《線性代數(shù)》高維波動(dòng)方程

1、2.2 高維波動(dòng)方程. 齊次波動(dòng)方程初值問(wèn)題 在研究電磁場(chǎng)等問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要討論高維波動(dòng)方程相關(guān)的問(wèn)題，例如三維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題：為了求解這個(gè)定解問(wèn)題，首先介紹如下的球面平均法。數(shù)學(xué)物理方程引入一個(gè)表示在以為心，為 上的平均值的函數(shù) ，即：其中, , 是單位球面面積元素，是球面上的面積元素，.的連續(xù)性，有半徑的球面 (4)顯然有由 (4) 及當(dāng)數(shù)學(xué)物理方程即下面來(lái)推導(dǎo)所滿足的方程。所圍成的球體內(nèi)積分，對(duì)方程（1）的兩端在并用Gauss 公式數(shù)學(xué)物理方程其中 是的單位外法向矢量。 (5) 將 (5)的左端采用球面坐標(biāo)并交換積分和微分次序（6）其中.數(shù)學(xué)物理方程微分一次，得對(duì)式 (7) 兩端對(duì)由

2、 (5)(6)得(7)或(8)數(shù)學(xué)物理方程由于則這是一個(gè)關(guān)于的一維波動(dòng)方程，(10)，有，則于是有(9)它的通解為令數(shù)學(xué)物理方程對(duì) (11)兩端對(duì) 求導(dǎo)，有求導(dǎo)，得對(duì) (11)兩端對(duì) (11)令，有(13)(14)(15)(12)由(12), (14)，得數(shù)學(xué)物理方程利用的表達(dá)式及初始條件 (2)-(3)，有在上式中令 ，由 (13) 得到Cauchy問(wèn)題(1)(3)的解(16)數(shù)學(xué)物理方程這個(gè)公式稱(chēng)為泊松公式。數(shù)學(xué)物理方程，但它和自變量無(wú)關(guān)，二. 降維法應(yīng)用泊松公式，現(xiàn)在研究二維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題利用上面的三維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題求解的結(jié)果來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，總可以看成是高一維空間中的函數(shù)這是因?yàn)閷?duì)

3、于所考察的二維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題的解因此滿足數(shù)學(xué)物理方程是與無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中，也已視為空間中的函數(shù)。是一個(gè)與無(wú)關(guān)的函數(shù)，反之，如果三維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題(20)(22)的解方程和初始條件都化為二維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題(17)(19)則它所滿足的如果解出三維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題(20)(22)，并能證明這問(wèn)題的解利用高維問(wèn)題的解得出低維問(wèn)題解的方法稱(chēng)為降維法。那么二維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題(17)(19)也就能得到解決。的解。數(shù)學(xué)物理方程=常數(shù)上的投影的積分可以化為它在超平面及都是和由于利用解三維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題的泊松公式，得到這里的積分是在三維空間中的球面上進(jìn)行。無(wú)關(guān)的柱形函數(shù)，上面的積分。和它的投影之間

4、成立著如下的關(guān)系，其中因此在球面上注意到球面上的面積元素元素?cái)?shù)學(xué)物理方程為這兩個(gè)面積元素法線方向間的夾角，它可以表示為再注意到上下半球面的積分都化成同一圓上的積分，表示成這樣就可以把數(shù)學(xué)物理方程(23)數(shù)學(xué)物理方程它確實(shí)和無(wú)關(guān)，因此公式（23）就給出了二維柯西問(wèn)題 (17)(19) 的解，公式（23）稱(chēng)為二維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題的泊松公式，這種方法就稱(chēng)為降維法。 降維法不但適用于波動(dòng)方程，也適用于其他類(lèi)型的方程。此法可以使我們從多變量方程的定解公式中，推導(dǎo)出變量個(gè)數(shù)較少的方程的定解問(wèn)題的求解。(23)數(shù)學(xué)物理方程由二維泊松公式，空間內(nèi)一點(diǎn)三. 依賴(lài)區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域 的依賴(lài)區(qū)上的圓（24）

5、首先考察二維的情形。域是平面區(qū)域的決定區(qū)域是以頂點(diǎn)，以為底的圓錐體區(qū)域：（25）數(shù)學(xué)物理方程軸的角為其母線與初始平面上一點(diǎn)的影響區(qū)域：（26）它在空間為一個(gè)以為頂點(diǎn)的倒立的圓錐體，。稱(chēng)錐面：（27）為二維波動(dòng)方程的特征錐。數(shù)學(xué)物理方程由三維泊松公式，空間內(nèi)一點(diǎn)的依賴(lài)上的球面：這與一維和二維情形有較大區(qū)別。上球面（28）所包圍的球域的決定頂點(diǎn)，其次考察三維情形。區(qū)域是平面（28）初始平面區(qū)域是以間）圓錐體區(qū)域：以此球?yàn)榈椎模ㄋ木S空數(shù)學(xué)物理方程初始平面上點(diǎn)的影響區(qū)域是以為頂點(diǎn)倒立的圓錐面： 稱(chēng)錐面：為三維波動(dòng)方程的特征面。數(shù)學(xué)物理方程四. 非齊次方程齊次化原理 考慮非齊次波動(dòng)方程柯西問(wèn)題該問(wèn)題總可

6、以分解成兩個(gè)問(wèn)題來(lái)解決：(II) 問(wèn)題(II)的解可由泊松公式給出。數(shù)學(xué)物理方程，然后將對(duì)參數(shù) (III) (IV) 的解積分得到(*)關(guān)于問(wèn)題(III)的求解，可先求出齊次方程下述問(wèn)題可以證明是定解問(wèn)題(III)的解，這種方法稱(chēng)為齊次化原理或沖量原理。 數(shù)學(xué)物理方程(i) (ii) 事實(shí)上由于，則 ；而且(*)下面我們來(lái)驗(yàn)證這一結(jié)果：顯然成立 其中 表示拉普拉斯算子。(iii) 對(duì) (*)兩端對(duì)求導(dǎo)有由 (i)-(iii)知，函數(shù) 滿足定解問(wèn)題 (III) 數(shù)學(xué)物理方程現(xiàn)在我們把這個(gè)解 用泊松公式表示出來(lái)：則數(shù)學(xué)物理方程在時(shí)刻由函數(shù)處的函數(shù)的數(shù)值，位于由于在時(shí)刻(*)其中表示體積微元，為球心，為半徑球體內(nèi)進(jìn)行。處的值在此球中的體積積分為推遲勢(shì)。積分在以