向量法解立體幾何的運(yùn)算特點(diǎn)及策略

1、向量法解立體幾何問(wèn)題中的運(yùn)算策略潘承猛（廣西壯族自治區(qū)南寧市廣西大學(xué)附屬中學(xué)，530004）在高考全國(guó)卷中，立體幾何是一道必考解答題，其中理科數(shù)學(xué)解答題的第（II）問(wèn)主要 考察向量法解決空間角的問(wèn)題.這道題是數(shù)學(xué)科臨界生高考數(shù)學(xué)成績(jī)能否達(dá)到一本有效分的 關(guān)鍵，大多數(shù)學(xué)生感覺(jué)這道題的運(yùn)算量大、容易出錯(cuò)，在考試中花時(shí)間多，不易拿分.因此， 部分學(xué)生在考試中把這道題放到最后面來(lái)做或者放棄，導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績(jī)無(wú)法上升到一個(gè)新的臺(tái) 階.其實(shí)要解決這些問(wèn)題關(guān)鍵在于“四破”：第一破“建系關(guān)”一一構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； 第二破“求點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)”準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三破“求法向量關(guān)”快速準(zhǔn)確求出平 面的法向量；

2、第四破應(yīng)用公式關(guān)”準(zhǔn)確的應(yīng)用公式.這四關(guān)相互關(guān)聯(lián)，環(huán)環(huán)相扣，每一個(gè) 步驟的處理恰當(dāng)與否都會(huì)影響到下一步的運(yùn)算量及運(yùn)算難度.下面我們來(lái)談?wù)勅绾瓮黄七@四 關(guān).第一關(guān)：如何建立合適的空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系首先要保證三條坐標(biāo)軸兩兩垂直.在實(shí)際操作中，第一步是要找線 面垂直，一般是找垂直于底面的直線，這條直線或與這條直線平行的直線作為z軸.若題目條 件中沒(méi)有給出線面垂直條件，則必須證明后才能建系.第二步是確定x軸與y軸，一般情況 是先將底面的直觀圖還原成平面圖，然后找出相互垂直的兩條直線分別作為x軸與y軸，如 果沒(méi)有現(xiàn)成的兩條相互垂直直線，則需要做出輔助線，并給予證明.在正確建系的基礎(chǔ)上， 再

3、考慮如何建立合適的空間直角坐標(biāo)系.合適的空間直角坐標(biāo)系即要保證幾何體中的相關(guān)點(diǎn) 坐標(biāo)能求出來(lái)，還要使得這些點(diǎn)坐標(biāo)容易求且運(yùn)算簡(jiǎn)單.最容易確定坐標(biāo)的點(diǎn)是坐標(biāo)軸上的 點(diǎn)，其次是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，因此，建系的第一個(gè)原則是使相關(guān)點(diǎn)盡量多的在坐標(biāo)軸上.第 二個(gè)原則是圖形有對(duì)稱性質(zhì)時(shí)，盡量對(duì)稱建系.第三個(gè)原則是在盡量使得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為正 數(shù)、有理數(shù)、整數(shù).這三個(gè)原則有沖突時(shí)應(yīng)依次優(yōu)先滿足.我們來(lái)看以下例子. TOC o 1-5 h z 例1： （2013年全國(guó)I卷改編）如圖，三棱柱ABC - ABC中，111-7AC = BC = AB = AA，匕BA = 60。，平面 ABC平面 AA1B1B，/ 求直

4、線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.7分析：本題應(yīng)先由面面垂直證明線面垂直再建系，取AB的中點(diǎn)、LO，連結(jié) OC，OA1，A B .因?yàn)?CA = CB，所以 OC AB .又d- l平面ABC 平面AABB1，交線為AB，所以O(shè)C 平面,AABB .由于 AB = AA，ZBAA = 60。，故 AAA B 為等邊三 ， 11111角形，所以O(shè)A1 1 AB .故OA，OC，OA1兩兩互相垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)?x軸的正方向，I OA I為1個(gè)單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O - z，則A（1,0，0），4（0,招,0），B（-1，0,0），BQ2,J3,0），C（

5、0,0，招）.我們把這種建系方法記為方法1，除了這種建系方法外，學(xué)生常見(jiàn)的建系方法有以下三種，相對(duì)于方法1來(lái)說(shuō)不足之處有：方法2方法3方法4A(0,1,0)，A(2,0,0)，A(招,0,0)，A (-73,0,0)，1氣（1,方,0），A(0,1,0)，研0,-1,0)，B (0,0,0)，B(0,-1,0)，q（項(xiàng),-2,0），B (-1危,0)，1B1(項(xiàng),0,0)，C (0,0j3)C (1,0, J3)c（- 2，占）相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)都帶“一”號(hào)增多，C點(diǎn)和A1點(diǎn)的坐標(biāo)變復(fù)雜，C點(diǎn)坐標(biāo)不好確定且復(fù)雜，增增加運(yùn)算因素，容易算錯(cuò).增加運(yùn)算難度.加運(yùn)算難度.由此可見(jiàn)，建系是否恰當(dāng)對(duì)于點(diǎn)的坐標(biāo)的確

6、定難易有很大的影響.第二關(guān)：如何正確的求出點(diǎn)的坐標(biāo)我們建立了合適的空間直角坐標(biāo)系以后.在圖形上標(biāo)注線段長(zhǎng)度，如果題目只給出線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系而沒(méi)有給出線段具體長(zhǎng)度，一般情況下假設(shè)最短線段為一個(gè)單位長(zhǎng)度可以減少坐標(biāo)為分?jǐn)?shù)的情況.求幾何體頂點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該按照先軸后面再其它的順序來(lái)求.第一步， 先寫(xiě)出坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有兩個(gè)零.第二步，根據(jù)題目給的已知條 件把底面還原成平面圖，并標(biāo)注x軸和y軸，求出底面上點(diǎn)的坐標(biāo)，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo) 有一個(gè)坐標(biāo)為零.還原底面對(duì)于正確寫(xiě)出坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)至關(guān)重要，近幾年高考全國(guó) 卷所給的幾何體大多數(shù)是椎體，而錐體只有一個(gè)頂點(diǎn)不在底面上，由于底面

7、直觀圖相對(duì)于原 平面圖是嚴(yán)重變形的，空間想象能力不足的學(xué)生很容易寫(xiě)錯(cuò)底面上的點(diǎn)的坐標(biāo).而對(duì)于頂點(diǎn) 的坐標(biāo)，我們也只需要找出它在底面上射影點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出它到底面距離就可以求得頂點(diǎn) 的坐標(biāo).最后是其余點(diǎn)的坐標(biāo)，一般可分為兩類，第一類是定點(diǎn)，首先考慮該點(diǎn)坐標(biāo)是否有 必要求出，求點(diǎn)的坐標(biāo)是為下一步求向量做準(zhǔn)備，如果涉及到該點(diǎn)的向量可以用相等向量來(lái) 替代，則不需要求出該點(diǎn)的坐標(biāo).若必須求出，則先看是否可以通過(guò)相等向量列方程求出該 點(diǎn)的坐標(biāo).最后才是考慮通過(guò)找出該點(diǎn)在底面上的射影求出它的坐標(biāo).下面我們以例1的4 種建系方法為例，給出將底面還原后的圖形（其中C點(diǎn)在底面上的射影為AB的中點(diǎn)）：方法1方法2方

8、法3方法4A_/y將底面圖形及坐標(biāo)系還原后，各點(diǎn)坐標(biāo)就容易確定多了 .其中方法3中點(diǎn)A1坐標(biāo)是比較 容易寫(xiě)錯(cuò)，方法4中點(diǎn)C坐標(biāo)是比較容易寫(xiě)錯(cuò)，而且問(wèn)題的解答必須求出這兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).前三種方法中點(diǎn)B1的坐標(biāo)是比較容易寫(xiě)錯(cuò)，但在解題過(guò)程中，點(diǎn)B1的坐標(biāo)不是必須求出的，在 求面平面BBCC的法向量時(shí)，用到bc和BB，其中BB = AA，從而避免去求點(diǎn)B坐標(biāo).iiii 11而對(duì)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，如果這一個(gè)動(dòng)點(diǎn)是在坐標(biāo)軸上或者是某一個(gè)坐標(biāo)平面上，我們可以直 接假設(shè)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，如果這個(gè)點(diǎn)是在幾何體的某一條棱上，一般情況是通過(guò)共線向量的方 法假設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo).然后根據(jù)題目所給的條件列方程求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).例2： （2

9、017全國(guó)II卷改編）如圖所示，在四棱錐戶-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角 形且垂直于底面ABCD，AB = BC =1 AD，ZBAD = ZABC = 90o，點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成的銳角為45o，求二面角M - AB - D的余弦值.解：取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO.則PO AD，CO AD，因?yàn)槊鍼AD 1底面ABCD，面 PAD I 底面 ABCD =AD，PO u WPAD，所以PO 1 面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB為1個(gè)單位長(zhǎng)度，（、則 A（0，-1，0），B （1，-1，0 ），C （1，0，0 ），P X），0，百

10、）uuuAB = （1，0，0），CP = （-1,0 3），BC = （0,1,0）， 設(shè) CM = xCP = x-1,0,* 3 ）=（-人,0,t 3Z， 則 bM = BC + CM =（0,1,0）+1M0、公）=l 人,1, 3人 底面ABCD的法向量n =（0,0,1），由題意 sin 45o= cos 解之得，所以BM =2的法向量，m = （x, y, z），2, 即，2v1 + 4X2，.設(shè)平面ABM-m = 0，得，AB - m = 0的余弦值為迫.5,（6,2），從而 cos ：m,n =m - n J10m - n 5故二面角M - AB - D（一亍1k）從例2可

11、以看到，點(diǎn)M的坐標(biāo)不需具體求出來(lái)，如果需要也可以由BM =點(diǎn)B（1，-1，。）求出點(diǎn)M的坐標(biāo).第三步：求向量空間向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)，這對(duì)大多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō)不存在什么問(wèn)題， 只是在運(yùn)算中盡量選坐標(biāo)帶“一”號(hào)少的向量，以減少運(yùn)算失誤.真正的問(wèn)題是如何快速準(zhǔn)確的 求出平面的法向量.求平面的法向量，比較常見(jiàn)的有三種方法.（1）解不定方程法我們?cè)O(shè)a = （a ,a ,a ），b = （b ,b ,b ）為平面為平面a的兩個(gè)不共線向量，n = （x, y,z）是123123a - n = 0ax + a y + a z = 0平面a的一個(gè)法向量.則由 八，得不定方程組 ：:人3八，可令x(

12、或y、b - n = 0I b x + b y + b z = 0It 123z)取一個(gè)特殊值(一般是整數(shù))，代入方程組可得一個(gè)二元二次方程組，解這個(gè)方程組即可 求出平面的一個(gè)法向量.例3：已知a = (1,2,3)，b = (2,1,1)，則求的過(guò)程如下：n - a = 0I x + 2 y + 3z = 0解：設(shè)n = (x,y,z)，則由n 1 a，n 1 b，得M ，即K八，In-b = 0I 2x + y z = 0I x + 3 y = 9I x = 5不妨設(shè)z = 3，得仁 父，解之得 ，可取n = (5,7,3) ”.2 x +y = 3I y = 7以上的常規(guī)方法比較繁瑣，很

13、容易出錯(cuò)，特別是如新，b的坐標(biāo)含有根式、參數(shù)時(shí)就更 難處理了.(1)矩陣法若a =(a ,a ,a )，b = (b ,b ,b)為平面為平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，123123a2b2a3b3a1b1a3b3a1b1a2b2=(a b 一 a b，-(a b 一 a b ) a b 一 a b )是平面a 的1 22 1233一個(gè)法向量.由此，例3中的法向量n = axb =1, 2一12=(5,7,-3)，這種方法需要學(xué)生熟記公式.熟練掌握以上方法，可以迅速求出平面的法向量，也降低了運(yùn)算難度.但 是這種方法容易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，要解決這個(gè)問(wèn)題，最好的方法是代回檢驗(yàn).所以，基于檢驗(yàn) 思想，對(duì)于一些

14、特殊情況，還有更簡(jiǎn)便的方法.(3)坐標(biāo)交叉賦值其中一個(gè)變號(hào)法(坐標(biāo)含0情況)如果平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量a，b的坐標(biāo)中含有零，我們就從零最多的向量入手， 通過(guò)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)交叉賦值，并且改變其中一個(gè)坐標(biāo)的符號(hào)的方法快速求出平面以的一個(gè)法向 量.兩個(gè)向量中不妨假設(shè)a坐標(biāo)含零個(gè)數(shù)最多. TOC o 1-5 h z 第一種情況，a坐標(biāo)含有兩個(gè)零.例如：a = (a ,0,0)，b = G ,b ,b )，則可通過(guò)觀察便 1123可直接寫(xiě)出平面a的一個(gè)法向量n = G, y,z).由于a中x坐標(biāo)不為零，所以可令法向量的x = 0，此時(shí)不管法向量的y,z取任何值(不能同時(shí)取零)都滿足a n = 0，接下來(lái)只需

15、要考，一 ，、一-11慮y,z取任何值時(shí)b n = 0，顯然，坐標(biāo)交叉賦值其中一個(gè)變號(hào)可令y = b3,z = -b2 (或y = b ,z = b )可使得b n = 0，所以可取n =(0,b，b )(或n =(0,b ,b ) .為了便于323232記憶，可記以下有兩個(gè)零的口訣：非零付零，交叉賦值，其中一個(gè)要變號(hào).第二種情況，a坐標(biāo)含有一個(gè)零.例如：a =(a ,a ,0), b =(b , b , b )，則可通過(guò)坐標(biāo) TOC o 1-5 h z 12123交叉賦值其中一個(gè)變號(hào)法設(shè)a的一個(gè)法向量n =(a，-a ,z)(或n = (-a ,a ,z)，此時(shí)滿足 2121a - n =

16、0，然后再由 b - n = 0 列方程 ba + b (- a )+ bz = 0 (或 b (- a )+ ba + bz = 0 )，JL 二乙JLJJL乙乙 JLJ當(dāng)b3。0時(shí)可求得z值，從而求得法向量.若b3= 0，顯然可取n =(0,0,1).為了便于記憶， 可記以下只有一個(gè)零的口訣：非零坐標(biāo)交叉賦值其中一個(gè)變號(hào)；有零坐標(biāo)設(shè)未知數(shù)，再列方 程可求解. bfc- ,.例4：已知向量a、b是平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，根據(jù)以下條件，求平面 的一個(gè)法向量n .a =(0,0,1)，b = (2,1,-1)；a =(1,0,3)，b = (2,1,-1)；(-)- a =2m,2-m,0人

17、 b = G.2,1,2).解：(1 )由a =(0,0,1)可設(shè)n = 3, y,0)，由b = (2,1,-1)的x，y坐標(biāo)交叉賦值其中一個(gè)變號(hào)得 n = (1,-2,0)由a = (1,0,3)的x，z坐標(biāo)交叉賦值其中一個(gè)變號(hào)可設(shè)n = (3, y,-1)，則由b 3 = 0，得2 x 3 + y + (- 1)x (-1)= 0，即 y = -7，所以，可取 n = (3,-7,-1).( 由a =2m,2-m,0的 x，y坐標(biāo)交叉賦值其中一個(gè)變號(hào)可設(shè)n = (m - 2/2m, z)，則 由 b - n = 0，得 J 2)x*2 +、：2m + 2 z = 0，解得 z = 2 -

18、 ： 2m，所以，可取 n = (m 2,七2m, v2-2m).以上兩種特殊情況在平時(shí)的解題中還是比較常見(jiàn)的情形.因此，在實(shí)戰(zhàn)中，若平面a內(nèi) 的兩個(gè)不共線向量有多種選擇的話，盡量選擇坐標(biāo)含零多的向量，點(diǎn)的坐標(biāo)含0的越多運(yùn)算 越簡(jiǎn)單.由此可見(jiàn)，點(diǎn)坐標(biāo)含0的多少對(duì)法向量運(yùn)算難易的影響.以上三種方法，不管是哪 一種方法我們都建議學(xué)生求出法向量以后檢驗(yàn)是否正確.第四步：應(yīng)用公式空間向量的最常見(jiàn)的應(yīng)用是求空間角，即根據(jù)空間角與兩個(gè)向量夾角關(guān)系求空間角，因 此，一定要明確以下三種空間角與對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量夾角的關(guān)系.(1(1)兩條異面直線所成的角。G 00,90，它與兩條這兩條異面直線的方向向量a,b的夾角

19、的關(guān)系是9 = 或9 =180。，所以有公式cos9 = cos .cos .(2)直線與平面所成的角9 0。,90。，它與直線的萬(wàn)向向量a及平面的法向量m的夾角的關(guān)系是9 = 90。-或9 =90。,所以有公式sin9 = 1(3)二面角的平面角9 峪。,180。，它與兩個(gè)平面的法向量m,n的夾角的關(guān)系，若9為銳角公式是9 = 或9 = 180。，所以有公式cos9 = cos 取正號(hào)，9為鈍角公式取負(fù)號(hào).n =0,2,2、3)求這兩個(gè)向量夾角余弦值時(shí)若直接由以上關(guān)系可知，空間角問(wèn)題最終都轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量夾角問(wèn)題，而決定兩個(gè)向量夾角大 小的是兩個(gè)向量方向，與向量的模無(wú)關(guān)，因此，在求兩個(gè)向量夾角

20、時(shí)，可以用方向相同的向 量來(lái)替代運(yùn)算以降低運(yùn)算難度，其中也包含平行和垂直關(guān)系.一 83 4展 4代入公式運(yùn)算量很大，因此，可將4m = -2*f2,-1Z口 2n =.，-拓)弋入公式求夾角余 3一 13 少偵。以(、,3)弦值，即cos =cos =.(誦)+(3)+(_D .,12+3)=例如已知m = 丁, 了, x( 3)_ 2* _.；31)2 12+( 3)=而瑚=3.可見(jiàn)，這種替代方法可以極大的降低運(yùn)算量，從而提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性.用向量求空間距離問(wèn)題是利用向量數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義，主要有兩種類型.(1)平面外的點(diǎn)P到面a的距離d等于點(diǎn)P與面內(nèi)任意一點(diǎn)A連線所得向量PA在平面pa - na法向量n上投影的絕對(duì)值，即d = n然后再應(yīng)用勾股定理得d=(2)而直線外的一點(diǎn)P到直線l的距離d.可以先在直線上任意取一個(gè)點(diǎn)A.求出PA在PA. a直線方向向量a的投影的絕對(duì)值 a直線與平面平行時(shí)的線面距離、兩個(gè)平行平面的距離、異面直線公垂線段長(zhǎng)問(wèn)題都可以 轉(zhuǎn)化為