高代復(fù)習(xí)習(xí)題

1、填空題每小題三分，共27分， 選擇題每小題三分，共18分， 解答題共四題，共55分。了解線性變換在不同基下的關(guān)系，會(huì)求矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，理解正 交矩陣的性質(zhì)，掌握歐式空間中向量的長(zhǎng)度和夾角的性質(zhì)， 會(huì)求矩陣 的秩，掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)，掌握求歐式空間基的度量矩陣， 能夠求線性變換在基下的矩陣，掌握線性空間的定義和一些基本的線 性空間，掌握歐式空間中正交變換的性質(zhì)， 會(huì)求線性空間的維數(shù)和一 組基，對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣會(huì)求正交矩陣使得該實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì) 角陣，掌握矩陣的特征值與矩陣的行列式和跡的關(guān)系，會(huì)求矩陣的最小多項(xiàng)式，理解矩陣可對(duì)角化的條件，掌握矩陣特征值和特征向量的 性質(zhì)，掌握對(duì)稱變換

2、的性質(zhì)，會(huì)證明空間的子空間的和是直和，掌握雙性性函數(shù)的性質(zhì)一.填空題ai bi ci1、設(shè)線性變換在基 2,%下的矩陣為a? b2 C2 ,則 在基a3 ba C3的,k孫的（k是非零數(shù)）下的矩陣為2、歐式空間中對(duì)稱線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是3、若A是n級(jí)正交矩陣，曲如，廝是A的n個(gè)列向量，那么 出、的,，廝是歐式空間Rn的.1001004、設(shè)Aa10, Bx10,則A,B相似于對(duì)角矩陣的充分cb1zy2必要條件是5、設(shè)A是一個(gè)正交對(duì)稱矩陣，則A必相似于對(duì)角矩陣6、設(shè)111,1 ,%2x,y,1，曲 01,z是3級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣矩陣A的屬于3個(gè)不同特征值的特征向量，那么x,y,z的值分別為7、

3、設(shè)向量a , B兩兩正交，那么 a B 丫 =18、設(shè)1,2,3是三級(jí)矩陣A的特征值，則 A1 A 9、在歐式空間R3中，基g1,1,1，的 1,2,1，電0,1,1的度量矩陣為10、設(shè)4階矩陣A的特征多項(xiàng)式為 入1入23 ,則矩陣A可能相似的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形有11、設(shè)A,B分別是歐式空間 V中兩組基的度量矩陣，那么A與B12、入E A與入E B等價(jià)的充要條件是 A與B2 b2213、設(shè)1, 4是矩陣A的兩個(gè)特征值，則1 卜a 1=.14、設(shè)三級(jí)矩陣A的特征多項(xiàng)式f入 入EA 23 2；2 3入5,則A115、設(shè)A 24 a的特征值是16,4卜2,若A相似于對(duì)角矩陣,33 5則a 12 0 016、

4、矩陣A 1 0 0 0的最小多項(xiàng)式為0 0 2 00 0 1217、在PXn中，線性變換 f X fX, f X PXn,在基1,X,X2, ,Xn1下的矩陣為a c 18、V|a,b,c R是實(shí)數(shù)域R上全體2階對(duì)稱矩陣關(guān)于矩陣的c b加法和數(shù)乘構(gòu)成的線性空間，令A(yù) 1 0 A 1 1 , A V,那么關(guān) TOC o 1-5 h z 110 1于基1 , 1 , 的矩陣是 0 01 0 0 11、若矩陣A,B相似，則下列說(shuō)法不正確的是（）它們有相同的特征值它們有相同的特征向量它們有相同的最小多項(xiàng)式它們相同的秩2、設(shè)A是正交矩陣，下列說(shuō)法不正確的是（）A A1|A 1 A*也是正交矩陣A的特征值

5、為13、若矩陣A與B相似，則下列說(shuō)法不正確的是（）A2與B2相似對(duì)任意數(shù)a, aE A與aE B相似A與B同時(shí)相似于對(duì)角形A與B有相同的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形4、設(shè)R是實(shí)數(shù)域，下列集合不構(gòu)成實(shí)數(shù)域上線性空間Rn的子空間是（ ） n Vai,a2, ,an Rna1 0 Va色，自 Rn aj 0j inVai ,a2, ,an Rn jaj 0j i nVai,a2, ,an Rn aj 1j i5、設(shè)A, B是線性變換 在兩組基下的矩陣，那么下列最恰當(dāng)?shù)恼f(shuō)法是（）A與B相似A與B合同A與B有相同的特征值A(chǔ)與B有相同的行列式6、設(shè)A,B都是n級(jí)正交矩陣，且A |B 0,那么行列式|E AB的值（）等于零

6、不等于零大于零 小于零7、如果A是n級(jí)實(shí)反對(duì)稱矩陣，那么對(duì)任意n維實(shí)向量x,內(nèi)積x, Ax等于零不等于零大于零或等于零小于零或等于零8、如果A是n級(jí)實(shí)反對(duì)稱矩陣，那么 A的特征值為（）實(shí)數(shù) i 零零或純虛數(shù)9、下列說(shuō)法不正確的有（）1）正交變換的逆變換是正交變換；2 ）正交變換的乘積是正交變換；3）正交變換保持向量的夾角不變；4 ）正交變換保持向量的內(nèi)積不變；5）正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變；6 ）正交變換保持向量的距離不變.3個(gè)2個(gè)1個(gè)0個(gè)10、如果A是n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，那么下列說(shuō)法不正確的是（）A的特征值為實(shí)數(shù)A的特征值大于零A的屬于不同特征值的特征向量必正交A的屬于不同特征值的特征向量必線性

7、無(wú)關(guān)11、設(shè)A是n級(jí)復(fù)矩陣，下列說(shuō)法中，（）不是矩陣A相似于對(duì)角形的充要條件A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量A的初等因子全是一次的A有n個(gè)不同的特征值A(chǔ)的不變因子都沒有重根12、設(shè) 是歐式空間中的對(duì)稱線性變換，那么下列說(shuō)法不正確的是的特征值為實(shí)數(shù)在任意基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣 的不變子空間的正交補(bǔ)也是它的不變子空間 的屬于不同特征值的特征向量必正交13、設(shè)兒不是實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，而己是A的屬于1的特征向量，,是A的屬于4的特征向量，那么（） , B必踐性無(wú)關(guān) , B必兩兩正交D %, B 3,0B , E 014、設(shè)2是三級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A的三重特征值，那么A必與下列矩陣（相似2 0 01

8、2 00 1 22 0 00 2 00 0 22002)02001215、設(shè)a,是相互垂直的實(shí)向量，則下列式子不成立的是（15、在線性空間P3中，定義線性變換X1,X2,X3X1, 2X2 X3, 3X2 ,求一組基使得線性變換 在此基下的矩陣為對(duì)角形。16、求數(shù)字矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形17、求矩陣的最小多項(xiàng)式18、求正交矩陣T,使得T1AT TAT為對(duì)角形（A為實(shí)對(duì)稱矩陣）19、V Pn n是數(shù)域P上所有n級(jí)矩陣組成的線性空間，令V1A V證明：V V1 V2.A A , V2A V20、V是數(shù)域P上線性空間，是V上線性變換，且2 ，令V1aV(ra 0 , V2aV(ra a證明：V V1 V2.21、設(shè)Vi與V2分別是齊次線性方程組Xi X2Xn 0與Xi X2Xn的解空間，證明，Pn V