巖土工程數(shù)值方法第一章緒論

1、巖土工程有限元分析同濟大學地下建筑與工程系艾智勇 教授、博士生導(dǎo)師第一章 緒論 引言 工程科學領(lǐng)域內(nèi)的很多問題，工程師和科學工作者常采用數(shù)值方法來求解。這主要由于求解問題的復(fù)雜性非均質(zhì)、非線性，以及復(fù)雜的加荷條件及邊界條件，使得精確求解很困難。同時，近幾十年來計算機應(yīng)用技術(shù)迅速發(fā)展，也使數(shù)值分析得到有效而經(jīng)濟的成果。 在另一方面，測量技術(shù)也有了長足地進步與提高，因此少數(shù)課題利用實驗室的模型試驗也可以得到或甚至定量的結(jié)果。當然精確求解（解析解）由于精度高、計算速度快，因此對于相對來說邊界及加載條件比較簡單的情況，解析法是仍是首選。 在過去，巖土工程主要是看作經(jīng)驗的科學。巖土體的天然狀態(tài)所存在的許

2、多復(fù)雜性使得巖土工程問題難以精求解。Terzaghi 所做的開創(chuàng)性工作對巖土工程的許多方面給出了科學的和數(shù)學的基礎(chǔ)。在這些工作中，為了得到解析解必須作很多簡化假設(shè)。但是更為復(fù)雜的問題大多是運用數(shù)值方法來解決的。 最常用的數(shù)值方法主要有： 差分法（ FDM ） 有限元法（ FEM ） 邊界元法（ BEM ） 變分法（MV） 加權(quán)殘值法（WRM） 有限元法：離散所研究的區(qū)域，成為有限數(shù)目的單元，對于 邊界復(fù)雜以及材料非線性等，有較大的靈活性。 邊界元法（邊界積分方程法）：化微分方程為邊界積 分方程，使用類似于有限元法的離散技術(shù)來離散邊界。離散 化所引起的誤差僅來源于邊界，因此計算精度較高。 變分法

3、：屬于泛函的極值問題。對于上述差分法及有限元法 都可起到推導(dǎo)基本公式的作用。而其本身也是一種古老的數(shù)值 方法。 加權(quán)殘值法：引入試函數(shù)和權(quán)函數(shù)，從微分方程直接求解出 近似解。其優(yōu)點是一些無法運用變分原理求解的問題得到了近 似解，擴大了求解范圍。 差分法：將問題的常微分方程或偏微分方程化為差分方程， 然后結(jié)合初始及邊界條件，求解線性代數(shù)方程組。該法比較 直觀，容易編制程序。 巖土工程數(shù)值分析發(fā)展簡況 目前，巖土工程的數(shù)值分析中，運用最廣泛的方法是有限元法和有限差分法。其它方法如邊界元法正在興起。變分法與加權(quán)余量法既可以獨立地作為數(shù)值方法運用于巖土工程實際問題的求解，也可作為推導(dǎo)前幾種數(shù)值方法的手

4、段。 當數(shù)值分析中的差分法首先盛行于工程科學時，20世紀40年代后期，開始采用差分法成功地解決了滲流及固結(jié)問題等實際問題，如土壩滲流及浸潤線的求解，土壩及地基的固結(jié)等；20世紀50年代及60年代初，彈性地基上的梁與板以及板樁等也用差分法來求解。 20世紀60年代，土石壩的靜力學問題運用有限元法來求解，70年代后，土石壩及高層建筑（包括地基）成功地運用有限元法解決了抗震分析。20世紀70年代后期及80年代，邊界元法異軍突起；該法僅僅離散邊界，故特別適宜于半無限課題，地基的靜、動力問題；例如樁基及強夯（即動力固結(jié)）等到均可運用邊界元法來有效求解。 為了減小計算工作量，將解析法和數(shù)值解法相結(jié)合發(fā)展了許多半解析法，如有限層法、有限