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1、第 1 次課內(nèi)容一元多項式的整除性與因式分解線性子空間教學(xué)要求熟練掌握帶余除法求商式和余式;掌握代數(shù)基本定理、根與系數(shù)的關(guān)系及復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的因式分解;理解并掌握線性空間、子空間的概念,會判斷集合對給定運算是否個線性空間、子空間;掌握子空間的交、和與直和等概念;會用直和中元素的表示式及維數(shù)定理的證明方法證明一些問題.一Exercise 1 設(shè) a, b, c 是三個不同的數(shù),用 x a, x b, x c 除一元多項式 f (x) 的余式依次為 r, s, t,試求用 g(x) = (x a)(x b)(x c) 除 f (x) 的余式。解: 設(shè) f (x) = q(x)g(x) + r(x
2、),則可設(shè) r(x) = a2x2 + a1x + a0,由 于 g(x) 是 三 次 多 項 式 ,故,r(x) 不超過二次。由于 g(a) = g(b) = g(c) = 0。則 r(a) = f (a) = r,r(b) = f (b) = s,r(c) = f (c) = t。故有如下方程組: 111a2 b2 c2ab ca0a1 a2rs t = 容易通過這個方程組解出 a0, a1, a2 的值,從而得到 r(x)。Exercise 2 求 p, q, r 之間的關(guān)系,使得 x3 + px2 + qx + r 的根成等比數(shù)列。解: 設(shè) x3 + px2 + qx + r 的三個根
3、分別為 x0 , x0, ax0,則有 x3 + px2 +ax0qx + r = (x )(x x )(ax )。x a00將右式展開,便有:xp = (+ x + ax )0a002xq =+ x + ax022a00r = 3x0由此,便有 ( q )3 = r。pExercise 3 如果任意多項式或者與多項式 p(x) 互素,或者能被 p(x) 整除,試證明 p(x) 不可約。1證明: 用反證法。假設(shè) p(x) 可約,則不妨設(shè) p(x) = p1(x)p2(x),其中,deg pi(x) deg p(x),i = 1, 2。從而 p1(x) 既不與 p(x) 互素,又不能被 p(x)
4、 整除。故,p(x) 不可約。證畢。!Exercise 4 集合 Rn = (a1, a2, . . . , an)T |ai R 關(guān)于矩陣的加法和數(shù)乘是否是否有理數(shù)域上的線性空間?復(fù)數(shù)域上的線性空間?解: (1) 顯然,Rn 關(guān)于矩陣的加法和數(shù)乘,間。有理數(shù)域上的線性空由于 Rn 對于實數(shù)域線性空間,而有理數(shù)域包含于實數(shù)域,因此其對于有理數(shù)域必空間。線性(2) Rn 關(guān)于矩陣的加法和數(shù)乘,不復(fù)數(shù)域上的線性空間。顯然對矩陣的加法成 Abel 群,但對于定義在復(fù)數(shù)域上的數(shù)乘不封Rn閉。例如,a Rn, = i C,但 a / Rn。Exercise 5 如果向量 不在子空間 S 中,但是在向量
5、和 S 生成的子空間中,試證明 必在 和 S 生成的子空間中。證明: 設(shè)向量 和 S 生成的子空間是 L(, S),則已知 / S 但 L(, S),故可以設(shè) = k + ,其中, S,且可知 k 6= 0。若 k = 0,推出 S,。11因此, = L()。證畢。, SkkExercise 6 設(shè) W, W1, W2 都是線性空間 V 的子空間,其中 W1 W2,且 W W1 = W W2,W + W1 = W + W2。試證明 W1 = W2。證明 1: 只需證 W2 W1,即證: W2 都有 W1。已知 W +W1 = W +W2,則可知存在 W1, W ,使得 = +。又已知 W1 W
6、2,故 W2。從而,有 = W W2。再由已知 W W1 = W W2 得 W W1 W1,從而 W1。所以,W1 = W2。證畢。證明 2: 根據(jù)維數(shù)定理,W + W1 = W + W2W W1 = W W2此證明方法只適用于有限維情況。? dim W1 = dim W2。不妨設(shè)dim W1 = r,1, 2, . . . , r 是 W1 的一組基。那么,1, 2, . . . , r在 V 中線性無關(guān)。由 W1 W2,有 1, 2, . . . , r W2。又由于dim W2 = r 以及1, 2, . . . , r 在 V 中線性無關(guān),那么1, 2, . . . , r也是 W2
7、的一組基。故對于 W2, 可表示為 1, 2, . . . , r 的線性組合,從而 W1。所以,W1 = W2。證畢。Exercise 7 設(shè) W1, W2 是數(shù)域 F 上 V 的兩個子空間,, V,其中 W2 但 / W1,又 / W2,證明:(1) k F, + k / W2;(2) 至多有一個 k F,使得 + k W1。2證明: (1) 用反證法。假設(shè)存在一個 k F,使得+k W2,設(shè) = +k,則由, W2有 = k W2。故 k F, + k / W2。證畢。(2) 用反證法。假設(shè)存在 k1, k2 F 且 k1 6= k2,使得 + ki W1, i = 1, 2。則 +k1
8、 ( + k2) = (k1 k2) W1,于是 W1。因此,至多有一個 k F,使得 + k W1。證畢。Exercise 8 設(shè) S 和 T 都是 R3 的子空間,其中 S 是形如 (0, x2, x3)T的向量的,T = L(1, 2, 0)T , (3, 1, 2)T ),試求 S T 和 S + T,并求它們的維數(shù)。解: 由已知易見 S = L(0, 1, 0)T , (0, 0, 1)T )??梢运愠觯? 3 0?2 1 0= 0?6?0 2 1?于是有 S + T = R3,即 dim(S + T) = 3。1312 S T,由于 T,可設(shè) = k1 2 + k2 。0又由于 S
9、,便有 k1 + 3k2 = 0。0 = k。5通過計算,2從而,S T = L(0, 5, 2)T )。Exercise 9 設(shè) 1 = 3x2 + 1,2 = x 1,試求 F3x 的兩個子空間 W1和 W2,使得 F3x = W1 L(1, 2),且 F3x = W2 + L(1, 2) 但不是直和。試:滿足條件的 W1 和 W2 是否唯一?試將本命題在 R3 中重新描述,并給出幾何解釋。解:(1) 顯然 L(1, 2) 的維數(shù)是 2,故 W1 的維數(shù)是 1。從而 W1 應(yīng)由一個不為 0 的多項式 g(x) 生成,且 g(x) / L(1, 2)??梢匀?g1(x) = 1 或 g2(x
10、) = 3x2 + x + 1, 其均不屬于 L(1, 2)。知 L(g1(x) 6= L(g2(x),但 L(g1(x) L(1, 2) = L(g2(x) L(1, 2) =F3x,所以滿足條件的 W1 不唯一。對于 W2,顯然其維數(shù)應(yīng)為 2 或 3,故 W2 可取 F3x,也可取 L(g1(x), 2)。故取法不唯一。(2) 命題在 R3 中的重新描述如下:1 = (3, 0, 1)T ,2 = (0, 1, 1)T ,試求 R3 中的兩個子空間 W1 和 W2,使得 R3 = W1 L(1, 2),且 R3 = W2 + L(1, 2) 但不是直和。幾何解釋如下:3W1 為 1 維子空
11、間,由不屬于 L(1, 2) 平面的某向量生成。W2 為 2 維或 3 維子空間。當(dāng) W2 為 2 維子空間時,其為不與 L(1, 2)重合的平面。當(dāng) W2 為 3 維子空間時,其為 R3。注:性空間中,任意子空間均含有 0,故此時不存在平行平面的情況。= L ? , ?,求 M2(F) 的一個子32110514Exercise 10 設(shè) W空間 W 0,使得 W W 0 = M2(F)。解: 知 M2(F) 同構(gòu)于 R4。故只需找到兩個線性無關(guān)的向量, 使之與 1 = (3, 1, 2, 1)T , 2 = (0, 1, 5, 4)TR4 的一組基即可。法一:觀察法。直接觀察得到 (0, 0, 1, 0)T 和 (0, 0, 0, 1)T 。則W 0 = L ? , ?01000001法二:取與1, 2 正交的兩個向量3 = (x3, x3, x3, x3)T , 4 = (x4, x4, x4,
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