矩陣位移法哈工大結(jié)構(gòu)力學(xué)

1、關(guān)于矩陣位移法哈工大結(jié)構(gòu)力學(xué)第一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 概 述結(jié)點：桿件交匯點、剛度變化點、支承點。有時也 取荷載作用點。圖中1、2、3、4點均為結(jié)點。 單元：兩結(jié)點間的等直桿段。圖中1-3、2-4、3-4為 單元。編碼：黑的結(jié)點編號稱整體碼。 紅的1、2局限于單元，稱 局部碼。坐標：蘭的坐標稱 整體坐標。紅的x、y局限于單元，稱局部坐標1342xy121122yx右手系 將結(jié)構(gòu)分解為桿件集合，為進行分析，事先需做下面稱為離散化的工作第二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 對于如下所示的結(jié)構(gòu)，離散化時需先做以下的工作第三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月

2、2.單元剛度方程基本原理：在彈性小變形條件下，疊加原理成立。已有知識：轉(zhuǎn)角位移方程、單跨梁形常數(shù)和載常數(shù)。目的：像位移法一樣，通過“一拆、一合”來解決結(jié)構(gòu)分析。為此，必須首先掌握單元的特性。第四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月利用疊加原理單元剛度方程平面拉壓-(桁架)單元第五張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月EE連續(xù)梁單元利用疊加原理單元剛度方程剛度矩陣等效結(jié)點荷載矩陣第六張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月不考慮軸向變形的平面梁柱單元q(x)根據(jù)形、載常數(shù)，利用疊加原理可得梁柱單元的單元剛度方程為第七張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月單元剛度矩陣(應(yīng)熟記)是轉(zhuǎn)

3、角位移方程的矩陣表示單元桿端位移矩陣第八張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月單元等效結(jié)點荷載矩陣向上滿跨均布荷載 q 作用逆時針滿跨均布力偶 m 作用根據(jù)單跨梁的載常數(shù)，可得第九張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月計軸向變形的平面自由式梁柱單元單元剛度矩陣可根據(jù)疊加原理得到拉壓梁柱這一結(jié)果對應(yīng)的桿端位移矩陣如何？單元等效結(jié)點荷載可同理疊加得到補充第十張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月單元剛度矩陣的性質(zhì) 根據(jù)反力互等定理，單元剛度矩陣一定是對稱矩陣。 除連續(xù)梁單元剛度矩陣外，其它三種單元剛度矩陣是奇異的。 解釋一：從數(shù)學(xué)上看，因為存在相關(guān)的行、列，所以對應(yīng)的行列式為零，矩陣不

4、可逆。 解釋二：從物理概念上看，因為桿端相當(dāng)于沒有約束（均可位移），自由體系在平衡外力作用下，可以產(chǎn)生慣性運動，所以無法由平衡的外荷唯一地確定位移。 剛度矩陣元素kij的物理意義為：單元僅發(fā)生第個j桿端單位位移時，在第個i桿端位移對應(yīng)的約束上所需施加的桿端力。第十一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 坐標轉(zhuǎn)換問題 在搞清單元特性后，像位移法一樣，需將單元拼裝回去。在結(jié)點處位移自動滿足協(xié)調(diào)條件的基礎(chǔ)上，令全部結(jié)點平衡，即可建立求解位移的方程，這是下一節(jié)將討論的內(nèi)容。 除連續(xù)梁外，一般結(jié)構(gòu)單元不全同方位，為保證協(xié)調(diào)和平衡，應(yīng)將桿端位移和桿端力都轉(zhuǎn)換成統(tǒng)一的，對整體坐標的量，因此要先解決

5、坐標轉(zhuǎn)換問題。下面先討論自由式梁單元的轉(zhuǎn)換問題。第十二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月力的轉(zhuǎn)換位移的轉(zhuǎn)換將局部量向整體量方向投影，可得將整體量向局部量方向投影，可得第三、六兩個量不存在轉(zhuǎn)換問題。第十三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月如果記結(jié)點位移坐標轉(zhuǎn)換矩陣為單元桿端位移坐標轉(zhuǎn)換矩陣為因此位移力第十四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月剛度方程的轉(zhuǎn)換力轉(zhuǎn)換剛度方程位移轉(zhuǎn)換如果記整體坐標單元剛度矩陣為則整體坐標單元剛度方程為局部坐標第十五張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月連續(xù)梁單元需要進行坐標轉(zhuǎn)換嗎？連續(xù)梁的局部坐標與整體坐標一致，所以不需要轉(zhuǎn)換。第十六張，PP

6、T共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月桁架單元如何進行坐標轉(zhuǎn)換？力的轉(zhuǎn)換位移的轉(zhuǎn)換第一種做法第十七張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第二種做法位移擴展為剛度矩陣改為轉(zhuǎn)換矩陣第十八張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月局部坐標與整體坐標成900時，局部單剛和整體單剛間有何關(guān)系？局部坐標單元剛度矩陣整體坐標單元剛度矩陣To47第十九張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月4. 整體分析以圖示簡例來說明 圖中有兩套編號，紅的是單元桿端編號，黑的是結(jié)構(gòu)整體編號。4-1) 結(jié)點示意121221 圖中藍色的表示結(jié)點荷載（已知），紅色的表示桿端力（未知的）， 、 分別、單元桿端力子矩陣。對1、4結(jié)

7、點“荷載”含有未知反力。2第二十張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月4-2) 結(jié)點平衡 由示意圖可見，結(jié)構(gòu)結(jié)點的平衡方程為1212212134第二十一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月若記2134則平衡方程為式中(I)、0 分別為單位和零矩陣。第二十二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月若引入矩陣記號則結(jié)點平衡方程可改寫作 這一結(jié)論雖然是由一個例子得到的，但是顯然對一切結(jié)構(gòu)都是成立的。問題在于不同結(jié)構(gòu)，(A) 矩陣是不同的。第二十三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月4-3) 桿端位移用結(jié)點位移來表示121221仍以上述簡單例子來說明若記 由結(jié)點、桿端位移的協(xié)調(diào)條件，

8、可得( )、( ) 的對應(yīng)關(guān)系為 式中 (A)T是前面力關(guān)系(A)的轉(zhuǎn)置，因此(A)T稱為位移轉(zhuǎn)換矩陣。第二十四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月4-4) 整體剛度方程結(jié)點平衡121221若記引入位移轉(zhuǎn)換關(guān)系，則第二十五張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 這就是整體剛度方程，它的物理實質(zhì)是結(jié)點平衡。(K) 稱作結(jié)構(gòu)剛度矩陣（或整體剛度矩陣），(P) 稱作綜合等效結(jié)點荷載矩陣，它由兩部分組成: Pd 直接結(jié)點荷載矩陣 由結(jié)點荷載組成 PE 等效結(jié)點荷載矩陣 由單元荷載組成綜合等效結(jié)點荷載矩陣整體(總體)剛度矩陣整體(總體)剛度方程第二十六張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月

9、單元個數(shù)4-5) 整體剛度矩陣的建立121221 若將(A)按單元分成圖示三個子矩陣 則第二十七張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月121221 由此可見，整體剛度矩陣可由各單元整體剛度矩陣裝配累加得到。為說明如何裝配，先將單元剛度矩陣進行分割整體結(jié)點碼 則由矩陣乘法可證明，(A)I(k)I(A)iT的結(jié)果是，將剛度矩陣子矩陣按整體結(jié)點碼 r 、s 送整體剛度矩陣相應(yīng)位置。這一裝配規(guī)則稱為“對號入座”。第二十八張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月整體結(jié)點碼剛度矩陣對號入座集裝規(guī)則第二十九張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月4-6) 任意結(jié)構(gòu)情況 上面結(jié)論是通過具體例子（全剛結(jié)

10、點平面剛架）得到的，由理論分析可證明，任意結(jié)構(gòu)其結(jié)論同此例。1) 結(jié)點位移編號 如果按結(jié)點順序，對結(jié)點非零位移進行依次編號，這一序號稱作結(jié)點位移碼。為便于計算機處理并減少結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階次，將零位移的號碼變?yōu)榱恪?對圖示三鉸剛架，當(dāng)僅用一種單元（梁柱自由是單元）時結(jié)點位移編號如圖所示。2) 單元定位向量 按單元局部結(jié)點碼順序，將結(jié)點位移碼排成的向量，稱作單元的定位向量。第三十張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 對圖示剛架各單元的定位向量為 (0,0,1,3,4,5) (0,0,2,10,11,12) (3,4,5,6,7,8) (6,7,9,10,11,12) 如果如圖所示采用各種不同

11、的單元（一端有鉸），則定位向量為 (0,0,1,2,3) (0,0,6,7,8) (1,2,3,4,5) (4,5,6,7,8)如何獲得帶鉸的單元剛度矩陣和等效荷載矩陣第三十一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月一端帶鉸的單元如下圖所示 其單元剛度矩陣和等效結(jié)點荷載矩陣可有兩種方法獲得： 直接用形、載常數(shù)疊加來的到； 由自由式單元剛度方程，以鉸結(jié)端彎矩為零為約束條件，從這個方程解出鉸結(jié)端的轉(zhuǎn)角位移（用其它位移表示），代回其它剛度方程，整理后即可得到。這類單元的單元剛度矩陣可在() P. 40找到第三十二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月定位向量1) 剛度集裝(以 單元為例)定位向

12、量單元局部位移碼4-7) 按單元定位向量集裝剛度矩陣和綜合荷載 前面說明的是分塊子矩陣集裝,下面說明如何按定位向量來集裝. 根據(jù)單元局部位移碼和定位向量的對應(yīng)關(guān)系用定位向量位移碼送元素。第三十三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月位移碼位移碼總荷111213141522232425333444354555對稱“總荷”第單元集裝后的“總剛”小結(jié)第三十四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月2) 荷載集裝 以 單元為例來說明定位向量局部位移碼此結(jié)論同樣適用于剛度集裝根據(jù)單元局部位移碼和定位向量的對應(yīng)關(guān)系用定位向量位移碼送元素，定位向量元素為零時不送。第三十五張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2

13、022年6月整體分析小結(jié)1) 對局部坐標和整體坐標不一致的單元，要對剛 度、荷載進行坐標轉(zhuǎn)換。2) 需對“結(jié)構(gòu)”進行結(jié)點、位移的局部和整體編 號。4) 整體剛度矩陣是對稱、帶狀稀疏矩陣，支撐條 件能限制剛體位移時，矩陣非奇異。3) 根據(jù)單元局部位移碼和定位向量的對應(yīng)關(guān)系用 定位向量位移碼送元素，定位向量元素為零時 不送。據(jù)此可集裝、累加得到整體剛度矩陣。第三十六張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 5) 綜合荷載由兩部分組成，因此首先要將直接作 用結(jié)點的荷載按結(jié)點位移碼送入，如果還有單 元等效荷載，再按定位向量集裝、累加。8) 如果有某位移碼方向彈性支撐，需進行將彈簧 剛度送入位移碼對應(yīng)

14、的對角線元素位置累加。9) 如果有某位移碼方向已知支撐位移，需進行將 “邊界條件處理”。具體做法以后介紹。7) 整體剛度方程實質(zhì)是全部結(jié)點的平衡條件。6) 剛度矩陣帶狀稀疏，其帶寬取決于結(jié)點、位移 編碼。 最大半帶寬=定位向量中最大元素差+1。整體分析小結(jié)第三十七張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月4-8） 邊界條件的處理1) 乘大數(shù)法2) 置換法(劃零置1) 設(shè)第 i 個位移為已知值 a 。設(shè)第 i 個位移為已知值 a ，N =108 或更大的數(shù)。乘大數(shù)法是將剛度矩陣Kii改為 NKii，將Pi改為 Na。 當(dāng)按子矩陣(后處理法)集裝形成整體剛度方程時，整體剛度矩陣是奇異的。此外，當(dāng)需

15、分析的結(jié)構(gòu)有已知支座位移時，上述兩情況均需進行邊界條件處理。請考慮為什麼這樣做能使邊界條件得到滿足？第三十八張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月剛度方程為：上述置換工作量大一些，顯然可看出邊界條件得到精確滿足。第三十九張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 3) 關(guān)于斜邊界的處理 如圖示意的斜支座情況，有多種處理方案。3-1) 通過單元的坐標轉(zhuǎn)換來處理xyr3-2) 通過增加一個單元來處理3-3) 對整體剛度矩陣進行處理(參見有關(guān)教材) 圖示有斜支座單元，r 結(jié)點處以傾角 - 來進行坐標轉(zhuǎn)換，也即在r 結(jié)點處整體坐標為圖示 xy 。圖示有斜支座單元，r 結(jié)點處沿 y 方向增加一個剛結(jié)

16、的單元，此單元有“無窮大”的抗拉剛度、但沒有抗彎剛度。單元長度可任意。第四十張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月5. 剛度與荷載元素的速算方法目的：為調(diào)試程序準備測試數(shù)據(jù)。元素Kij的物理意義：僅j位移碼處單位位移，i位移碼處所需施加的力。舉例 試求圖示結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣元素K11。根據(jù)元素物理意義，求K11的計算簡圖如有所示。因為僅j位移碼處單位位移，故可改為5-1）“總剛”元素第四十一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月根據(jù)形常數(shù)，取隔離體如圖，由此可得K11根據(jù)元素物理意義，由圖示計算簡圖還可求得K41K31結(jié)論：根據(jù)整體剛度矩陣元素的物理意義，在熟記形常數(shù)的前提下，取相關(guān)部

17、分為對象，即可方便地求得剛度元素。第四十二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月求K22、 K23、 K25、 K26應(yīng)取什么樣的隔離體做計算簡圖？求K33、 K35、 K36應(yīng)取什么樣的隔離體做計算簡圖？第四十三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月5-2）“總荷”元素 綜合結(jié)點荷載包含兩部分：直接結(jié)點荷載和單元荷載等效的結(jié)點荷載。 因為在固端力正向和桿端力正向規(guī)定相同時，有 所以如圖所示，將實際的固端力反向等效作用于結(jié)點，由集裝規(guī)則可得第四十四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 試求圖示結(jié)構(gòu)在所示編碼下的綜合結(jié)點荷載矩陣第四十五張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月5-

18、3）任一截面的內(nèi)力計算 在求解整體剛度方程，獲得結(jié)構(gòu)位移矩陣后，根據(jù)定位向量，可得到各單元的桿端位移矩陣，由單元剛度方程可得到單元桿端力。 需注意：如圖所示，單元桿端力和前幾章單元桿端內(nèi)力的正向規(guī)定是不同的。 求得單元桿端力后，如圖取隔離體，由平衡條件可得第四十六張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十七張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十八張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月程序編制題試參考隨書光盤所給的平面與空間桁架計算程序（F90）自行編制平面剛架靜力計算程序返首第四十九張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月看課程教材第五十張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月單元桿端位移示意圖示量均是正的第五十一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月單元桿端力示意圖示量均是正的第五十二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月單一位移時的單元桿端力第五十三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月單一位移時的單元桿端力第五十四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6