. 12.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)2,A(-1, 1),若點(diǎn)M(x, y)為平面區(qū)域ix1, ly1 ,在約束條件SyWmx, x+ y 1下，目標(biāo)函數(shù)z= x+ my的最大值小于2,則m的取值范圍為()A. (1,1 +的 B. (1 +V2, + )C. (1,3) D. (3, +8)5 .若P是滿足不等式組$x+ y- 20表布的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn),點(diǎn)P到直線3x+4

3、y-12 = 0的距離為d,則d的取值范圍是（）121, y12631, y)C. (1 , -)D. (4, 16.設(shè)關(guān)于x, y的不等式組0, Sx+ m02C (00, - -)5D. ( 0, 3)2yo=2,則m的取值范圍是（）A.（一巴3） B. （-00, 3）x-y+ 2 0,7.設(shè)變量x,y滿足約束條件4x 5y+ 100, ,8,已知不等式組x+y+20,表示的平面區(qū)域?yàn)?Q,其中k0,則當(dāng)?shù)拿娣e取得最kx y 0小值時(shí)，k的值為. 4件A商品與5件B商品的價(jià)格之和不小于 20元，而6件A商品與3件B商品的價(jià)格之 和不大于24,則買3件A商品與9件B商品至少需要 元.r2x

4、-y+20,I 8x y 4 w 0一.設(shè)x, y滿足約束條件右目標(biāo)函數(shù)z= abx + y(a0, b0)的最大值為8,x0,則a + b的最小值為.x+ 4yA 4,.給定區(qū)域 D:彳x+ y 0.上取得最大值或最小值的點(diǎn),則T中的點(diǎn)共確定 條不同的直線.x+yt,.已知t是正實(shí)數(shù)，如果不等式組 ix-y 0t的最小值為.第6練 處理好“線性規(guī)劃問(wèn)題”的規(guī)劃題型一不等式組所確定的區(qū)域問(wèn)題x-20,的面積S的大小是()A. 1B. 2C. 3D. 4破題切入點(diǎn)先畫(huà)出點(diǎn) M(x, y)的坐標(biāo)滿足的可行域，再研究圖形的形狀特征，以便求出其面積.答案 Ax-22解析 作出不等式組iy-10如圖所示

5、，則此平面區(qū)域?yàn)?ABC及其內(nèi)部，且點(diǎn) A(2,0), B(0,1), C(2,1), 1，一于是，S= 11X2X1=1.故選 A.題型二 求解目標(biāo)函數(shù)在可行域中的最值問(wèn)題x+y1, 則2= 2x+ y的最大值與最小值的和為 .70,破題切入點(diǎn)先根據(jù)已知約束條件畫(huà)出可行域，再利用目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的幾何意義，即可求得最大值與最小值.答案 6解析畫(huà)出可行域，如圖所示，由圖象，可得當(dāng)y= 2X+Z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,0)時(shí)，Zmax=4；當(dāng) y=-2x+ z經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1,0)時(shí),zmin = 2.故填 6.題型三利用線性規(guī)劃求解實(shí)際應(yīng)用題例3某旅行社租用 A, B兩種型號(hào)的客車安排 900人旅行，

6、A, B兩種客車的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過(guò)21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為()A. 31200 元 B. 36000 元C. 36800 元 D. 38400 元破題切入點(diǎn)設(shè)租用A, B兩種型號(hào)的客車分別為 x輛，y輛，總租金為z元，可得目標(biāo)函數(shù)z= 1600 x+ 2400y.結(jié)合題意，建立關(guān)于x, y的不等式組，計(jì)算 A, B型號(hào)客車的人均租金，可得租用B型車的成本比A型車低，因此在滿足不等式組的情況下盡可能多地租用B型車，可使總租金最低.答案 C解析 設(shè)租用A, B兩種型號(hào)的客車分別為x輛，y輛，所用的

7、總租金為 z元，則z= 1600 x+2400y,36x+ 60y 900,其中x, y滿足不等式組y yx 7,(x, yCN)y+xw 21.畫(huà)出可行域，可知在 x=5, y= 12時(shí)，可載客 36X 5 + 60X 12 = 900(人)，符合要求且此時(shí)的總租金z= 1600X 5+2400X 12=36800,達(dá)到最小值.故選 C.題型四簡(jiǎn)單線性規(guī)劃與其他知識(shí)的綜合性問(wèn)題y 3x- 2,例4設(shè)變量x, y滿足約束條件x 2y+1W0, 則lg(y+1)lgx的取值范圍為()、2x+yw 8,5A. 0,1 2lg 2 B. 1 , 2C. & lg2 D. lg 2,1 -2lg 2破

8、題切入點(diǎn) 先畫(huà)出不等式組所確定的可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為y + 1lg,利用數(shù)形結(jié)合的方 x法解y +1t=-的最值，然后確定目標(biāo)函數(shù)的最值，從而求其范斷答案解析y 3x- 2,如圖所示，作出不等式組 彳x2y+1W0,確定的可行域.、2x+ y 8因?yàn)閘g(y+ 1)lgx，設(shè) t=y1, xx顯然，t的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x, y)與定點(diǎn)E(0, 1)連線的斜率.由圖，可知點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，t取得最小值;點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí),t取得最大值.由=x- 2y+ 12x+y= 8x= 3,解得 即B(3,2);ly=2,y=3x 2由2x+ y= 8解得x= 2y=4,即 C(2,4).故t的最小值

9、為2f1) kBE=一一乜 1,34 ( 11 5t的最大值為kcE=2=2,所以.1, 2.又函數(shù)y=lgx為(0,)上的增函數(shù),所以 lgtC0, lg|,5即lg(y+1)lgx的取值氾圍為0, lg2.一 5而 lg|=lg5-lg2 = 1-2lg2,所以lg(y+1)lgx的取值范圍為0,12lg 2.故選A.總結(jié)提高(1)準(zhǔn)確作出不等式組所確定的平面區(qū)域是解決線性規(guī)劃問(wèn)題的基礎(chǔ).(2)求解線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值時(shí),般思路是先作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的過(guò)原點(diǎn)的直線y=kx,再平移此直線.求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)出未知數(shù)；列出線性約束條件；建立目標(biāo)函數(shù)；求出最優(yōu)解；轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)

10、題.y 刁x 1|,1 .實(shí)數(shù)x, y滿足 1則不等式組所圍成圖形的面積為（）產(chǎn)1,1A. 4B. 2C./D. 1答案 D解析實(shí)數(shù)x, y滿足它表示的可行域如圖所示.不等式組所圍成的圖形是三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1,0）, （0,1）, （2,1）,1所以所圍成圖形的面積為 1X 2 X 1 = 1.故選D.2,2.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A（-1, 1）,若點(diǎn)M（x, y）為平面區(qū)域，xW1,上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，1yW2則OAoM的取值范圍是（）A. 1,0B. 0,1C. 0,2 D, -1,2答案 C解析 作出可行域，如圖所示，由題意 OAoM = x+ y.設(shè) Z= -x+y,作 l

11、o： x- y=0,易知，過(guò)點(diǎn)（1,1）時(shí) Z 有最小值，Zmin= 1+1 = 0;過(guò)點(diǎn)（0,2）時(shí)Z有最大值，Zmax=0+2=2,OA oM的取值范圍是0,2.，wx,（2014廣東）若變量x, y滿足約束條件，；x+yW1, 且z= 2x+ y的最大值和最小值分別為 戶1,m和n,則m n等于（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案 B解析 畫(huà)出可行域，如圖陰影部分所示.由 z=2x+ y,得 y= 2x+ 乙A(-1, 1).X+y=1, y=T，B(2, 1).當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，zmin= 2 x ( 1)1 = 3= n.當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí), zmax =

12、2X21 = 3 = m,故 m n=6.4.設(shè)m1,在約束條件fywmx, 下，目標(biāo)函數(shù)z= x+ my的最大值小于2,則m的取值范 x+ y1,所以一1一50,不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，只有直線y=-Ax+-在y軸上的截距最大時(shí)，m my= mx.目標(biāo)函數(shù)取得最大值.顯然在點(diǎn)A處取得最大值，由得交點(diǎn)Ak+y=1,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值是 r+-m-2,即m2-2m-10, 1 m 1+m解得1 J2m1 + V2,故m的取值范圍是(1,1+&).yx,5.若P是滿足不等式組 版+ y-20-12 = 0的距離為d,則d的取值范圍是()A. 1, 3 B

13、. 1, 152) C. (1, 3 D. (4, 1答案 B解析作出可行域?yàn)?AOB(但不包括OB上的點(diǎn))及直線3x+ 4y-12 = 0,如圖所示.結(jié)合圖形，可知點(diǎn) A(1,1)到直線3x+4y12=0的距離最小，最小值dmL|3 =1；5原點(diǎn)O(0,0)到直線3x+ 4y12=0的距離最大,最大值dmax|0X3+0X412| 125-5.又y0,所以12 dC1,石).表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（X0, yo）,滿足xo-2x-y+ 10,6.設(shè)關(guān)于x, y的不等式組Sx+ m02yo=2,則m的取值范圍是()A. (-8, 3) B. ( 8, 3)25C (8, 3) D . ( 8

14、, 3)答案 C解析 問(wèn)題等價(jià)于直線 x-2y=2與不等式組所表示的平面區(qū)域存在公共點(diǎn)，由于點(diǎn) （m,m）不可能在第一和第三象限，而直線x 2y= 2經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則點(diǎn) （m, m）只能在第四象限，可得 m0 ,即 m0,-112121k 12 k+11-所以 s3ad + sOBC = 2|OA| |xD|+2|0Bnyc|=k + 2k = k1 +2+2-2= kTl+222W 當(dāng)且僅當(dāng)5r巖時(shí)取等號(hào)，即k=1或k=-3(舍去) 所以滿足條件的k的值為1. 4件A商品與5件B商品的價(jià)格之和不小于 20元，而6件A商品與3件B商品的價(jià)格之和不大于24,則買3件A商品與9件B商品至少

15、需要 元.答案 22設(shè)1件A商品的價(jià)格為x元，1件B商品的價(jià)格為商品與9件B商品需要z元，則z=3x+9y,其中解析r4x+ 5yA 20,6x+ 3y0,ly0,其中 A(0,4), B(0,8),吟 3). TOC o 1-5 h z 當(dāng)y= 1x+ 1z經(jīng)過(guò)點(diǎn)c時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最小值. 39所以 Zmin = 3X 當(dāng)+9X，22. 33因此當(dāng)1件A商品的價(jià)格為130元，1件B商品的價(jià)格為4元時(shí)，可使買3件A商品與9件B商品的費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為22元.|-2x-y+20,8xy4W 0一.設(shè)x, y滿足約束條件右目標(biāo)函數(shù)z= abx + y(a0, b0)的最大值為8,x0,ly0,

16、則a + b的最小值為.答案 4解析 由z= abx+y,得丫=abx+z,所以直線白斜率為一ab2ab = 4,當(dāng)且僅當(dāng) a= b = 2時(shí)取等號(hào)，所以a+ b的最小值為4.+x+ 4y 4,I人一小11.給定區(qū)域 D: fx+ y z=x+y 在 D x 0.上取得最大值或最小值的點(diǎn),則T中的點(diǎn)共確定 條不同的直線.答案 6解析 線性區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，取得最小值時(shí)點(diǎn)為(0,1),最大值時(shí)點(diǎn)為(0,4), (1,3), (2,2),(3,1), (4,0),故共可確定 6條.x+yt,12,已知t是正實(shí)數(shù)，如果不等式組 ix-y 0t的最小值為答案 2+2艱解析畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，當(dāng) t是正實(shí)數(shù)時(shí)，所表示的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙薜囊粋€(gè)等腰直角三角形.依題意，它有