量子力學曾謹言第五第1章序言知識點匯總(必屬)

1、東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿第一章量子力學的歷史淵源1.1Planck的能量子假說經典物理學的成就到19世紀末，已經建立了完好的經典物理學理論：、以牛頓三大定律和萬有引力定律為基礎的經典力學(從天空到地上的各種尺度力學物體的機械運動)，、以麥克斯韋方程組和洛侖茲力公式表述的電磁場理論(光的顛簸理論、電磁現象的規(guī)律)；、熱學以熱力學三大定律為基礎的宏觀理論和統(tǒng)計物理所描述的微觀理論（大批微觀粒子的熱現象等）。這些理論能令人滿意地解說當時所常有的物理現象，讓當時絕大多數的物理學家相信物理學基本理論已經完成，剩下的工作在需要在細節(jié)上作一些增補和修正。經典物理學所遇到的問題、黑體輻射現象

2、，(2)、光電效應；(3)、原子的光譜線系；(4)、原子的堅固性；、固體的低溫比熱。一、黑體輻射的微粒性1、黑體輻射的幾個物理量黑體：全部落到（或照耀到）某物體上的輻射完好被汲取，則稱該物體為黑體。輻射本事：單位時間內從輻射體表面的單位面積上發(fā)射出的輻射能量的頻率分布，用E(,T)表示。所以在t時間，從面積S上發(fā)射出頻率在范圍內的能量表示為：E(,T)tS作者：張宏標1東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿能量所以，E(,T)的量綱為：=焦耳米2。12秒米秒c能夠證明：輻射本事與輻射體的能量密度分布的關系E(v,T)(v,T)，（(,)vT的單位4為焦耳秒）。米3汲取率：照到物體上的輻射能

3、量分布被汲取的份額，用A(,T)表示。G.Kirchhoff（基爾霍夫）證明：對任何一個物體，輻射本事E(v,T)與汲取率A(,T)之比是一個普適的函數，即E(v,T)（f與構成物體的物質沒關）。f(,T)A(v,T)關于黑體的汲取率A(v,T)1，故其輻射本事E(,T)f(,T)（等于普適函數與物質無關）。所以只要黑體輻射本事研究清楚了，就把普適函數（對物質而言）弄清楚了。輻射本事也能夠用E(,T)描述,由于單位時間內從輻射體表面的單位面積上發(fā)射出的輻射能量可寫為：E(v,T)dvE(,T)d000c2d由于c知dc2d代入上式得：E(v,T)E(,T)d022E(v,T)E(,T)或E(,

4、T)E(v,T)(焦耳米3秒)cc2、黑體的輻射本事黑體輻射的空間能量密度按波長（或頻率）的分布只與溫度有關。實驗測得的輻射曲線滿足以下定律：、斯忒藩玻爾茲曼定律（Stefan-BoltzmannLaw）黑體輻射能量（單位時間，單位面積發(fā)射的能量）是與絕對溫度T4成正比，即作者：張宏標2東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿R(T)T425kB45.67108J(K4sm2)，15h3c2此中R(T)E(,T)d為黑體輻射能量。這個定理是斯托藩1879年實驗測定的，而1884年玻爾茲曼從熱力學理論推導出來。(ii)、Wien位移定律（WienDisplacementLaw）維恩發(fā)現，關于一

5、個確立的溫度T0，相應地有一波長0使E(0,T0)達到極大值，而0T0常數。即0T01T12T25.1103(Km)這說明跟著溫度高升，熱輻射峰值向短波高頻方向挪動。溫度越高，波長越短的光(即綠光和藍光)越多；溫度越低，波長越長的光(即紅光)越多。3、經典物理學的缺點利用經典物理學理論推導出的理論公式不可以完好地切合實驗，顯現出經典物理學理論的限制性。、黑體輻射譜的維恩（Wien）經驗公式：維恩(1894)依據熱力學第二定律及用一模型可得出輻射本事3c2vT此中c12hc2B-23o是玻爾茲曼常數。1，而k1.3810JKE(v,T)cvec2hkB維恩公式在高頻率(短波段)與實驗切合，但在中

6、、低頻率（長波段）區(qū)，特別是低頻率區(qū)與實驗偏離很大。、瑞利-金斯（Rayleigh-Jeans）公式：瑞利(1900)依據經典電動力學及金斯(1905)由經典統(tǒng)計力學的能均分定理嚴格獲取黑體輻射本事公式：作者：張宏標3東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿E(v,T)8v2kBTc3E(v,T)僅當頻率足夠低（或長波段），溫度足夠高（即vT11010oKS）時，切合（即kBThv）實驗曲線。但在頻率v很高紫外處域（或很小的短波段）時，E(v,T)d，即有名“紫外發(fā)散災害”。這兩個公式其實不完好切合實驗結果，但理論上給出的結論是的確無疑的?？傊媒浀湮锢韺W理論解說黑體輻射譜的實驗規(guī)律完好失

7、敗。二、固體低溫比熱依據經典理論，如一個分子有n個原子，而每個原子有3個自由度。關于1摩爾該分子固體有N0個分子（N06.0210mol稱為阿伏加德羅常數），故有3nN0個自由度。所以，23固體定容比熱為：CVE3N0nkB3nR，此中R8.314J(oKmol)是氣體常數。TV稱為能均分定理（DulogRelit經驗規(guī)律）。實驗發(fā)現，對單原子固體，在室溫下CvConstant切合能均分定理；但在低溫下，CvT30，因此這個實驗結果與經典理論不符。如何解決這些問題呢？在經典物理學框架下，解說黑體輻射定律的多次失敗后，物理學家逐漸地認識到必須引入一個新的理論。三、Planck假說（1900）1、

8、普朗克公式1900/10/19普朗克在柏林物理學會會議上宣告了他經過實驗數據，采納數學插值法獲取的公式：()d8h31dc3hekBT1此公式與實驗曲線切合得相當好。作者：張宏標4東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿1900/12/14普朗克又在柏林物理學會上給他的公式以量子說明，這就是量子論的生日。2、普朗克的“能量子”假設頻率為的電磁輻射的能量以h為單位（h是Planck常數）不連續(xù)地變化。h稱為能量子或光量子。Ennhvnn0,1,2,式中h6.6261034焦耳秒或h21.05451034焦耳秒。注意：能量不連續(xù)的看法與經典物理學中能量是連續(xù)的完好不相容的！利用普朗克假設求普朗克

9、公式以下：輻射的均勻能量可這樣計算獲?。涸诮浀湮锢韺W中，在EEdE區(qū)間內,經典的能量幾率分布:eE(kBT)dEeE(kBT)dE0（玻爾茲曼幾率分布），則關于連續(xù)分布的輻射均勻能量為EeE(kBT)dEkBTEeE(kBT)00eE(kBT)dEE0kBT；eE(kBT)dEeE(kBT)dE00而關于普朗克假設下的能量分布幾率，則為量為eEn(kBT)eEn(kBT)，故分立的均勻輻射能n0EneEn(kBT)nhenh(kBT)hhdenydy)1kBT(1eydynhdyEn0n00eEn(kBT)enh(kBT)eny(1ey)1。n0n0n0h(1ey)2eyhe(1ey)11ey

10、hhyey1eh(kBT)1上式計算中取eyx并用到冪級數張開公式：1xn。1xn0所以，用電動力學和統(tǒng)計力學導出的Rayleigh-Jeans2v2kBT應改為公式：E(v,T)c2作者：張宏標5東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿E(v,T)2hv31c2hv(kBT)1e這就是Planck假設下的輻射本事，它與實驗完好切合。由輻射本事與能量密度的c關系E(v,T)(v,T)4知，普朗克公式：8h31d,()dc3h/(kBT)e1此中()d是表示黑體輻射的頻率在d內的空間能量密度、c光速、kB玻爾茲曼常數、T絕對溫度。Planck公式與實驗完好切合。對普朗克公式進行以下談論:極限狀

11、況：當kBThv（高頻區(qū)）：E(v,T)2hv3ehv(kT)3cvTc12hh,即Wien公式;c2Bc1ve2c2,c2kB當kBT2hv3122kBT,即Rayleigh-Jeans公式。hv（低頻區(qū)）：E(v,T)c2hv(kBT)1c2e斯托藩-玻爾茲曼定律2h312hkBT4R(T)E(,T)dd3x1)1dxc2h(kBT)1c2hx(ee42kB412kBT3enxdxT462h3xc234cn1hn1n作者：張宏標6東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿維恩位移定律222h312hc21E(,T)E(,T)2h(kBT)5hc(kBT)ccc1e1e關于一個固定的溫度值T

12、0,求導dE,T：dhchc(kBT)E(,T)2hc251kT2e0T固定hc(kT)165hc(kT)10eBeB從而有hc1ehc(kBT)50T00.2898102(Km)。kBT固體的低溫定容比熱（詳細見固體物理學（黃昆著）P122-130）由總輻射能量密度（單位：焦耳米3）W(T)(,T)d4E(,T)d85kB4445kB442c15c33T33T3h15chc(橫波2所受)可推出固體中原子振動能量密度為45kB4T421，333315chuTuL此中uT和uL分別為固體中的橫向聲速和縱向聲速。低溫下，CVT3。該公式只適用于低溫，因固體中原子振動有最高頻率的限制（聲波在固體中波

13、長不短于晶格距離的2倍，即u2au2a），而在低溫下，高頻其實不激發(fā)，所以，影響可忽視（推導輻射總能時高頻是計及的，但低溫下高頻影響可忽視，所以這樣推出的公式只適用于低溫）。1.2Einstein的光子說一、愛因斯坦“光量子”假說(1905)1、光電效應現象1887赫茲(Hertz)作者：張宏標7東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿光電效應的主要現象：當單色光照耀到金屬表面上，有這樣一些現象（令人迷惑的特色）：A、發(fā)射光電子依賴于頻率，而與光強度沒關。要有光電子發(fā)射，光頻率就一定大于某一值，即有一最低頻率min。B、當照耀光的頻率min時，發(fā)射出的光電子動能大小與光強度沒關。這從經典物理

14、學角度是特別難以理解的，由于光的能量是正比于強度而與頻率沒關。所以認為光波強度增添時，光波中電場振幅增大，應該會加速電子達到較高的速度和較大的動能，從而走開金屬，所以光強度越大，飛出的電子動能越大，而能有光電子產生，也其實不需要大于必定頻率，即與頻率沒關。所以，經典理論與實驗絕然相反。2、Einstein(1905)的“光量子”假設:Einstein（1905）創(chuàng)辦了狹義相對論，并在這年將Planck“能量子”假設推行為“光量子”的看法。、“光量子”的看法：一束單色光由輻射能量大小為hv的光量子構成，即假設光與物質粒子交換能量時，是以“微?！毙问匠霈F，這類“微?！睅в心芰縣v。、光子的動量與波

15、長的關系：phch。光子的靜止質量m00，依據狹義相對論的光的能量-動量關系：E2m02c4p2c2p2c2；又由于Eh,所以phch（c是光的波長）。對解說光電效應實驗以下：電子要飛離金屬，一定戰(zhàn)勝吸引而做功W0（逸出功），所以飛出光電子電子的動能Ke:KehW0,W0電子在金屬中的脫出功由于電子吸引兩個光量子的幾率幾乎為0，故要想飛離金屬，則最少Ke0；hvminW0，即有一最低頻率。而KehvW0hvvmin。作者：張宏標8東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿我們能夠看到，核心的問題是一束單色光能夠轉移給一個電子的能量除以頻率v為一個常數，即h常數v而這個常數h與光的頻率v、光的強

16、度、電子以及金屬資料都沒關。該常數其實不可以由經典物理學中常數所給出。所以，hv是一個與經典物理學完好不相容的關系式。意義：證明電磁場的能量子h能夠和單電子互相作用，從而它自己也可視為一種粒子，稱為“光子”。3、密立根(Millikan)實驗(1916)密立根在1910開始研究光電效應，到1916經過實考據實了愛因斯坦的光電方程，并計算出普朗克常量h6.561034Js。這為愛因斯坦的光量子理論供給了第一個直接而全面的實考憑據。1921年愛因斯坦由于光電效應等理論工作獲取諾貝爾物理學獎，密立根也于1923年榮獲諾貝爾物理學獎。4、康普頓散射（ComptonScattering）Compton實

17、驗(1923)是光在自由電子上的散射(或稱光子-電子的碰撞)。證明了光具有粒子性。實驗發(fā)現，單色x射線與電子作用使電子發(fā)生散射，散射x射線的波長增大：A1cos實驗結果和特色經典物理沒法解說。康普頓引入“光子”的看法并利用相對論力學對散射過程成功地進行理論解說以下：依據愛因斯坦假設：x射線在與電子互相作用時是以“微粒”形式出現，所以它們交換能量和動量。設x入射波長為，則入射的x射線的能量和動量為作者：張宏標9東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿Ehhc。Ehphnnncc假設電子開始處于靜止狀態(tài)，其初始能量為mec2。當x射線與電子發(fā)生互相作用后，x射線以動量p沿著方向射出，此時波長為，

18、能量和動量分別為EhhcpEnhnhncc而電子的反沖角為，能量為Eec2pe2me2c4和動量為pe：依據散射前后的能量、動量守恒有hmec2Eehh()mec2Ee(1)pppepppe(2)由(1)2c(2)2得:hmec222Ee2c2pe2me2c4c2pph2()22mec2h()c2p2c2p22c2pp0利用phch,上式變成meh()h21cosphchc2mehcch21cosh(1cos)mec即h(1cos)，此中chmec2.431012m稱為電子的康普頓散射波長。mec例題1當光對自由質子散射時，求它的波長的改變。作者：張宏標10東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課

19、程講稿解：依據康普頓散射公式h(1cos)得mc關于質子，m1840me18409.11031kgh(1cos)2hsin2(2)26.62610341082.651015sin2(2)m。mcmc18409.110313例題2當氫原子放射一個頻率的光子時，求它的反沖，并求當反沖時由于把能量傳達給原子而產生的的改變。解：設氫原子的質量為m，不反沖光陰子的頻率為，反沖光陰子的頻率為。由能量和動量守恒得：1mv2222mc2。mv2()2mc222c0綜上所述，從黑體輻射，固體低溫比熱，光電效應和康普頓散射的實驗事實談論中得出結論：輻射除了顯示其顛簸性外，在與物質的能量和動量交換時，還顯示出微粒性

20、，二者之間的關系EhpEhh2nnnkkcc式中起側重要作用，很小，在很多場合，這類量子效應不顯示，這時不連續(xù)連續(xù)，輻射的微粒性消逝。1.3玻爾舊量子論一、原子結構的堅固性1、原子“行星模型”（1911Rutherford）盧瑟福（Rutherford）組用粒子轟擊原子發(fā)現，粒子以必定幾率散射在大角度方向上，每兩萬個粒子約有一個粒子返回，飛向源的方向，從而提出原子的行星模型。以這一模型計算散射微分截面，與實驗切合得特別好。作者：張宏標11東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿對原子行星模型，按經典電動力學看法：原子中電子繞原子核加速運動，電子會不斷向外輻射電磁波(即發(fā)光)以致其運動的總能量

21、減少而減速，從而從軌道半徑逐漸減小將發(fā)生“原子坍塌”(106秒)。但事實上原子基態(tài)是出奇地堅固，也沒有輻射發(fā)生(因負電荷粒子加速)，這給經典理論帶來了困難。2、氫原子光譜的經驗公式氫原子特色譜線的頻率為：（1885Balmer）11，mn1,2,3,，此中RH10967758.1m1-Rydberg常數。cRH2n2m分為五個線系：遠紫外區(qū)（賴曼(Lyman)系）、可見光和近紫外區(qū)（巴爾末(Balmer)系）、近紅外區(qū)（帕邢(Paschen)系）、較遠紅外區(qū)（布喇開(Brackett)系）、遠紅外區(qū)（普逢得(Pfund)系）。每個線系均擁有以下規(guī)律性：沿波長減小的方向，譜線越來越密集且譜線強度

22、愈來愈弱。譜線公式中的每一項稱為“光譜項”：ncRH1，能夠為每個光譜項對應著氫原子n2的一種能量狀態(tài)。這樣，氫原子的能量就是不連續(xù)地變化的，其可能的值為：EnhnhcRH12這稱為氫原子的能譜。n里茲“并合規(guī)則”：若1和2在特色光譜中，則有時12和12也在特色光譜中。其意義是氫原子的任何一條譜線的波數都等于斷續(xù)系列中的某兩項之差。為認識釋上邊的現象，玻爾將盧瑟福的原子結構模型與普朗克-愛因斯坦的光子理論結合，提出了原子結構的舊量子論。二、Bohr模型(1913N.Bohr)作者：張宏標12東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿1、玻爾模型的基本假設：、定態(tài)假設電子在原子中只好沿著某些特別

23、軌道運動，當電子在這些軌道上時，既不發(fā)出也不汲取光輻射。、躍遷假設當電子由一個定態(tài)“跳”（躍遷）到另一個定態(tài)時會發(fā)出或汲取光輻射，其頻率為：(EnEm)h，式中En和Em為躍遷前、后的能量。、角動量量子化條件：電子在原子中的同意軌道上滿足下邊的條件：它的軌道角動量是的整數倍,即Jrpnn1,2,（關于圓形軌道）。2、經典力學加玻爾假設可成功解說氫原子光譜氫原子中電子繞核運動的方程為：Fmv2e2mv24e2er40r2e0r總能量：12e2e2ETV2mev40r80r再利用玻爾量子化條件：Jnrpmevrmev2n224e2rn40n22mer20rmee2Enmee41hcRH1n1,2,

24、3,2(4222,20)nn此中定義精良結構常數e2137，是電子質量，e是電子電荷。因此me2cRH4cme02h與實驗數值完好切合。3、玻爾模型的實考憑據、氫原子光譜和類氫原子光譜，(ii)、Franck-Hertz實驗(1913)也證了然原子能量的不連續(xù)性；作者：張宏標13東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿、斯特恩-蓋拉赫實驗(1921)證明角動量量子化的，(iv)、X射線的特色輻射等。三、威爾遜-索末菲（Sommerfeld）量子化條件(1915)索末菲推行了玻爾的角動量量子化，重新表述為:關于任何周期運動的自由度pi,qi，有量子化條件pidqinhn1,2,此中qi廣義坐標

25、，pi廣義動量。例考慮一個電子繞電荷為Ze的原子核在一平面中運動，求其可能的定態(tài)能量。22解系統(tǒng)的哈密頓函數為H1(pr2p)Zer22m40r由存心力下角動量守恒，知p常數pH0。由量子化條件pdnh得pn。2p22p22由EprZe得pr2mE2mZer22m2mr240r40rAp20令B2mZe20，則prABCrBA4C2rCr2BrACr2BrArCr2BrA0rC2mEdx1arcsinBx2AxABxCx2xB2A4AC利用公式dx1arcsin2CxBC0得ABxCx2B24ACCxdxABxCx2BdxABxCx2C2CABxCx2BdrrrrdCr2BrApdrCAAma

26、xdrBmindr1maxrr2rrCr2BrA2rminCr2BrA2rminCr2BrArminABr2AB2CrBrmaxABrCr2arcsin2arcsinArB24ACCB24ACrmin此中rmax和rmin由積分Cr2BrA決定，即rmaxBB24AC且C0rdr0B2。min2C4AC0作者：張宏標14東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿BrrmaxBr2Armax由2A1得arcsin2arcsin1B2B2r4ACrminr4ACrmin由2CrrmaxrmaxB1得arcsinBr2A2arcsin1B24ACrminrB24ACrmin故由量子化條件prdrnr

27、h(nr1,2,)得BnrhAC22B2nrh2p2Ze2m2nrhA42EC02242Zem(2nrn)n(n1,2,)EZe1(n1,2,)，此中a0。402E80an2mZe2舊量子理論固然在解說氫原子和類氫原子上獲得必定成功，但也存在著嚴重的缺點：、對含有多個電子系統(tǒng)的復雜原子光譜、半整數角動量等等力所不及，(ii)、不可以求解譜線的強度；(iii)、只好做周期運動；、沒法理解人為假設(加速不輻射和量子化條件等)。所以，一定有嶄新的理論來解說客觀存在的物理現象與經典物理學理論矛盾的事實。1.3物質粒子的顛簸性一、德布羅意的“物質波”假設(deBroglie/1923)德布羅意依據對輻射

28、擁有微粒性的研究，提出“物質波”假設：、擁有必定動量的粒子和必定波長的波相聯(lián)系hp即pk（|k|2）稱為德布羅意關系(ii)、能量E與頻率關系:Eh（稱為Einstein關系）。這兩個關系把表征粒子性的動力學變量（能量和動量）與顛簸性的特色量（頻率和波矢）聯(lián)系起來。也就是說，對一個擁有確立能量和動量的自由粒子，相應地有確定的頻率和波矢（波數及必定的流傳方向npp）。作者：張宏標15東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿而我們知道，擁有一個固定頻率和波長的波（并有必定的流傳方向）是一個平面波Aei(krt)Aei(prEt)pk，Ek2n物質波：把擁有必定動量的自由粒子所聯(lián)系的平面波稱為德布

29、羅意波（物質波）。而一般可計算獲?。何镔|微粒的波長1010?，氧原子0.4?、DNA分子104?、電子波長1?。只有當物質波的波長大于或等于光學儀器的特色尺度時，才會觀察到干涉或衍射現象。平常物質微粒的質量和動量較大，因此德布羅意波長特別短超出了可測的范圍而不顯示顛簸性，僅在原子尺度下才能顯示出顛簸性。關于德布羅意波長的計算：在非相對論狀況下：Ekp22mp2mEkh2mEk；hp當粒子是電子時，me9.1081031kg，從而e12.5?。Ek(eV)當粒子是質子或中子時，mpmn1.671027kg，從而有p,n0.286?。Ek(eV)在相對論狀況下：Eec2pe2me2c4EEkm0c

30、2p2m0EkEkE2p2c2m02c412h2m0c。hEk2m0Ekp122m0c當m0c2Ek，則h2m0Ek。德布羅意提出“物質波”時并無實驗依據，不過一個假設。其目的是為了用電子的顛簸性解說玻爾量子化理論的困難，他把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系，即把約束運動實物粒子的能量量子化與有限空間中駐波的波長的分立性聯(lián)系。比方：氫原子中電子作者：張宏標16東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿做堅固的圓周運動，把玻爾理論中的定態(tài)對應于電子在圓周軌道上的駐波，即相當于物質波沿著圓形軌道流傳，只有波的首尾相連時波的流傳才處于堅固狀態(tài)。此時，軌道周長等于波長的整數倍，即駐波條件2rn(n1,2,3,)np

31、nhJrpn，這樣就獲取了玻爾的量子化條件。22德布羅意的“物質波”思想直接以致了量子力學的出生。1925年11月薛定諤在蘇黎世的一個談論會上給出了德布羅意假設波的解說，德拜向他提出一個問題：“波所滿足的方程在哪?”。與此同時，1925年海森堡以矩陣力學的形式建立了量子力學，隨后1926年薛定諤就以顛簸力學的形式創(chuàng)辦了量子力學。二、實物粒子的顛簸性實考憑據1、戴維遜、革末電子衍射實驗(1927)（DavissonandGermer,Nature119(1927)558）當可變電子束(30600eV)照耀到拋光的金屬鎳單晶上，發(fā)此刻某角度方向有強的反射（即有許多電子波吸收），而滿足asinnhp

32、（a是晶面上相鄰原子間距）若hp，則上式與Bragg光柵衍射公式同樣(asinn)，證明電子入射到晶體表面發(fā)生散射，擁有顛簸性而相應波長hp這現象沒法用粒子的圖象來解說。2、G.P.Thomson(小湯姆遜)實驗(1927)電子經過單晶粉末，出現衍射圖象，這一衍射圖象反響了電子的顛簸性(1040keV，波長0.40.06?可穿透厚度為1000?的箔)。如象x射線照到單晶粉末壓成的金箔上，滿足2dsinn一樣，作者：張宏標17東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿電子入射滿足2dsinnhp，而產生衍射。（注意此刻不是明暗相間，而是電子數多少。）注意，這是小晶粒（金屬箔）構成，所以晶面方向是

33、無規(guī)的，總有一些晶粒的面與入射電子夾角滿足衍射條件2dsinn，而又由于是無規(guī)的（所以，對繞入射束一周，而又保持晶面與入射束的夾角不變的晶?？偸谴嬖?。）。所以，形成衍射環(huán)。這一特色，不但電子有顛簸性，此后熱衷子試驗都有，即物質粒子還有顛簸性，當然，經典物理學是沒法解說的。一、本章小結基本內容1、黑體輻射、光電效應等現象揭露了光的波粒二象性。Planck的假說：解決了黑體輻射的困難。Planck公式：8h3ddehkT1c3Einstein的光量子假說成功地解說了光電效應?？灯疹D效應進一步證明了光擁有粒子性。2、原子結構的玻爾理論、1913年玻爾對氫原子光譜線系的巴爾末（Balmer）公式11m

34、1,2,3,nmRcn2m2n2,3,4,做出理論解說。玻爾在原子的核模型（行星模型）的基礎上引入定態(tài)的看法，并提出量子化假設和頻率條件：JrpnEnEmh作者：張宏標18東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿并利用經典力學推導出Balmer公式。索末菲（Sommerfeld）為辦理多自由度系統(tǒng)的周期運動的分立能級將玻爾的量子化條件推行為：pidqinihni1,2,3,3、微觀粒子的波粒二象性假設、1924年德布羅意(deBroglie)提出了微觀粒子擁有顛簸性的假設，從而把光(波場)的波粒二象性推行到實物粒子擁有波粒二象性：德布羅意假設：與必定能量E和動量p的實物粒子相聯(lián)系的物質波的頻

35、率和波長分別為Ehh-德布羅意公式pk、德布羅意把原子中的定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把粒子能量的量子化問題與有限空間中駐波的頻率及波長的不連續(xù)性聯(lián)系起來。在氫原子中作堅固圓形軌道運動的電子所相應的德布羅意駐波的一種波形。駐波條件要求繞原子核流傳一周后應圓滑地連接起來，這對軌道有所限制，即軌道的周長應為波長的整數倍：2rnn1,2,3,，利用德布羅意關系h可獲取粒子的角動量Jn，這正是p玻爾的量子化條件。德布羅意波：與自由粒子聯(lián)系的波是平面波AeiprEt1927年戴維遜與革末在電子衍射實驗中直接證明了德布羅意波的存在。二、題型分析三、思慮題本章習題解答作者：張宏標19東北師范大學本科生物理專業(yè)量子

36、力學課程講稿1、利用普朗克的能量分布函數證明輻射的總能量與絕對溫度的四次方成正比，并求比率系數。證明由普朗克公式：8hv3dv得vdvc3ehvkT1Uvdv8hv3dv8k4T4x3dxxhvkTc30ehvkT1h3c30ex10 x3dxx3exxdxx3enxdx13ydy(ynx)x1en1n4ye0e100n10利用積分公式nexdxn!得3ydy3!，又有14x3dx4。xyen1n4；所以0ex11500905454于是，獲取U83k3T4T4，式中83k3。15hc15hc2、由黑體輻射公式推導出維恩位移定律：能量密度極大值所對應的波長max與溫度T成反比，即maxTb(常數

37、)并近似計算b的數值，正確到二位有效數字。證明在頻率間隔vvdv之間的能量為vdv8hv3dv，用波長表示的能量為c3ehvkT1dvdv由vc得dvcd代入上式得d8hcd125ehckT為了使能量密度取極大值，有d0即8hc1ehckThc50d6ehckT1ehckT1kTehckThc50ehckT1kT令xhc，則上式變成：xexx50exx10是一個超越方程，其根為x4.9651。kTe15所以，maxThcb2.897103m0Kkx作者：張宏標20東北師范大學本科生物理專業(yè)量子力學課程講稿3、利用玻爾-索末菲的量子化條件求：、一維諧振子的能量，(ii)、在均勻磁場中做圓周運動的

38、電子軌道的可能半徑。解(i)、能量為p2122，即p2q2這是一個以(p,q)為變量的橢圓E2mq2mE2Em212m方程。p2mEcos取極坐標為q2E2sin代入量子化條件pdqnh得m22E2E22E22E02mEcosdm2sin0cosd01cos2dnh即En,n1,2,3,。、電子做圓周運動，取轉角為廣義坐標,而對應的廣義動量為角動量p，由廣義動量的定義得：pH1mR22mR2mRv，式中R為電子做圓周運動的半徑，vR是線速2度。由玻爾-索末菲量子化條件：pdnh得2nhnpdmRvd2mRvnhv。02mRmR另一方面，電子做圓周運動的向心力是電子在勻強磁場中所遇到的洛侖茲力，即FeBvmv2veBRRmeB