投資學第十三章

1、投資學第十三章投資學 第13章投資分析（4）：Black-Scholes 期權(quán)定價模型8/29/20222概 述Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎模型基本假設(shè)8個無風險利率已知，且為一個常數(shù)，不隨時間變化。標的股票不支付紅利期權(quán)為歐式期權(quán)8/29/20223無交易費用：股票市場、期權(quán)市場、資金借貸市場投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，均為無風險利率股票交易無限細分，投資者可以購買任意數(shù)量的標的股票對賣空沒有任何限制標的資產(chǎn)為股票，其價格S的變化為幾何布朗運動8/29/20224B-S模型證明思路

2、ITO引理ITO過程B-S微分方程B-S買權(quán)定價公式8/29/2022513.1 維納過程根據(jù)有效市場理論，股價、利率和匯率具有隨機游走性，這種特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一種。對于隨機變量w是Wiener process，必須具有兩個條件：在某一小段時間t內(nèi)，它的變動w與時段滿足t8/29/20226（13.1）2. 在兩個不重疊的時段t和s, wt和ws是獨立的，這個條件也是Markov過程的條件，即增量獨立?。?3.2）有效市場8/29/20227滿足上述兩個條件的隨機過程，稱為維納過程，其性質(zhì)有當時段的長度放大到T時

3、（從現(xiàn)在的0時刻到未來的T時刻）隨機變量wt的滿足8/29/20228證明：8/29/20229在連續(xù)時間下，由（13.1）和（13.2）得到（13.3）（13.4）所以， 概率分布的性質(zhì)以上得到的隨機過程，稱為維納過程。8/29/20221013.2 ITO定理一般維納過程(Generalized Wiener process)可表示為（13.5）顯然，一般維納過程的性質(zhì)為8/29/202211一般維納過程仍不足以代表隨機變量復(fù)雜的變動特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當若把變量xt的漂移率a和方差率b當作變量x和時間t的函數(shù)，擴展后得到的即為ITO過程8/29/202212B-S 期權(quán)定價模型

4、是根據(jù)ITO過程的特例幾何布朗運動來代表股價的波動省略下標t，變換后得到幾何布朗運動方程（13.6）證券的預(yù)期回報與其價格無關(guān)。8/29/202213ITO定理：假設(shè)某隨機變量x的變動過程可由ITO過程表示為（省略下標t）令f(x,t)為隨機變量x以及時間t的函數(shù)，即f(x,t)可以代表以標的資產(chǎn)x的衍生證券的價格，則f(x,t)的價格變動過程可以表示為（13.7）8/29/202214證明：將（13.7）離散化由（13.1）知利用泰勒展開，忽略高階段項，f(x,t)可以展開為（13.8）8/29/202215在連續(xù)時間下，即因此，（13.8）可以改寫為（13.9）從而8/29/202216即

5、x2不呈現(xiàn)隨機波動?。?3.10）8/29/202217由（13.10）可得（13.11）由（13.11）得到（13.12）8/29/202218 由于x2不呈現(xiàn)隨機波動，所以，其期望值就收斂為真實值，即當t0時，由（13.9）可得8/29/20221913.3 B-S微分方程假設(shè)標的資產(chǎn)價格變動過程滿足這里S為標的資產(chǎn)當前的價格，令f(s,t)代表衍生證券的價格，則f(x,t)的價格變動過程可由ITO引理近似為8/29/202220假設(shè)某投資者以份的標的資產(chǎn)多頭和1個單位的衍生證券空頭來構(gòu)造一個組合，且滿足則該組合的收益為8/29/202221下面將證明該組合為無風險組合，在t時間區(qū)間內(nèi)收益

6、為8/29/202222注意到此時不含有隨機項w，這意味著該組合是無風險的，設(shè)無風險收益率為r，且由于t較小（不采用連續(xù)復(fù)利），則整理得到8/29/202223B-S微分方程的意義衍生證券的價格f，只與當前的市價S，時間t，證券價格波動率和無風險利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風險偏好如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。在對衍生證券定價時，可以采用風險中性定價，即所有證券的預(yù)期收益率都等于無風險利率r。只要標的資產(chǎn)服從幾何布朗運動，都可以采用B-S微分方程求出價格f。8/29/202224若股票價格服從幾何布朗運動設(shè)當前時刻為t，則T時刻股票價格滿足對數(shù)正態(tài)分布，即13.4 幾何布

7、朗運動與對數(shù)正態(tài)分布8/29/202225令則這樣由伊藤引理得到即8/29/202226由（13.1）8/29/202227則稱ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其期望值為所以8/29/20222813.5 B-S買權(quán)定價公式 對于歐式不支付紅利的股票期權(quán)，其看漲期權(quán)（買權(quán)）的在定價日t的定價公式為8/29/202229（1）設(shè)當前時刻為t，到期時刻T，若股票價格服從幾何布朗運動，若已經(jīng)當前時刻t的股票價格為St,則T時刻的股票價格的期望值為B-S買權(quán)定價公式推導（13.13）8/29/202230（13.14）由（13.13）和（13.14）得到（13.15）根據(jù)B-S微分方程可知，定價是在風險中性條件

8、下，則資產(chǎn)的期望回報為無風險回報，則這表明：在風險中性的世界中，任何可交易的金融資產(chǎn)的回報率均為無風險利率。8/29/202231（2）在風險中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風險利率r，故買權(quán)期望值的現(xiàn)值為（13.16）8/29/202232由于ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其pdf為（13.17）第1項第2項將由(13.16)得到8/29/202233（3）化簡（13.17）中的第1、2項，先化簡第1項（13.18）當前時刻價格，不是變量8/29/202234（13.19）8/29/202235 將（13.19）與（13.18）內(nèi)的第2個指數(shù)項合并，即（13.20）8/29/202236將（13.

9、20）代入（13.18）下面，將利用變量代換來簡化（13.21），不妨令（13.21）8/29/2022378/29/202238y的積分下限為y的積分上限為8/29/202239將dy與y代入（13.21），即有這樣就完成了第1項的證明。（13.22）8/29/202240下面證明B-S公式中的第2項，首先進行變量代換，令8/29/202241則z的積分下限z的積分上限8/29/202242將z和dz代入（13.23）8/29/202243則由（13.22）和（13.23）得到其中8/29/202244pr0dN(d)例如:當d1.96時,N(d)913.5%8/29/202245B-S買權(quán)

10、公式的意義N(d2)是在風險中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。 e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風險中性期望值的現(xiàn)值。 8/29/202246其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負債的價值。假設(shè)兩個N(d)均為1，看漲期權(quán)價值為St-Xe-rT，則沒有不確定性。如果確實執(zhí)行了，我們就獲得了以St為現(xiàn)價的股票的所有權(quán)，而承擔了現(xiàn)值Xe-rT的債務(wù)。期權(quán)的價值關(guān)于標的資產(chǎn)的價格及其方差，以及到期時間等5個變量的非

11、線性函數(shù)Ct=f(St,X,r)的函數(shù)，具有如下性質(zhì)8/29/202247FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values: CallsSo = 100X = 95r = 0.10T = 0.25 (quarter)= 0.50d1 =

12、 ln(100/95) + (0.10+(05 2/2) / (050.251/2) = 0.43 d2 = 0.43 + (050.251/2) =0.18N (0.43) = 0.6664， N (0.18) =0 .5714Call Option Exle8/29/202249Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70P = Xe-rT 1-N(d2) - S0 1-N(d1)Call Option Value8/29/20225013.6 看跌期權(quán)的定價利用金融工程的原理來

13、看待期權(quán)平價關(guān)系考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)8/29/202251組合A到期時刻T的收益組合B到期時刻T的收益兩個組合具有相同的價格，且由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，則在t時刻兩個組合價值相等，否則就有套利，即此為看漲看跌期權(quán)平價公式。8/29/202252從幾何圖性上看，二者對影響期權(quán)的關(guān)鍵指標都進行了負向變換，是關(guān)于縱向?qū)ΨQ的。8/29/202253標的資產(chǎn)價格期權(quán)價值8/29/20225413.7 有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價當標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（StI）代替B-S公式中的St當標的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將8/29/202255對于歐式期貨期權(quán)，其定價公式為其中：F為到期日期貨的價格，即付出X，得到一個價值為F的期貨8/29/202256根據(jù)泰勒公式對期權(quán)價格進行二階展開，忽略高階項DeltaThetaVegaRhoGamma13.