培優(yōu)旋轉(zhuǎn)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練及詳細(xì)答案

1、一、旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.兩塊等腰直角三角板ABC和厶DEC如圖擺放，其中ZACB=ZDCE=90,F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn).如圖1,若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為和位置關(guān)系為；如圖2,若將三角板DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請證明，不成立請說明理由；如圖3,將圖1中的DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明.【答案】(1)相等，垂直.(2)成立，證明見解析；(3)成立，結(jié)論是FH=FG

2、,FH丄FG.【解析】11試題分析：(1)證AD=BE，根據(jù)三角形的中位線推出FH=2AD,FHIIAD,FG=-BE,FGIIBE,即可推出答案；證厶ACD竺BCE,推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案；連接BE、AD,根據(jù)全等推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案.試題解析：(1)解：TCE=CD,AC=BC,ZECA=ZDCB=90,BE=AD,TF是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)H=112AD，F(xiàn)HIAD，F(xiàn)G=2BE，F(xiàn)GIBE.FH=FG，TAD丄BE,FH丄FG,故答案為相等，垂直(2)答：成立，證明：TCE=CD，ZECD=ZACD=9

3、0，AC=BC.ACD竺BCE.AD=BE，1由(1)知：FH=2FH=FG,FH丄FG,(1)中的猜想還成立.DDFCCGXGGB(3)答：成立，結(jié)論是FH=FG,FH丄FG.連接AD,BE,兩線交于Z,AD交BC于X,AD,FHAD,FG=3BE,FGHBE,同(1)可證FH=112AD，F(xiàn)HAD，F(xiàn)G=2BE，F(xiàn)Gbe，T三角形ECD、ACB是等腰直角三角形,CE=CD,AC=BC,ZECD=ZACB=90,.ZACD=ZBCE,在厶ACD和厶BCE中AC=BCZACD=ZBCE,CE=CDACD竺BCE,.AD=BE,ZEBC=ZDAC,TZDAC+ZCXA=90,ZCXA=ZDXB,

4、ZDXB+ZEBC=90,ZEZA=180-90=90,即AD丄BE,TFHAD,FGBE,FH丄FG,即FH=FG,FH丄FG,結(jié)論是FH=FG,FH丄FG.【點(diǎn)睛】運(yùn)用了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握,能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.2.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA,PB,PC.將PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到厶PCB的位置.設(shè)AB的長為a,PB的長為b(ba)，求PAB旋轉(zhuǎn)到PCB的過程中邊PA所掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積；若PA=2,PB=4,ZAPB=135,求PC的長.TT【答案】(1)

5、S陰影=伽七2)；(2)PC=6.【解析】試題分析：(1)依題意，將PCB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90可與PAB重合，此時(shí)陰影部分面積=扇形BAC的面積-扇形BPP的面積,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,兩個扇形的中心角都是90,可據(jù)此求出陰影部分的面積(2)連接PP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BP=BP，旋轉(zhuǎn)角ZPBP=90，則PBP是等腰直角三角形，ZBPC=ZBPA=135，ZPPC=ZBPC-ZBPP=135-45=90,可推出PPC是直角三角形，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出PC的長試題解析：(1)T將厶PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到厶PCB的位置，PABPCB,八PAB=SAPCB，(a2-b2)S陰影=S扇形BAC-S扇

6、形BPP：(2)連接PP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：APB竺CPB,.BP=BP=4，PC=PA=2，ZPBP=90，.PBP是等腰直角三角形，PP2=PB2+PB2=32；又:ZBPC=ZBPA=135,PC=；，=6ZPPC=ZBPC-ZBPP=135-45=90，即PPC是直角三角形.考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.正方形的性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)3如圖，ABC是等邊三角形，AB=6cm，D為邊AB中點(diǎn)動點(diǎn)P、Q在邊AB上同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，點(diǎn)P沿DTA以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動.點(diǎn)Q沿DTBTD以2cm/s的速度運(yùn)動，回到點(diǎn)D停止.以PQ為邊在AB上方作等邊三角形PQN.將厶PQN繞QN的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

7、180得到AMNQ.設(shè)四邊形PQMN與厶ABC重疊部分圖形的面積為S(cm2)，點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t(s)(0VtV3).當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，求t的值.當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，求t的值.當(dāng)點(diǎn)Q沿DTB運(yùn)動時(shí)，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式.設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,直接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積比為2：3時(shí)t的值.CPDO39宀丿【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形qmn=2Sapnq=如15t=1或丁【解析】試題分析：(1)由題意知：當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，此時(shí)DQ=3；當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上，此時(shí)PD

8、=DQ；333當(dāng)0t時(shí)，四邊形PQMN與氐A(chǔ)BC重疊部分圖形為四邊形PQMN；當(dāng)t時(shí)，四邊形PQMN與厶ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN.312MN、MQ與邊BC的有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)VtV，列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積表達(dá)式后，即可求出t的值.試題解析：(1)TPQN與厶ABC都是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合.DQ=32t=3.t=:(2)當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上,PD=DQ，當(dāng)0VtV時(shí)，此時(shí)，PD=t，DQ=2tt=2tt=0（不合題意，舍去），當(dāng)t3時(shí)，此時(shí)，PD=t,DQ=6-2tt=6-2t,解得t=2；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A

9、、B的距離相等時(shí)，t=2（3）由題意知：此時(shí)，PD=t，DQ=2t當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，.MN=BQPQ=MN=3t,BQ=3-2t.3t=3-2t如圖，當(dāng)0t時(shí)，沐PNQ=：PQ2=：t2;12,3S=S=2S:菱形QMNPNQ33如圖，當(dāng)t：時(shí)，設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,MN=PQ=3t，NE=BQ=3-2t，.ME=MN-NE=PQ-BQ=5t-3，EMF是等邊三角形，（4）MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，312此時(shí)t：，15t=1或】cEBQPDO圖考點(diǎn)：幾何變換綜合題4.（特例發(fā)現(xiàn)）如圖1,在厶ABC中，AG丄BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB,AC為直角邊，向

10、ABC外作等腰RtAABE和等腰RtAACF,過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.求證:EP=FQ.（延伸拓展）如圖2,在厶ABC中，AG丄BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB，AC為直角邊，向ABC外作RtAABE和RtAACF,射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE,AC=kAF,請思考HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論.（深入探究）如圖3,在厶ABC中，G是BC邊上任意一點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)，向ABC外作任意厶ABE和厶ACF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若上EAB=ZAGB,ZFAC之AGC,AB=kAE,AC=kAF,上一問的結(jié)論還成立嗎？并證明你的結(jié)論.（應(yīng)用推廣）在上一問

11、的條件下，設(shè)大小恒定的角ZIHJ分別與AEF的兩邊AE、AF分別交于點(diǎn)M、”，若厶ABC為腰長等于4的等腰三角形，其中ZBAC=120,且ZIHJ=ZAGB=0=60,k=2；求證：當(dāng)ZIHJ在旋轉(zhuǎn)過程中，EMH、HMN和厶FNH均相似，并直接寫出線段MN的PHEFQAC呂G圉最小值（請?jiān)诖痤}卡的備用圖中補(bǔ)全作圖）.【答案】證明參見解析；（2）HE=HF；成立，證明參見解析；證明參見解析，MN最小值為1.【解析】試題分析：特例發(fā)現(xiàn)：易證厶AEP竺BAG,AFQ竺CAG，即可求得EP=AG,FQ=AG，即可解題；（2）延伸拓展：過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.易證11ABG-EAP

12、,ACG-FAQ,得到PE=AG,FQ=AG,APE=FQ,然后證明1EPH竺FQH,即可得出HE=HF；深入探究：判斷PEA-GAB，得至UPE=AG,1AQF-CGA,FQ=,得到FQ=AG，再判斷厶EPHFQH,即可得出HE=HF；(4)應(yīng)用推廣：由前一個結(jié)論得到厶AEF為正三角形，再依次判斷MHN-HFN-MEH，即可得出結(jié)論FQ=AG，PE=FQ；(2)延伸拓展，如圖：TZPEA+ZPAE=90,ZGAB+ZPAE=90,.ZPEA=ZGAB，.ZEPA=ZAGB，PEAEPEAE:.PEA-GAB,!;；,TAB=kAE,二“廠，.PE=AG,同理,FQAF1QFA-GAC,J，,

13、TAC=kAF,.FQ=AG,.PE=FQ,TEPIIFQ,ZEPH=ZFQH,TZPHE=ZQHF,.EPH竺FQH,.HE=HF；(3)深入探究,如圖2，在直線AG上取一點(diǎn)P,使得ZEPA=ZAGB,作FQIIPE,TZEAP+ZBAG=180-ZAGB,ZABG+ZBAG=180-ZAGB,.ZEAP=ZABG,TZEPA=ZAGB,.APE-BGA,AQFCGA,FQAFAGAC(4)應(yīng)用推廣,如圖3,EA6Jm3PEAEAGAS,TAB=kAE,PEAG,由于上FQA=ZFAC=ZAGC=180-ZAGB,同理可得,1AC=kAF,FQ=AG,.EP=FQ,TEPIIFQ,ZEPH=

14、ZFQH,TZPHE=ZQHF,.EPH竺FQH,.HE=HF；在前面條件及結(jié)論，得到，點(diǎn)H是EF中點(diǎn)，.AE=AF,TZEAB=ZAGB,ZFAC=ZAGC.ZEAB+ZFAC=180.ZEAF=360-(ZEAB+ZFAC)-ZBAC=60,.AEF為正三角形.又H為EF中點(diǎn)，.ZEHM+ZIHJ=120,ZIHJ+ZFHN=120,HMEH.ZEHM=ZFHN.TZAEF=ZAFE,:.HEM-HFN,.；-,TEH=FH,FH且ZMHN=ZHFN=60,.MHN-HFN,.MHN-HFN-MEH，在HMN中，ZMHN=60，根據(jù)三角形中大邊對大角，.要MN最小，只有HMN是等邊三角形,

15、.ZAMN=60,TZAEF=60,MN.MNIEF,TAEF為等邊三角形,.MN為11AEF的中位線，.MNmi=：EF=)x2=1.考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.三角形全等及相似的判定性質(zhì).5.如圖1,正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE(ABVAE)在一條直線上，正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形只有點(diǎn)A重合,其它頂點(diǎn)均不重合,連接BE、DG.當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：BE=DG；當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，連接FC,直接寫出ZFCD的度數(shù)；如圖3,如果=45,AB=2,AE=：；，求點(diǎn)G到BE的距離.【答案】（1）證明見

16、解析；（2）45或135；（3）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=90，再求出ZBAE=ZDAG，然后利用邊角邊”證明厶ABE和厶ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可.（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重合或G點(diǎn)C與重合，據(jù)此求解即可.111SBEG=SAEG=S.SBEG-BE-ft-16（3）根據(jù)和求解即可.試題解析：（1）如圖2，T四邊形ABCD是正方形，二AB=AD，ZBAE+ZEAD=90.四邊形AEFG是正方形，AE=AG，ZEAD+ZDAG=90.ZBAE=ZDAG.ABE竺ADG（SAS）.BE=DG.（2）

17、如圖，當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重合或G點(diǎn)C與重合，此時(shí)ZFCD的度數(shù)為45或135.(3)如圖3，連接GB、GE.由已知a=45，可知ZBAE=45.又VGE為正方形AEFG的對角線，ZAEG=45.ABIIGE.、1，GE=8.過點(diǎn)B作BH丄AE于點(diǎn)H.AB=2,：,.設(shè)點(diǎn)G到BE的距離為h.115占begBEh1616V51心點(diǎn)G到BE的距離為.考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.正方形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.平行的判定和性質(zhì)；5.勾股定理；6.分類思想的應(yīng)用6.在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O；在RtAPMN中，ZMPN二90.如圖1,若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合且PM丄

18、AD、PN丄AB,分別交AD、AB于點(diǎn)E、F,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；將圖1中的RtAPMN繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a(0a45).如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中(1)中的結(jié)論依然成立嗎？若成立,請證明；若不成立,請說明理由；如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)ZDOM二15。時(shí)，連接EF,若正方形的邊長為2,請直接寫出線段EF的長；如圖3旋轉(zhuǎn)后，若RtAPMN的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(不與點(diǎn)O、B重合)，當(dāng)BD二3BP時(shí)，猜想此時(shí)PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD二mBP時(shí)，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)PE=PF；(2)成立，理由參見解析；PE=2PF，理由參見解析；PE=(m-1)P

19、F.【解析】試題分析：(1)可利用角平分線性質(zhì)定理得到PE=PF；(2)成立，可用角邊角定理判定AOFDOE，從而得到PE=PF；要想求出EF的長，關(guān)鍵要求出0E的長，由ZDOM=15可得/AEO=45+15=60，作OH丄AD于H,若正方形的邊長為2,則OH=1,可算出EH=：=,二OE=EOF是等腰直角三角形，EF即可求出；構(gòu)建相似三角形，過P點(diǎn)作PH丄AB，PK丄AD,垂足為H、K,則四邊形AHPK為矩形，PHB和PKD都是等腰直角三角形，是相似的，TBD二3BP,.可算出HP:PK的值，然后通過FHP-PKE得到PE與PF的關(guān)系.由前面的思路可得出當(dāng)BD=mBP時(shí)，BD:PD=(m-試

20、題解析：(1)四邊形ABCD是正方形,.ZOAF=ZOAE=45,又:PM丄AD、PN丄AB,.PE=PF；(2)成立，PE仍等于PF,T四邊形ABCD是正方形，.ZOAF=ZODE=45,OA=OD，又TZAOF和ZDOE都是ZAOE的余角，ZAOF=ZDOE,AOF竺DOE(ASA),.OE=OF,即卩PE=PF；作OH丄AD于H,由ZDOM=15可得ZAEO=45+15=60,ZHOE=30,若正方形的邊長為2,則OH=1,在RtAHEO中，可算出EH=,.OE=!,TEOF是等腰直角三角形，EF=foE=fx：=；構(gòu)建相似三角形，過P點(diǎn)作PH丄AB,PK丄AD,垂足為H、K,則四邊形A

21、HPK為矩形，TZPHB=ZPKD=90ZPBH=ZPDK=45,PH_BPPHBPJ_PHB-PKD,戸二二&,TBD=3BP,戸工二F=匚,TZHPF+ZFPK=90ZKPE+ZFPK=90,ZHPF=ZKPE，又TZPHF=ZPKE=90,PFPHJ_PHF-PKE,=匚，即PE=2PF；當(dāng)BD=mBP時(shí)，BD:PD=(m-1)：PHF-PKE,PE:PF=BD:PD=(m-1)：1,PE=(m-1)PF.考點(diǎn)：1正方形性質(zhì)；2三角形相似的判定；3旋轉(zhuǎn)性質(zhì)；4探索線段的數(shù)量關(guān)系規(guī)律.7.在厶ABC中，AB=BC=2,ZABC=120,將厶ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(0a90)得厶ABC,

22、A”交AC于點(diǎn)E,A&分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn).(1)如圖1,觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段BE與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(2)如圖2,當(dāng)a=30時(shí)，試判斷四邊形BCDA的形狀，并說明理由.A-圖【答案】(1)BE=DF；(2)四邊形BCDA是菱形.解析】【分析】由AB=BC得到ZA=ZC,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=BC=BC,ZA=ZC=ZC】,ZABE=ZCBF，則可證明ABECBF,于是得到BE=BF根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得ZA=ZC=30，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ZA=Zq=30,ZABAzCBC=30,則利用平行線的判定方法得到ACJIAB,ACIIBC】，于是可判斷四邊形BCDA是平行四邊形，然后加上AB=BC可判斷四邊形BCfA是菱形.【詳解】(1)解：BE=DF.理由如下：TAB=BC，ZA=ZC，TABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(0a90)得厶Abc,11AB=BC=BC1，ZA=ZC=ZC1，ZABE=ZC1BF，在厶ABE和厶qBF中=CXBF*BA=BC1,.ZJ4=zC1ABE竺CBF,.BE=BF（2）解：四邊形BC1DA是菱形.理由如下：TAB=BC=2,ZABC=120,ZA=ZC=30,.ZA1=ZC1=30,TZABA1=ZCBC1=30,.ZAB