《線性代數(shù)》高維波動方程

1、2.2 高維波動方程. 齊次波動方程初值問題 在研究電磁場等問題時，有時需要討論高維波動方程相關(guān)的問題，例如三維波動方程的柯西問題：為了求解這個定解問題，首先介紹如下的球面平均法。數(shù)學物理方程引入一個表示在以為心，為 上的平均值的函數(shù) ，即：其中, , 是單位球面面積元素，是球面上的面積元素，.的連續(xù)性，有半徑的球面 (4)顯然有由 (4) 及當數(shù)學物理方程即下面來推導所滿足的方程。所圍成的球體內(nèi)積分，對方程（1）的兩端在并用Gauss 公式數(shù)學物理方程其中 是的單位外法向矢量。 (5) 將 (5)的左端采用球面坐標并交換積分和微分次序（6）其中.數(shù)學物理方程微分一次，得對式 (7) 兩端對由

2、 (5)(6)得(7)或(8)數(shù)學物理方程由于則這是一個關(guān)于的一維波動方程，(10)，有，則于是有(9)它的通解為令數(shù)學物理方程對 (11)兩端對 求導，有求導，得對 (11)兩端對 (11)令，有(13)(14)(15)(12)由(12), (14)，得數(shù)學物理方程利用的表達式及初始條件 (2)-(3)，有在上式中令 ，由 (13) 得到Cauchy問題(1)(3)的解(16)數(shù)學物理方程這個公式稱為泊松公式。數(shù)學物理方程，但它和自變量無關(guān)，二. 降維法應(yīng)用泊松公式，現(xiàn)在研究二維波動方程的柯西問題利用上面的三維波動方程柯西問題求解的結(jié)果來解決這個問題，總可以看成是高一維空間中的函數(shù)這是因為對

3、于所考察的二維波動方程柯西問題的解因此滿足數(shù)學物理方程是與無關(guān)的函數(shù)，其中，也已視為空間中的函數(shù)。是一個與無關(guān)的函數(shù)，反之，如果三維波動方程的柯西問題(20)(22)的解方程和初始條件都化為二維波動方程柯西問題(17)(19)則它所滿足的如果解出三維波動方程的柯西問題(20)(22)，并能證明這問題的解利用高維問題的解得出低維問題解的方法稱為降維法。那么二維波動方程的柯西問題(17)(19)也就能得到解決。的解。數(shù)學物理方程=常數(shù)上的投影的積分可以化為它在超平面及都是和由于利用解三維波動方程柯西問題的泊松公式，得到這里的積分是在三維空間中的球面上進行。無關(guān)的柱形函數(shù)，上面的積分。和它的投影之間

4、成立著如下的關(guān)系，其中因此在球面上注意到球面上的面積元素元素數(shù)學物理方程為這兩個面積元素法線方向間的夾角，它可以表示為再注意到上下半球面的積分都化成同一圓上的積分，表示成這樣就可以把數(shù)學物理方程(23)數(shù)學物理方程它確實和無關(guān)，因此公式（23）就給出了二維柯西問題 (17)(19) 的解，公式（23）稱為二維波動方程柯西問題的泊松公式，這種方法就稱為降維法。 降維法不但適用于波動方程，也適用于其他類型的方程。此法可以使我們從多變量方程的定解公式中，推導出變量個數(shù)較少的方程的定解問題的求解。(23)數(shù)學物理方程由二維泊松公式，空間內(nèi)一點三. 依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域 的依賴區(qū)上的圓（24）

5、首先考察二維的情形。域是平面區(qū)域的決定區(qū)域是以頂點，以為底的圓錐體區(qū)域：（25）數(shù)學物理方程軸的角為其母線與初始平面上一點的影響區(qū)域：（26）它在空間為一個以為頂點的倒立的圓錐體，。稱錐面：（27）為二維波動方程的特征錐。數(shù)學物理方程由三維泊松公式，空間內(nèi)一點的依賴上的球面：這與一維和二維情形有較大區(qū)別。上球面（28）所包圍的球域的決定頂點，其次考察三維情形。區(qū)域是平面（28）初始平面區(qū)域是以間）圓錐體區(qū)域：以此球為底的（四維空數(shù)學物理方程初始平面上點的影響區(qū)域是以為頂點倒立的圓錐面： 稱錐面：為三維波動方程的特征面。數(shù)學物理方程四. 非齊次方程齊次化原理 考慮非齊次波動方程柯西問題該問題總可

6、以分解成兩個問題來解決：(II) 問題(II)的解可由泊松公式給出。數(shù)學物理方程，然后將對參數(shù) (III) (IV) 的解積分得到(*)關(guān)于問題(III)的求解，可先求出齊次方程下述問題可以證明是定解問題(III)的解，這種方法稱為齊次化原理或沖量原理。 數(shù)學物理方程(i) (ii) 事實上由于，則 ；而且(*)下面我們來驗證這一結(jié)果：顯然成立 其中 表示拉普拉斯算子。(iii) 對 (*)兩端對求導有由 (i)-(iii)知，函數(shù) 滿足定解問題 (III) 數(shù)學物理方程現(xiàn)在我們把這個解 用泊松公式表示出來：則數(shù)學物理方程在時刻由函數(shù)處的函數(shù)的數(shù)值，位于由于在時刻(*)其中表示體積微元，為球心，為半徑球體內(nèi)進行。處的值在此球中的體積積分為推遲勢。積分在以