廣州市2022屆普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)(數(shù)學(xué)試題)

1、試卷第 =page 5 5頁，共 =sectionpages 5 5頁試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁廣東省廣州市2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、單選題1已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A2B3C4D62若復(fù)數(shù)，則（）A2BC4D53甲，乙兩人在5天中每天加工零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如圖，中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A在這5天中，甲，乙兩人加工零件數(shù)的極差相同B在這5天中，甲，乙兩人加工零件數(shù)的中位數(shù)相同C在這5天中，甲日均加工零件數(shù)大于乙日均加工零件數(shù)D在這5天中，甲加

2、工零件數(shù)的方差小于乙加工零件數(shù)的方差4曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）ABCD5的展開式中的系數(shù)為（）A60B24CD6若函數(shù)的大致圖象如圖，則的解析式可能是()ABCD7設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線與E相交于A，B兩點(diǎn)，與E的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在線段AC上，則與的面積之比（）ABCD8若正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（）ABCD二、多選題9已知直線與圓，則（）A直線與圓C相離B直線與圓C相交C圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有2個(gè)D圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有3個(gè)10將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A若，則是偶函數(shù)B若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減C若，則

3、的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增11在長方體中，則下列命題為真命題的是（）A若直線與直線CD所成的角為，則B若經(jīng)過點(diǎn)A的直線與長方體所有棱所成的角相等，且與面交于點(diǎn)M，則C若經(jīng)過點(diǎn)A的直線m與長方體所有面所成的角都為，則D若經(jīng)過點(diǎn)A的平面與長方體所有面所成的二面角都為，則12十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間0，1均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)

4、間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長度記為，則（）ABCD三、填空題13若，則_.14已知菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P在BC邊上（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是_.15已知三棱錐的棱AP，AB，AC兩兩互相垂直，以頂點(diǎn)P為球心，4為半徑作一個(gè)球，球面與該三棱錐的表面相交得到四段弧，則最長弧的弧長等于_.16如圖，在數(shù)軸上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)6次，則事件“質(zhì)點(diǎn)位于的位置”的概率為_.四、解答題17在等比數(shù)列中，分別是下表第一，二，三行中的某一個(gè)數(shù)，且

5、中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一列323第二列465第三列9128(1)寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積為.(1)證明：；(2)若，求.19如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，.(1)求證：平面平面ACD；(2)若，五面體ABCDE的體積為，求直線CE與平面ABED所成角的正弦值.20人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時(shí)代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.月份x12345銷售量y（萬件）4.95.86.88

6、.310.2該公司為了預(yù)測未來幾個(gè)月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1）；(2)已知該公司的月利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司哪一個(gè)月的月利潤預(yù)報(bào)值最大？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.21在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)M滿足直線AM與直線BM的斜率之積為，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，直線AM與交于點(diǎn)N，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由.22已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，

7、；(2)設(shè)，證明：有且僅有2個(gè)零點(diǎn).答案第 = page 15 15頁，共 = sectionpages 15 15頁答案第 = page 1 1頁，共 = sectionpages 2 2頁參考答案：1C【詳解】由題可知，所有，所有其子集分別是，所有共有4個(gè)子集故選：C2B【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，所以，故選：B3C【詳解】甲在5天中每天加工零件的個(gè)數(shù)為：18,19,23,27,28；乙在5天中每天加工零件的個(gè)數(shù)為：17,19,21,23,25對于A，甲加工零件數(shù)的極差為，乙加工零件數(shù)的極差為，故A錯(cuò)誤；對于B，甲加工零件數(shù)的中位數(shù)為，乙加工零件數(shù)的中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對于C，甲加工零件數(shù)的平

8、均數(shù)為，乙加工零件數(shù)的中位數(shù)為，故C正確；對于D，甲加工零件數(shù)的方差為，乙加工零件數(shù)的方差為，故D錯(cuò)誤；故選：C4A【詳解】，所以，又當(dāng)時(shí)，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即故選：A5B【詳解】由的展開式通項(xiàng)為，所以的展開式項(xiàng)為，故系數(shù)為.故選：B6D【詳解】由圖可知函數(shù)定義域?yàn)閤|x0，由此排除A；該函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)，需滿足f(x)f(x)0，對于B項(xiàng)：f(x)f(x)0，故排除B；C和D均滿足f(x)f(x)0，對于C：，當(dāng)x時(shí)，0，故，y增長的速率比y增長的速率慢，即圖像在x軸上方無限接近于x軸正半軸，與題意不符，故排除C.綜上，D選項(xiàng)正確.故選：D.7C【詳解】如圖，過

9、點(diǎn)B作BD垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)D，則由拋物線定義可知：，設(shè)直線AB為， ，不妨設(shè)，則，所以，解得：，則，解得：，則，所以，解得：，則直線AB為，所以當(dāng)時(shí)，即，解得：，則，聯(lián)立與得：，則，所以，其中.故選：C8D【詳解】因?yàn)?，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)；，故；，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故；，；故ABC均錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，兩邊取自然對數(shù)，因?yàn)椴还?，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，結(jié)論得證，D正確故選：D9BD【詳解】由圓，可知其圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，所以可知選項(xiàng)B，D正確，選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤.故選

10、：BD10AC【詳解】由題設(shè)，時(shí)，為偶函數(shù)，在上有，遞增，故A正確，B錯(cuò)誤；時(shí)，此時(shí)，即關(guān)于點(diǎn)對稱，在上有，不單調(diào)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC11ACD【詳解】A：如下圖，直線與直線CD所成角，即為直線與直線AB所成角，則，正確；B：構(gòu)建如下圖示的坐標(biāo)系，過A的直線與長方體所有棱所成的角相等，與面交于且，又，則，故，則，錯(cuò)誤.C：如下圖，過A的直線m與長方體所有面所成的角都為，則直線m為以為棱長的正方體的體對角線，故，正確；D：如下圖，過A的平面與長方體所有面所成的二面角都為，只需面與以為棱長的正方體中相鄰的三條棱頂點(diǎn)所在平面平行，如面，故，則，正確.故選：ACD12BC【詳解】由題可知，；

11、，；，由此可知，即一個(gè)等比數(shù)列；A：，A錯(cuò)誤；B：，因?yàn)椋栽摂?shù)列為遞減數(shù)列，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以恒成立，B正確；C：，即，兩邊約去得到，當(dāng)時(shí)，原式成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以成立，即成立，C正確；D：令，再令，令解得，因?yàn)?，所以取，由此可知時(shí)；時(shí)，故為最大值，根據(jù)單調(diào)性，即不恒成立，D錯(cuò)誤.故選：BC13【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋运怨蚀鸢笧椋?4【詳解】如圖示，以C為原點(diǎn)，為x軸正方向，過C垂直向上方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長為2，則,.因?yàn)辄c(diǎn)P在BC邊上（包括端點(diǎn)），所以,其中.所以,所以.因?yàn)?，所?故答案為：15#【詳解】由題設(shè)，將三棱錐補(bǔ)全為棱長為的正方體

12、，如下圖示：若，則，即在P為球心，4為半徑的球面上，且O為底面中心，又，所以，面與球面所成弧是以為圓心，2為半徑的四分之一圓弧，故弧長為；面與與球面所成弧是以為圓心，4為半徑且圓心角為的圓弧，故弧長為；面與球面所成弧是以為圓心，4為半徑且圓心角為的圓弧，故弧長為；所以最長弧的弧長為.故答案為：.16【詳解】由圖可知，若想通過6次移動(dòng)最終停在-2的位置上，則必然需要向右移動(dòng)2次且向左移動(dòng)4次，記向右移動(dòng)一次為R，向左移動(dòng)一次為L，則該題可轉(zhuǎn)化為RRLLLL六個(gè)字母排序的問題，故落在-2上的排法為所有移動(dòng)結(jié)果的總數(shù)為，所有落在-2上的概率為故答案為：17(1)，(2)(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義和表格

13、中數(shù)據(jù)，得到，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.(2)因?yàn)楫?dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上所述，18(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，再由正弦定理的邊角關(guān)系即可證結(jié)論.（2）由（1）及題設(shè)可得，進(jìn)而求得，應(yīng)用余弦定理及正弦定理邊角關(guān)系求，即可求，注意根據(jù)B的范圍判斷符號，最后利用及和角余弦公式求值即可.(1)由題設(shè)，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即.(2)由（1）及題設(shè)，且，所以，則，故，又，可得，若，則，而，故不合題設(shè)；所以，所以.19(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）若是中點(diǎn)，連接，作，根據(jù)題設(shè)可得兩兩垂直，構(gòu)

14、建空間直角坐標(biāo)系，令，并確定點(diǎn)坐標(biāo)，求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示即可證結(jié)論.（2）根據(jù)已知體積，結(jié)合棱錐的體積公式求出，進(jìn)而求面ABED的法向量、直線CE的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值.(1)若是中點(diǎn)，連接，作，由知：，因?yàn)槊鍭BC，則面ABC，又面ABC，所以，綜上，兩兩垂直，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，所以，若是面的一個(gè)法向量，即，令，則，又是面的一個(gè)法向量，則，所以面面.(2)由面ABC，面ABED，則面ABED面ABC，故到面ABED的距離，即為中上的高，因?yàn)?，則，故，所以上的高.又面ABC，則，而，有，所以為直角梯形，令，則，綜上

15、，故.由（1）知：，所以，若是面ABED的一個(gè)法向量，即，令，則，而，則，所以直線CE與平面ABED所成角的正弦值為.20(1)；(2)第9個(gè)月的月利潤預(yù)報(bào)值最大【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)與回歸方程的公式進(jìn)行求解，得到回歸方程；（2）結(jié)合第一問所求得到關(guān)于的函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，極值及最值，求出答案.(1)令，則，所以y關(guān)于x的回歸方程為；(2)由（1）知：，令，令得：，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，所以第9個(gè)月的月利潤預(yù)報(bào)值最大.21(1)且；(2)存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用斜率兩點(diǎn)式，結(jié)合直線斜率之積為定值列方程，即可求M的軌跡為曲線C，注意.（2）設(shè)、直線AM為，聯(lián)立曲線C，應(yīng)用韋達(dá)定理求坐標(biāo)，進(jìn)而應(yīng)用表示、，結(jié)合二倍角正切公式判斷與的數(shù)量關(guān)系，即可得解.(1)設(shè)，則且，所以M的軌跡為曲線C方程為且.(2)設(shè)，則直線AM為，聯(lián)立曲線C得：，整理得：，由題設(shè)知：，則，故，又，所以，即，所以存在，使.22(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【解析】【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)判