幾何專題-輔助線

1、 幾何專題輔助線平面幾何是初中教學(xué)的重要組成部分，它的基礎(chǔ)知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，又是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ)，但許多初中生對(duì)幾何證實(shí)題感到困難，尤其是對(duì)需要添加輔助線的證實(shí)題，往往束手無策。一、輔助線的定義：為了證實(shí)的需要，在原來圖形上添畫的線叫做輔助線。二、幾種常用的輔助線：連結(jié)、作平行線、作垂線、延長(zhǎng)等注意：1）添加輔助線是手段，而不是目的，它是溝通已知和未知的橋梁，不能見到題目，就無目的地添加輔助線。一則沒用、二則輔助線越多，圖形越亂，反而妨礙思考問題。2）添加輔助線時(shí)，一條輔助線只能提供一個(gè)條件三、正確添加輔助線歌人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？

2、把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證實(shí)有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長(zhǎng)度

3、的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證實(shí)是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓假如碰到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證實(shí)題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注重勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)把握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。幾

4、何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點(diǎn)、作中線，中線處長(zhǎng)加倍看；底角倍半角分線，有時(shí)也作處長(zhǎng)線；線段和差及倍分，延長(zhǎng)截取證全等；公共角、公共邊，隱含條件須挖掘；全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊；中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦；四邊形、對(duì)角線，比例相似平行線；梯形問題好解決，平移腰、作高線；兩腰處長(zhǎng)義一點(diǎn)，亦可平移對(duì)角線；正余弦、正余切，有了直角就方便；非凡角、非凡邊，作出垂線就解決；實(shí)際問題莫要慌，數(shù)學(xué)建模幫你忙；圓中問題也不難，下面我們慢慢談；弦心距、要垂弦，碰到直徑周角連；切點(diǎn)圓心緊相連，切線常把半徑添；兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦；切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線；基本圖形要熟練，復(fù)雜圖形多

5、分解；以上規(guī)律屬一般，靈活應(yīng)用才方便。五、總結(jié)常見添加輔助線的方法（一）定義類：1、和角平分線有關(guān)的問題，通?？梢宰鬟@個(gè)角的兩邊的平行線例1：在厶ABC中，AD是ZBAC的角平分線，與BC交于D,求證：AB:AC=BD:CD解析：這個(gè)習(xí)題的證實(shí)方法很多，但均離不開添加ZBAC的兩邊的平行線。過D做DEAC與AB交于E。過D做DFAB與AC交于F。過B做BHAC與AD交于H。過C做CGAB與AD的延長(zhǎng)線交于Go2、如遇垂直平分線的問題，往往構(gòu)成等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)解題例2：已知在三角形ABC中，BD,CE分別是AC,AB邊上的高，G、F為分別為ED、BC的中點(diǎn)，求證：FG丄ED分析：

6、G是ED的中點(diǎn)，要證實(shí)FG丄ED，說明FG必為ED的垂直平分線，自然考慮添加輔助線DF與EF,只要證得DF與EF相等，就可利用等腰三角形的三線合一定理推出結(jié)論。（二）、梯形問題。梯形沒有平行四邊形、矩形等特殊四邊形有那么多性質(zhì)，所以有關(guān)梯形的證明題、計(jì)算題，常有一定的難度，假如能巧借輔助線，則能有效地化難為易。1、移腰Q、移動(dòng)一腰例1：梯形兩底長(zhǎng)分別為14cm和24cm,下底與腰的夾角分別是60和30，求較短腰長(zhǎng)。解析：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AD=14cm,BC=24cm,ZB=60,ZC=30o過點(diǎn)A作AE/DC交BC于E,得到平行四邊形AECD和厶ABE,故AE=DC,AD=

7、EC,ZC=ZAEB=30。這樣，梯形的兩腰，兩底之差，下底與腰的兩個(gè)夾角都集中于RtABE中，于是得到較短腰。、移動(dòng)兩腰例2：如圖，梯形ABCD中，AD/BC,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，且EF丄BC。求證：ZB=ZC。 #分析：過點(diǎn)E作EM/AB,EN/DC,分別交BC于點(diǎn)M、N。梯形兩腰、下底與腰的兩個(gè)夾角集中于AEMN中，由E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)輕易得到，又由EF丄BC,得EM=EN,故ZEMN=ZENM，所以ZB=ZCo # #2、移對(duì)角線例3：已知梯形ABCD中，AD/BC,AB=DC,對(duì)角線AC、BD互相垂直，梯形的兩底之和為8。求梯形的高與面積。 # #解析：過點(diǎn)D作D

8、E/AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DM丄BC于點(diǎn)M,這樣得到平行四邊形ACED，所以AC=DE,AD=CE。由AC丄BD,得BD丄DE。這樣將兩對(duì)角線，兩底和，兩對(duì)角線夾角集中于ABDE中。輕易得到DM為等腰直角BDE的BE邊上的高，所以，即梯形的高為4o # #3、移底例4：如圖，梯形ABCD中，AB/CD,E為腰AD的中點(diǎn)，且AB+CD=BC。 求證：BD丄CE。分析：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,因?yàn)辄c(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，可得DCEAAFE,故CE=FE,CD=AF，由AB+CD=BC，得BC=BF，故BE丄CE。4、作高例5：如圖，在梯形ABCD中，AB/CD，兩條對(duì)角線AC=20cm

9、,BD=15cm，梯形高為12cm,求梯形ABCD的面積。解析：此題有兩種解法。法一：如圖6，分別過點(diǎn)C、D作CE丄AB于點(diǎn)E，DF丄AB于點(diǎn)F，得矩形DCEF，在RtACE中，AC=20cm，CE=12cm，可得AE=16cm。同理BF=9cm，顯然BF+AE=AB+CD=25,可求梯形面積為。如圖6法二：如圖7,過點(diǎn)D作DE/CA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF丄BA于點(diǎn)F，在RtADEF中，DE=AC=20cm,DF=12cm,由勾股定理可得EF=16cm。同理，F(xiàn)B=9cm,所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25，進(jìn)而求得梯形面積為。Eg通過添加輔助線，將梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊

10、形和三角形問題，從而解決問題。梯形添加輔助線的規(guī)律可歸納為以下幾點(diǎn)：1、當(dāng)兩腰具備非凡關(guān)系時(shí)，移腰，構(gòu)造等腰三角形或直角三角形。2、當(dāng)涉及面積時(shí)，作高，構(gòu)造直角三角形。3、當(dāng)涉及腰的中點(diǎn)時(shí)，可添加輔助線構(gòu)造全等三角形。4、當(dāng)涉及兩底的和或差時(shí)，可靈活利用上述三點(diǎn)，將兩底移到同一直線上。（四）涉及到圓的輔助線可以歸納如下：遇有直徑，常把圓上的一個(gè)點(diǎn)和直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連接，構(gòu)成直角三角形；有關(guān)弦的問題常做弦心距和將圓心與弦的兩個(gè)端點(diǎn)連接；兩圓相切或相交，貝何以按以下規(guī)律進(jìn)行：“相切做條公垂線，相交做條共弦；相切相交連心線，必定過切點(diǎn)，垂直公共弦”。例、，是圓中的兩弦，相交于，且丄，求證：等于定值。例

11、：已知直角4中，Z96，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓交斜邊于，求的長(zhǎng)。解：過作丄于依垂徑定理有由勾股定理得 )Cs答：長(zhǎng)為例3：已知在中以為直徑作。交證明：連結(jié)、為。的直徑Z即Z丄=Z丄Z丄VZ丄丄。，9ZZ。丄/在0上：丄丄是0上是0的切線。例4：已知和0相切于，交0于、,丄，為垂足。求證:XX分析：要證XB,P，X,只要證=即要證由于，問題轉(zhuǎn)化為證：X。在這里就想要到連，由，只需要X。而是切線，即丄，又丄，有X，成立.例5：如圖0和0相交于、，在0上取一點(diǎn)，連結(jié)，,交0于,、丄兩點(diǎn)，求證與過點(diǎn)的切線平行。證明：連接/在。上/所以丄,又乙.-.Z例6如圖，已知O和。相切于過證明：過切點(diǎn)作外公切線A

12、Z丄丄作大圓的弦為。的切線/分別交小圓于丄同理/為了便于記憶，把上述六例編一個(gè)順口溜：與圓有關(guān)輔助線加添規(guī)律人可循遇弦就添弦心距遇有直徑找直角。 切線切點(diǎn)連圓心，兩圓連心關(guān)系好。相切兩圓公切線相切兩圓公弦妙解題方法有多樣并非一定限此道。（五）和線段的中點(diǎn)有關(guān)的問題往往可以聯(lián)系到三角形和梯形的中位線例如：如圖四邊形ABCD是圓的外切四邊形，其周長(zhǎng)是S,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，求證：4EFWS證實(shí)方法：連接AC,N是AC和EF的交點(diǎn)1）若N是AC的中點(diǎn)，則EFDCAB,四邊形ABCD是梯形，那么EF是梯形ABCD的中位線，則有4EF=2（DA+BC）=AB+BC+CD+DA=S2）若N不是A

13、C中點(diǎn)則可以做出AC的中點(diǎn)M,連接EM,FM,則有2EM=DC,2FM=AB,從而可以得出4=2=S，而在三角形EMF中EFEM+MF,可得4EFVS。（六）暗示類：1、截長(zhǎng)補(bǔ)短：一條線段等于另外兩條線段的和差。例如：已知RtABC中，ZC=90,AC=BC,AD是ZBAC的角平分線，求證：AB=BC+CD方法一：截長(zhǎng)，在AB上截取AE等于AC,連接DE從而就有了AEDAACD,可得DE=DC,因?yàn)閦c=Z90,從而又可得Abed是等腰三角形，因此有de=dc=be,得出ab=ac+cd方法二：補(bǔ)短延長(zhǎng)AC到F,使CF=CD,連接D、F,可證ABDAFD,可得AF=AB,得出結(jié)論。2、當(dāng)比例式

14、不能直接證實(shí)時(shí)，往往可以考慮“中間比”或等線段，為此往往需要添加平行線或?qū)ふ业染€段實(shí)現(xiàn)這種比的轉(zhuǎn)移。例：已知在三角形ABC中，D在CB的延長(zhǎng)線上，E在AC上，BD=AE,DE交AB于F,求證：DF:EF=AC:BC。AB分析：所證實(shí)的四條成比例線段，構(gòu)不成兩個(gè)相似三角形，因此考慮作EGAB,將DF:EF轉(zhuǎn)化為DB:BG,最后轉(zhuǎn)化為AC:BC。A3、一條線段等于另外一條線段的倍分。例：已知在三角形ABC中，ZB=2ZC,AD為高，E為BC的中點(diǎn)，求證：AB=2DE。證：取AC中點(diǎn)F,連接EF，DF，則EF為中位線，且EFAB、ZFEC=ZB=2ZC，在直角三角形ACD中，F(xiàn)是斜邊AC的中點(diǎn)，所以有DF=CF、可得ZDEF=ZC，即有2ZFDC=ZFEC,從而有ZEFC=ZFD