電磁場數(shù)值計算1西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院

1、電磁場數(shù)值計算之1西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院電磁場數(shù)值計算之1西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院16/16電磁場數(shù)值計算之1西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院第一章電磁場基本觀點11Maxwell方程組（一）maxwell方程微分形式全電流定律DJt電磁感覺定律EBt高斯定律D磁通連續(xù)性原理B0電流連續(xù)性方程Jt積分形式DHdlJds（1-1）LStEdlB（1-2）SdsLtDdsVdv（1-3）SBds0(1-4)SJdsVdv（1-5）St說明：1、四個方程的物理意義，電生磁，磁生電，預(yù)言電磁波；積分形式（環(huán)量與旋度，通量與散度之間的關(guān)系）、復(fù)數(shù)形式（可作為穩(wěn)態(tài)場計算）；梯度、散度、旋度的觀點（描繪“點”上電

2、磁場的性質(zhì)）。2、方程（1-1）、（1-2）、（1-5）是一組獨立方程，其余兩個方程能夠由此推出。但獨立方程有6個變量（B、H、E、D、J、），因此，方程數(shù)少于未知量，是非定解方式，必須加本構(gòu)方程才為定解形式，關(guān)于簡單媒質(zhì)，本構(gòu)方程為DEBHJE(1-6)3、材料性質(zhì)材料是平均的cons，tconst，const材料是非平均：x,y,z，x,y,z，x,y,z材料是各向異性：材料參數(shù)用張量形式表示，材料為非線性：材料參數(shù)是未知函數(shù)的函數(shù)E，B，EdDdBdJ（1-7）dEdHdE14、直接求解矢量偏微分方程不易：一般矢量方程要轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)量方程才能求解，其他，在邊界上不易寫出場量邊界條件，因此，常

3、化為位函數(shù)的定解問題（位函數(shù)容易確定邊界條件），經(jīng)過位函數(shù)與場量的關(guān)系EBAH得出席量。mAE（1-8）t12偏微分方程的基本觀點1.2.1偏微分方程的基本觀點微分方程分為常微分方程和偏微分方程（又分為描繪不同物理現(xiàn)象的橢圓型方程、雙曲型方程、拋物型方程及其線性和非線性方程），電磁場問題多為偏微分方程問題。1、常微分方程未知函數(shù)是一元函數(shù)（即一個變量的函數(shù)）的微分方程（組）。如R、L、C串聯(lián)電路是兩階常系數(shù)非齊次微分方程，d2ucRCducucus（1-9）CL2tdtd關(guān)于一個n階場微分方程，平時可將其分解為有n個隨意常數(shù)的通解形式，根據(jù)初始條件解出常數(shù)。2、偏微分方程未知函數(shù)是多元函數(shù)的微

4、分方程，如uux,y,t。又分為線性和非線性偏微分方程，除了極有限的問題能夠用分別變量法求解外，多半問題難以用解析表達式表示。（1）線性偏微分方程設(shè)uux,y，ppu,u,u（如：ux,y,Ex,Ey，xyxy如：uAx,y,A,ABx），則Byyx2ub2u2uf0（1-10）a2xyc2xy2fx,y,pdueurusxy中，如果a,b,c,d,e,r,s與p無關(guān)，只是x,y的函數(shù)，則稱式(1-10)為線性微分方程。（2）非線性微分方程a,b,c,d,e,r,s,f中只需有一項不知足上述條件，或未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)是非線性的微分方程，則都稱為非線性微分方程。如恒定磁場中的定解問題1A1A1A

5、xxyyzJzA如：在電磁場中，若c，或媒質(zhì)不平均時x,y,z，均為線性方程。若B，或A，則為非線性方程。1.2.2偏微分方程的分類宏觀電磁場都是二階微分方程，下面以二階電磁場偏微分方程為例，看偏微分方程的不同種類所反應(yīng)的物理現(xiàn)象。以二元函數(shù)為例，uux,y，y能夠是時間變量t，那么偏微分方程的普遍形式為2ub2u2uf0ueua2xyc2fx,y,pdrusxyxy最高階項稱為主部，主部決定著公式所代表的物理特性：b222，ac1，bac0橢圓型方程，如y20 x2b222，ac1，bac0雙曲型方程，如2y200 xb220，a1，bcac0拋物型方程，如2t0 x1、橢圓型方程222如泊

6、松方程、拉普拉斯方程2y2z2x3（與橢圓方程x2y2z21形象比較）a2b2c2特點：所有二階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)同符號，描繪的物理現(xiàn)象：描繪平衡、定常的穩(wěn)定狀態(tài)，因此方程與時間無關(guān)，定解條件中只有邊界條件，沒有初始條件。如重力場、靜電場、恒定電場、恒定磁場、穩(wěn)定溫度散布過程。2、雙曲型方程如波動方程2222u0無損耗，無激勵源x2y2z2t2（與雙曲型方程x2y2z21形象比較）a2b2c2特點：對時間的偏導(dǎo)數(shù)系數(shù)與對空間偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相差一負(fù)號。描繪波的流傳過程，它擁有對時間可逆的性質(zhì)（用（-t）代入方程后，方程不變）如：弦振動、膜振動、聲波、電磁波。3、拋物型方程如，熱傳導(dǎo)方程ua2u2u2uf

7、xyzttx2y2z2,擴散率或?qū)叵禂?shù)渦流方程2HH，2EE，2JJttt（與雙曲型方程x2y2形象比較）z2b2a特點：對時間變量的二階導(dǎo)數(shù)為零。描繪各樣場的擴散過程，它擁有對時間不可逆的性質(zhì)。1.2.3定解問題1、初值問題只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題。如電路中的過渡過程問題、無界空間電磁波流傳問題等。2、邊值問題只有邊界條件，沒有初始條件的定解問題。如靜電場、恒定電場、恒定磁場4等問題。3、混淆問題既有邊界條件，又有初始條件的定解問題，又稱定解問題。如電氣設(shè)施中的瞬態(tài)電磁場問題等。4、解的穩(wěn)定性問題如果定解條件的微小變化只惹起方程的解在整個定義域中的微小變化，稱其解是穩(wěn)定的。反之

8、稱為不穩(wěn)定解。（第1次課）13電磁場中的定解問題定解問題=泛定方程+定解條件（初始條件+邊界條件）下面先介紹各樣場的泛定方程，然后介紹各類邊界條件。1.3.1靜態(tài)、穩(wěn)態(tài)電磁場中的泛定方程1、靜電場方程靜電場的基本方程D,E0泊松方程三維方程xyyzzx若是平均、各向同性介質(zhì)，上式為2橢圓型方程靜電場方程是橢圓型方程，只有邊值問題。2、穩(wěn)態(tài)電流場問題穩(wěn)態(tài)（直流）電流場知足的基本方程：J0,E0E說明在導(dǎo)電媒質(zhì)中，電流不會自成閉合回路（從電源正極出發(fā)到電源負(fù)極終止），電位知足拉普拉斯方程0橢圓型方程若是平均、線性、各向同性介質(zhì)，上式為205產(chǎn)生該電流場的源往往需要借助邊界條件引入。3、穩(wěn)態(tài)磁場穩(wěn)態(tài)

9、（直流）電流產(chǎn)生的磁場知足的基本方程HJ,B0,BH（1）標(biāo)量磁位的泊松方程當(dāng)求解地區(qū)內(nèi)J0，那么H0，必然存在一個標(biāo)量函數(shù)，使得Hm根據(jù)B0,BH，上式為拉普拉斯方程m0橢圓型方程上述方程只能用于J0的單連通域（見雷銀照教材），因此應(yīng)用的限制性較小。當(dāng)磁場所區(qū)內(nèi)存在鐵磁質(zhì)時，展開后為非線性方程為：mmm0 xxyyzz若為線性，則為拉普拉斯方程：2若已知磁化強度M，那么m0B0HM0mM代入B0，獲得2m此時，媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為0。（2）矢量磁位的泊松方程M根據(jù)HJ,B0,BA，有雙旋度方程1AJ取庫倫規(guī)范A0，及矢量恒等式AAA，得61AJ矢量泊松方程1A1A1AxxyyzJz若為線性、平均媒

10、質(zhì)2AJ若存在鐵磁質(zhì)，可將其作用等效為磁化電流的作用，它與磁化強度的關(guān)系為MJm磁矢位A的方程能夠?qū)憺檎婵罩械牟此煞匠?A0JJm1.3.2交變電磁場中的泛定方程時變場中t0，（下面分段沒有絕對的分界限）遲緩變化(f10KHz)迅速變化準(zhǔn)靜態(tài)場準(zhǔn)靜態(tài)場電磁波MQS：HJ,B0,EB,D0HJD,B0D,ttEQS：HJB0,E0,D0EB,D0ttMQS場求解時，磁場能夠用穩(wěn)態(tài)磁場的方法求解，然后用上述公式求電場；EQS場求解時，電場能夠用靜電場的方法求解，然后用上述公式求磁場。1、擴散方程（拋物型方程）忽略位移電流，MQS場的方程為HJ,B0,EB,D0t由此獲得的擴散方程為（對第一式再取旋

11、度）非線性介質(zhì)1AAJ，0tt線性介質(zhì)2AAJ，20tt若為正弦交變場，擴散方程為2AjAJ，2j07渦流損耗是惹起導(dǎo)體發(fā)熱的主要原因。2、波動方程（雙曲型方程）一般不考慮非線性問題，因為如果在鐵磁材料中流傳電磁波，高頻下的渦流損耗及磁滯損耗很大，電磁波很快衰減，能量不可能傳達很遠(yuǎn)。因此，場量的波動方程2HH2H0tt22EE2E0tt2取洛倫茲規(guī)范A，則位函數(shù)知足的波動方程t2AA2AJtt222tt21.3.3定解條件1、初始條件（柯西問題）在瞬態(tài)電磁場中，初始條件是整個系統(tǒng)初始狀態(tài)的表達式擴散方程初始條件：ux,y,z,ttt0f1x,y,z,t0波動方程初始條件：ux,y,z,ttt0

12、f1x,y,z,t0tux,y,z,tf2x,y,z,t0tt0如：初始的速度、電流、電壓等。2、邊界條件（1）第一類邊界條件（Dirichlet狄利赫里條件）ux,y,z,tg1x,y,z,t強加邊界條件1例1鐵磁體的磁場和電容器的電場（二維）8圖1-1第一類邊界條件（a）磁場問題；（b）靜電問題在距離磁體足夠遠(yuǎn)的地方，設(shè)磁力線平行于邊界，因此能夠假定A0。在距離電容器足夠遠(yuǎn)的地方，設(shè)等位線平行于邊界，能夠假定0。重點問題是第一類邊界條件取得多遠(yuǎn)，才能保證計算精度。例2電機的磁場圖1-2（a）、（b）：需要考慮定子外的漏磁，因此，第一類邊界條件取在大于定子外徑20%之處，磁力線于邊界平行，能

13、夠設(shè)A=0。圖1-2（c）、（d）：如果定子深度飽和，漏磁很小，能夠忽略，可將第一類邊界條件取在定子外徑，減少計算量。圖1-2（e）、（f）：如果要解析遠(yuǎn)場，第一類邊界條件能夠取在大于定子外徑56倍之處，如圖（e）所示?；蛟S用開于邊界條件，如Kelvin-transformation邊界（后邊介紹），邊界能夠小一些，如圖（f）所示。(a)(b)9(c)(d)(e)(f)圖1-2電機的磁場計算（第一類邊界條件）（第二次課）（2）第二、三類邊界條件（Neumann聶以曼條件）ux,y,z,tg2x,y,z,t自然邊界條件n2uq3(x,y,z,t)自然邊界條件un3（先復(fù)習(xí)平行平面場、軸對稱場及兩

14、種場的等A線方程，球?qū)ΨQ場）已知邊界上的法向?qū)?shù)，代表著幾種物理意義：已知邊界上的激勵源：面電荷散布或面電流散布已知面電荷散布Dng2Enn2222已知面電流散布HtK,BtHt以平行平面場為例：AAz,KKz10如：面電流在邊界XOZ平面上，Ht沿x方向，計算場域在y0地區(qū)，y0區(qū)域場為零（如電流方向相反的一對平行平板電流）（BxAz,ByAz）yx那么BtBxKz則BxAzKz第二類非齊次邊界條件y如果面電流在YOZ平面，電流方向不變，Ht沿y方向，計算場域在x0地區(qū)那么BtByKz則ByAzKz第二類非齊次邊界條件x已知邊界為場散布的對稱線（面）m0，An0第二類齊次邊界條件，自然邊界條

15、件n（提問1：磁場對稱問題。若平行平面場中，對稱線上磁力線與其平行，是哪一類邊界條件？（對A而言，由于磁力線為等A線，所以是第一類邊界條件，能夠設(shè)為參照位。對m而言，是第二類邊界條件，Bnm0，在Ansoftn中稱為偶對稱）。垂直呢？（如由于磁力線垂直于對稱線，即其切線分量等于零，A0，所以是第二類齊次邊界條件，如例3。對m而言，是第一類邊界所以n條件，mc。在Ansoft中稱為奇對稱）。軸對稱場中磁場沿軸對稱？（如螺線管，磁力線垂直于對稱線，所以AA0。如磁力線平行于對稱線，則rAc，是第一類邊界條件）。nz提問2：電場對稱問題。若對稱線上電力線與其平行，是哪一類邊界條件（齊次序二類邊界條件

16、）？垂直呢（第一類，能夠設(shè)為參照位）？如例4例3如圖1-3所示，對稱線上磁力線與對稱邊界垂直，即對稱線上只有法向分量根據(jù)BA，且二維場中AAzez，則有11BBxexByeyAzexAzeyyx由于Bx0，所以，在對稱邊界上AzAz0圖1-3齊次序二類邊界條件n例4如圖1-4（）所示，對稱線上電力線與之平行，即只有切向分量，等位線與之垂直，根據(jù)E-EexeyExexEyeyxy由于Ex0，所以，在對稱邊界上0。還可進一步簡化，再利用xn另一對稱邊界，如圖1-4()所示，電力線與之垂直。在100V電壓之間的0V等位線能夠作為第一類邊界條件。這樣只需計算四分之一地區(qū)，計算量大大減少。(a)(b)圖

17、1-4對稱線邊界條件例5計算E型、U型電磁鐵的磁場散布（近似為二維場，AAz,JJz）兩種模型無限遠(yuǎn)處的磁感覺強度為零，取計算場域足夠大時，能夠認(rèn)為模型的截斷邊界上磁感覺強度為零，所以能夠取A=0。關(guān)于E型電磁鐵，對稱軸為y軸，磁力線與y軸重合，是等磁位線。且電磁鐵左右兩部分中的電流方向相反，兩邊A值相等，符號相反，故y軸上的A=0，是第一類邊界條件。12yy1211BBOxOx圖1-5E型、U型電磁鐵關(guān)于U型電磁鐵，對稱軸為y軸，但磁力線與y軸垂直，即y軸與等A線垂直（平行平面場中B線就是等A線），因此在y軸上A0，在有限元法中，n這類邊界節(jié)點不需要辦理，按內(nèi)部節(jié)點對待（Ansys中是默認(rèn)值

18、）。如果這兩種電磁鐵的構(gòu)造還擁有上下對稱的特點，那么，B線與x軸垂直，Bx0，在x軸上知足第二類齊次邊界條件AAn0。y例6：U型電磁鐵如圖1-7所示（三維），只需計算四分之一區(qū)間，即x0,y0，區(qū)間（第一象限），三維邊界條件分為（三個分量都應(yīng)有表達式）1、無限遠(yuǎn)邊界條件無限遠(yuǎn)處B0，所以取三個截斷邊界面上：AxAyAz02、Hen0邊界條件（也能夠是,0的邊界）U型磁鐵對x0平面呈對稱，即在邊界面yoz上，只有磁場垂直于分界面，即只有Bx分量，故Ax=0，且ByBz0，根據(jù)BA，展開AzAyAxAzBzAyAx（1）BxzByxxyyz所以Ax0,AyAz00,xx第一式按強加邊界辦理，后兩

19、式是自然邊界條件，且為齊次，不需要特意辦理。13圖1-7U型電磁鐵邊界條件2、Ben0邊界條件（也能夠是的邊界）磁場強度H平行于邊界面xoz（By0），根據(jù)A與B的正交關(guān)系，所以在該平面上Ax0,Az0,而Ay0。但因為Bx0,Bz0，無法從A的旋度中寫出Ay分量的邊界條件（只有ByAxAz0是已知的，而AxAz0。zx反之，如果Ax0,或Az0,則By0），所以，考慮A的散度，穩(wěn)態(tài)場取庫倫規(guī)范，即AxAyAz0 xyz由于在邊界面xoz上，Ax、Az分量處處為零，因此其偏導(dǎo)數(shù)也為零，也是齊次序二類邊界條件，最終邊界條件為Ax0,Ay0,Az0y14第一、三式是第一類邊界條件，第二式是齊次序二類邊界條件，不需特意辦理。例7用三維靜磁磁矢位有限元法對CJ20-2