數(shù)字信號(hào)處理復(fù)習(xí)以及答疑

1、知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)x n，已知線性移不變系統(tǒng)的輸入為系統(tǒng)的單y 。n n h n， 試求系統(tǒng)的輸出位抽樣響應(yīng)為x n n 2，h n 0.5n R3解：y n x n h n n n 2 0.5 Rn3 0.5n2 R n 232）x n R3 n ，h n R4n 解：y n x n h n R3 n R4 n n n 1 n 2 R4 n R4 n R4 n 1 R4 n 2判斷下列每個(gè)序列是否是周期性的，若是周期性的，試確定其周期x n Acos 3 n 8 7 3其中解：x(n)為正弦序列0702 3 是有理數(shù)14N 14是滿足x(n N ) x(n)的最小正整數(shù) x n 為周期序列，周期為1

2、4y n x n 2試判斷是否是線性系統(tǒng)？并判斷是否是移不變系統(tǒng)？T x(n) x(n)22Tx (n) x (n)解：設(shè)1122T x n xn xn x2n12122x n xn 22 xxnn1212 T x1 n T x2 n 不滿足可加性 x n 2 aT x n 不滿足比例性y n m x(n m)2T ax n ax n 2不是線性系統(tǒng)T x n m x n m2是移不變系統(tǒng)或 a2判斷以下每一系統(tǒng)是否是（1）線性（2）移不變（3）因果（4）穩(wěn)定的？（1）T x n g n x n 解： T ax1 n bx2 n g n ax1 n bx2 ag n x1 n bg n x2

3、n n aT x1 n bT x2 n 是線性系統(tǒng) T x n m g n x n m y n m g n m x n m不是移不變系統(tǒng)滿足疊加原理 T x n mT x n g n x n 因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出只取決于當(dāng)前輸入，與未來(lái)輸入無(wú)關(guān)。所以是因果系統(tǒng)x n M 若 x n 有界則 T x n g n Mg n 當(dāng)時(shí)，輸出有界，系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)當(dāng) g n 時(shí)，輸出，系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)n（2）T x n x k k n0nT ax1 n bx2 n ax1 k bx2 k k n0nn aT x1 n bT x2 n a x1 k b x2 k k n0k n0滿足疊加原理是線性系統(tǒng)nm令k k

4、mnx k k n0 mT x n m x k mk n0nmy n m x k k n0是移變系統(tǒng) T x n mnT x n x k k n0n n0當(dāng)時(shí)，輸出只取決于當(dāng)前輸入和以前的輸入n n0而當(dāng)時(shí)，輸出還取決于未來(lái)輸入是非因果系統(tǒng)x n M 時(shí)，當(dāng)nn k n0 x k k n0 x k n n0 1 MT x n 當(dāng)n 是不穩(wěn)定系統(tǒng)（3）T x n x n n0 T ax1 n bx2 n ax1 n n0 bx2 aT x1 n bT x2 n n n0 滿足疊加原理 T x n m x n m n0 是線性系統(tǒng)y n m 是移不變系統(tǒng) 0 時(shí)，輸出與未來(lái)輸入無(wú)關(guān)是因果系統(tǒng) 0

5、時(shí)，輸出取決于未來(lái)輸入是非因果系統(tǒng)當(dāng) n0當(dāng) n0若 x n M 則 x n n0 M 是穩(wěn)定系統(tǒng)h n ，以下序列是系統(tǒng)的抽樣響應(yīng)試說(shuō)明系統(tǒng)是否是（1）因果的（2）穩(wěn)定的h(n)=3n u n解：h n 0當(dāng)n 0時(shí)是因果的 n h n 3n 是不穩(wěn)定的n 0h(n) 3n u n 解：當(dāng)n 0時(shí)h(n) 0是非因果的013 n n 3h n n1 2n3 1 n03是穩(wěn)定的設(shè)有一系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系由以下差分方程確定y n 1 y n 1 x n 1 x n 12設(shè)系統(tǒng)是因果性的。（a）求該系統(tǒng)的2取樣響應(yīng)h(n)（b）由（a）的結(jié)果，求輸入序列為x n e jn的響應(yīng) 1 n1u n 1

6、 n h n2 1 n1（b）y n h n x n n u n 1 e jn 2 2e jn2e j2e j 1jnjn e2e j1 e1有一調(diào)幅信號(hào)xa t 1 cos2 50t cos2 100t xa t 的所用DFT做頻譜分析，要求能分辨有頻率分量，問(wèn)(1)抽樣頻率應(yīng)為多少（Hz）?抽樣時(shí)間間隔應(yīng)為多少秒（Sec）?抽樣點(diǎn)數(shù)應(yīng)為多少點(diǎn)？抽樣后得到的序列是周期的嗎?周期是多少?解：xa t 1 cos2 50t cos2 100t cos2 100t 1 cos2 150t 1 cos2 50t 2（1）抽樣頻率fs應(yīng)為2fs 2 150 300Hz（2）抽樣點(diǎn)時(shí)間間隔Ts應(yīng)為11T

7、s sfs300 xa t 1 cos2 50t cos2 100t cos2 100t 1 cos2 150t 1 cos2 50t 22因?yàn)轭l率分量分別為50、100、150Hz1 50Hz，所以，信號(hào)持續(xù)時(shí)間T得頻率分辨率 F00F0N fs T0 300 / 50 6點(diǎn)數(shù)N 6最?。?）x(n) xa (t)nTs cos2 100t 1 cos2 150t 1 cos2 50t 22 cos 2 1 n 1 cos 2 1 n 1 cos 2 1 n 32226x(n)為周期序列，周期N 6求以下序列的z 變換并畫(huà)出零極點(diǎn)圖和收斂域： 1 nx(n) 2 (2)u(n) 1 n12解

8、： ZT x(n) x(n)zn nzz1 1n0 2 n1z1 1 z1z 1j Im z 22零點(diǎn)： z 01/ 2z 1極點(diǎn)：0Re z 21收斂域：z2 1 n（3） x(n) 2 u(n 1)解：ZT x(n) 1 n1n 2n znx(n) z nz n 2 n n12z 12zz z 11 2z2j Im z 零點(diǎn)： z 0，z 1極點(diǎn)：1/ 2Re z 2012z收斂域：X (z) 的z反變換用部分分式法求以下1 2 z 114X ( z) z111 zz 24X ( z)AB 解：11 zzz 4 z 4 zA 8B 77z X (z) 8 z 14x (n) 8 (n) 7

9、 4n u(n 1)得有一個(gè)信號(hào) y(n)，它與另兩個(gè)信號(hào)和 x2 (n)的關(guān)系是y(n) x1 (n 3) * x2 (n 1)x1 (n) 1 n 1 nx (n) (n) u(n),xu(n)其中12231已知ZT a nu ( n ) ,za1 az 1利用z變換性質(zhì)求 y(n)的z 變換Y ( z) 1 n解：x (n) u(n)由1211得 X (z) ZT x (n) z111 1 z122n由x (n) 1 u(n) 3 211得 X (z) ZT x(n) z221 1 z133由序列的移位性質(zhì)，得z31ZT x1 (n 3) zX1 z 23z1211 z求 ZT x2 n

10、 1x2 (n) 翻JJJ褶JG x2 (n)J一JJ位JJG x2 n 1 1 ZT x n X1z132 z 321z1 1 z3 1 ZT x n 1 z X2 21z z 1 1 z3Y z ZT x1 (n 3) ZT x2 (n 1)z3z3z51 2 3z 1 11 11z21z3z 3 z2X e j 是x n信設(shè)的號(hào)的X e ，j 試完成下列計(jì)算：葉變換，不必求出221111-37X e j 0 6-2n=0245（1）-1-1解：由序列的變換公式X (e j ) DTFT x(n) x(n)e jnn得 X e n x n ej 0nj 0 x n n 6221111-37

11、6-2n=0245X e j d（2）-1-1解：由序列的反變換公式 1 2X (e j )e jndx(n) 1) jDTFT X (eX e j e j0d 2 x 0dj 4Xe得221111-376-2n=0245-1-1X e j 2（3）d1X e2x n 22jd解：由Parseval公式nX e2d 2 n x n 2j 28得X (e j )X (e j )，用已知 x(n)有表示下列信號(hào)的（a） x1 (n) x(1 n) x(1 n)變換變換解 ：X 1 (e) DTFT x(1 n) x(1 n)j DTFT x(1 n) DTFT x(1 n) e j X (e j

12、) e j X (e j ) 2 cos X (e j )DTFT x n X (e j )DTFT x n m e jm X (e j )x* (n) x(n)（b） x3 (n) 2DTFT x n X (e j )DTFT x* n X *(e j )j1*jjX 3 (e) X (e) X (e)2 Re X (e j )y(n)的時(shí)研究一個(gè)輸入為 x(n)和輸出為域線性離散移不變系統(tǒng)，已知它滿足y(n 1) 10 y(n) y(n 1) x(n)3并已知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。試求其響應(yīng)。抽樣解：對(duì)差分方程兩邊取z變換z1Y (z) 10 Y (z) zY (z) X (z)3y(n 1) 1

13、0 y(n) y(n 1) x(n)3得系統(tǒng)函數(shù)：H (z) Y (z) 1 10 zX (z)z13zz z 1 z 3 10 z 1z23 3零點(diǎn)：z 0極點(diǎn)：z ,3 Roc : 1 z 31系統(tǒng)穩(wěn)定333 z3 zz由H z 8 81H z 1 z 3 z 3 z z 3 3Roc : 1 z 311 az 13ZT anu(n) za1ZT anu(n 1) za1 az 11/ 3 3zz znz 13n u(n 1)u(n) 3 z 313z 3 1 n38h n u n 3n u n 18 3 設(shè) x n 是一離散時(shí)間信號(hào)，其z變換為X z 。利用X z 求下列信號(hào)的z變換：x

14、 n n為偶數(shù)n 2 x02n為奇數(shù)x2 (0) x(0)x2 (1) 0 x2 (2) x(1)x2 (3) 0 x2 (4) x(2) x n n為偶數(shù)n 2 （2）x02n為奇數(shù) n 解：ZT x2 n n z nnx2x 2 zn n為偶數(shù) x n zn，m為整數(shù) 2 n2m x m z2mm x m(z2 )m m X z2 x3 n x 2nx3(0) x(0)x3(1) x(2)x3(2) x(4)x3(3) x(6)（3）x3 n x 2n x 2n z n解：ZT x n n z nx33n n =- m x m z 2，m=2n,m為偶數(shù)，n為整數(shù)m令 x m 1 1 1m

15、 x m 2 m21 ZT x3 n 1 1 x m zm m 2 mm2111x m zx m z 22 m2 m1 11 X z 2 X z 22 已知兩個(gè)有限長(zhǎng)序列為x(n) n 1,0 n 34 n 60 n 45 n 60,y(n) 1, 1,x(n)， y(n)以及 f (n) x(n) y(n)。試表示x(n) n 1,0 n 34 n 60,y(n) 1,0 n 45 n 6 1,已知 x(n) 是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，X (k ) DFT x(n)?，F(xiàn)y(n)將長(zhǎng)度變成rN點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列0 n N 1y(n) x(n),N n rN 10,DFT y(n)與 X (k )的關(guān)系。試

16、求rN點(diǎn)j 2 nkN 1解：由 X (k ) DFT x(n) x(n)en0, 0 k N 1NrN 1N 1得Y (k ) DFT y(n) nk rNnky(n)Wx(n)WrNn 0n0j 2 nkj 2 n kN 1n0N 1 k x(n)e X x(n)erNNr r n 0k lr, l 0,1,., N 1j 2 nkN 1X (k ) x(n)en00 k N 1NY (k ) X k k lr,l 0,1,., N 1 r 相當(dāng)于頻域插值在一個(gè)周期內(nèi)，Y (k)的抽樣點(diǎn)數(shù)是X (k)的r倍( Y(k)的周期為Nr)，相當(dāng)于在X (k)的每?jī)蓚€(gè)值之間r-1個(gè)其他值（不一定為

17、零），而當(dāng)k為r的 整數(shù)l倍時(shí)，Y (k)與X (k / r)相等。設(shè)有一譜分析用的信號(hào)處理器，抽樣點(diǎn)數(shù)必須為2的整數(shù)冪，假定沒(méi)有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措 10H，z如果采用的抽樣時(shí)施，要求頻率分辨力間間隔為0.1ms，試確定：（1）最小長(zhǎng)度；（2）所允許處理的信號(hào)的最高頻率；（3）在一個(gè)中的最少點(diǎn)數(shù)。1 ，而 F1 10Hz，所以解:（1）因?yàn)門s10T000F0即最小長(zhǎng)度為0.1s。112 ff103 10kHz，而（2）因?yàn)閒shsT0.1 1f 5kHzfhs2即允許處理的信號(hào)的最高頻率為5kHz。 0.1 103 1000（3）0.1又因N必須為2的整數(shù)冪，所以一個(gè)中的N 210 10

18、24最少點(diǎn)數(shù)為試求以下有限長(zhǎng)序列的 N點(diǎn) DFTx(n) (n n0 )(1)0 n0 NN 1X (k ) nk Nx(n)WR(k )解：Nn 0j 2 nkN 1 x(n)en0RN (k )Nj 2 nkN 1 (n n0 )en0RN (k )Nj 2 n k e0R(k )NNx(n) an R(n)N(2)N 1X (k ) nk Nx(n)WR(k )解：Nn 0j 2 nk NN 1 anen 0R(k )NnN 1 j 2 kN aeRN (k )n0 1 a NRN (k )2Njk1 ae5 s，每如果一臺(tái)通用計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)乘DFT x n，問(wèn)直0.5，s用它

19、來(lái)計(jì)算512點(diǎn)的次復(fù)加FF運(yùn)T算需要多少時(shí)間。接計(jì)算需要多少時(shí)間，用解：(1)直接利用 DFT 計(jì)算：復(fù)乘次數(shù)為 N 2，復(fù)加次數(shù)為復(fù)乘所需時(shí)間N N 1。.31072s復(fù)加所需時(shí)間T 0.5 106 N N 12 0.5 106 512 512 1 0.130816s所以直接利用DFT 計(jì)算所需時(shí)間：T T1 T2 1.441536s(2) 利用 FFT 計(jì)算：N log復(fù)乘次數(shù)為復(fù)乘所需時(shí)間N，復(fù)加次數(shù)為N logN。222T 5 106 N logN122 5 106 512 log512 0.01152s22復(fù)加所需時(shí)間T 0.5 106 N logN22 0.5 106 512 lo

20、g 512 0.002304s2所以用 FFT 計(jì)算所需時(shí)間T T1 T2 0.013824s例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用 一次N點(diǎn)DFT運(yùn)算來(lái)計(jì)算它們各自的DFT:DFT x1(n) X1(k )DFT x2 (n) X 2 (k )解：利用兩序列一個(gè)復(fù)序列w(n) x1(n) jx2 (n)則W (k ) DFT w(n) DFT x1 (n) jx2 (n) DFT x1(n) jDFT x2 (n) X 1 (k ) jX 2 (k )Rew(n)j Imw(n)Wep (k )Wop (k )w(n) x1(n) jx2 (n)由x1(n) Rew(n)得X1

21、 (k ) DFTRew(n) Wep (k ) 1 W (k ) W *(N k )R(k )NNN2由x2 (n) Imw(n)得X (k ) DFTImw(n) 1 W(k )2opj1W (k ) W *(N k )R(k )NNN2 j設(shè)某FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H z 1 1 3z 1 5z 2 3z 3 z 4 5試畫(huà)出此濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)。解：對(duì)系統(tǒng)函數(shù)求z反變換，得h n h 0 h 4 1 0.2得5h1 h3 3 0.65h2 1h0 h4 1 0.2h1 h3 3 0.655h2 1即 h n 是偶對(duì)稱，對(duì)稱中心在 n N 1 2處，2N為奇數(shù) N 5 。得線性相

22、位結(jié)構(gòu)：設(shè)濾波器差分方程為y n x n x n 1 1 y n 1 1 y n 234試畫(huà)出直接型流圖NMy n ak y n k bk x n k 解：根據(jù)k 1k 0M kb zY z X z 1 z1k或者由 H z k 0，得1 1 z1 1 z2N1 ak 1z kk34 1 1b 1b 1aa120134 1 1b 1b 1aa121034得直接型結(jié)構(gòu)：利用轉(zhuǎn)置原理得到典范型流圖將 H z 因式分解為一階節(jié)：1 z1H z 1314z1z21 z 11 1 101 10111 1 zz661 z 11 0.69 z 1 1 0.36 z 1 1 z 1H (Z ) 1 0.69 z 1 1 0.36 z 1 1 z 11 0.69 z 1 11 0.36 z 1 級(jí)聯(lián)型流圖將 H z 分解為一階節(jié)部分分式：1 z 1H z 1 1061 106z 1 1 z 1 1 2201 1 1 1 10 z110 z1661.611 0.69 z