高中數(shù)學(xué)平面向量教案人教版（理科）

1、第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算及幾何意義(1)理解平面向量的有關(guān)概念及向量的表示方法(2)掌握向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義(3)理解兩個(gè)向量共線的含義(4)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義知識(shí)點(diǎn)一向量的有關(guān)概念名稱定義向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的長度(或稱模)零向量長度為零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向量平行向量表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線平行或重合，則這兩個(gè)向量叫作平行向量，平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量相反向量長度相等且方向相反的向量易誤提醒1對(duì)

2、于平行向量易忽視兩點(diǎn)：(1)零向量與任一向量平行(2)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件2單位向量的定義中只規(guī)定了長度沒有方向限制自測練習(xí)1若向量a與b不相等，則a與b一定()A有不相等的模 B不共線C不可能都是零向量 D不可能都是單位向量解析：若a與b都是零向量，則ab，故選項(xiàng)C正確答案：C2若mn，nk，則向量m與向量k()A共線 B不共線C共線且同向 D不一定共線解析：可舉特例，當(dāng)n0時(shí)，滿足mn，nk，故A，B，C選項(xiàng)都不正確，故D正確答案：D知識(shí)點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a

3、bba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫作a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0，所以eq f(1,x)eq f(2,y)(2xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(2,y)4eq f(y,x)eq f(4x,y)42eq r(f(y,x)f(4x,y)8，當(dāng)且僅當(dāng)y2xeq f(1,2)時(shí)取等號(hào)，所以eq f(1,x)eq f(2,y)的最小值為8.答案：B6已知S是ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若eq o(BD,sup6()xeq o(AB

4、,sup6()yeq o(AC,sup6()zeq o(AS,sup6()，則xyz_.解析：依題意得eq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)(eq o(AS,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AS,sup6()，因此xyz1eq f(1,2)eq f(1,2)0.答案：07已知平面向量a，b滿足|a|1，b(1,1)，且ab，則向量a的坐標(biāo)是_解析：設(shè)a(x，y)平面向量a，b滿足|a|1，b(1

5、,1)，且ab，eq r(x2y2)1，xy0.解得xyeq f(r(2),2).aeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)8已知A(3,0)，B(0，eq r(3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在第二象限，且AOC30，eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，則實(shí)數(shù)的值為

6、_解析：由題意知eq o(OA,sup6()(3,0)，eq o(OB,sup6()(0，eq r(3)，則eq o(OC,sup6()(3，eq r(3)，由AOC30，知xOC150，tan 150eq f(r(3),3)，即eq f(r(3),3)eq f(r(3),3)，1.答案：19已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，eq o(CA,sup6()c，有eq o(CM,sup6()3c，eq o(CN,sup6()2b，求：(1)3ab3c；(2)滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)M，N的坐標(biāo)及向量eq o(M

7、N,sup6()的坐標(biāo)解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)，(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，eq blcrc (avs4alco1(6mn5，,3m8n5，)解得eq blcrc (avs4alco1(m1，,n1.)(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(CM,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(OC,sup6()3c，eq o(OM,sup6()3ceq o(OC,sup6()(3,24)(3，4)(0,20)，M的坐標(biāo)為(0,20)又eq o(CN,sup6()eq o(ON,

8、sup6()eq o(OC,sup6()2b，eq o(ON,sup6()2beq o(OC,sup6()(12,6)(3，4)(9,2)，N的坐標(biāo)為(9,2)故eq o(MN,sup6()(90,220)(9，18)10.(2015皖南八校模擬)如圖，AOBeq f(,3)，動(dòng)點(diǎn)A1，A2與B1，B2分別在射線OA，OB上，且線段A1A2的長為1，線段B1，B2的長為2，點(diǎn)M，N分別是線段A1B1，A2B2的中點(diǎn)(1)用向量eq o(A1A2,sup6()與eq o(B1B2,sup6()表示向量eq o(MN,sup6()；(2)求向量eq o(MN,sup6()的模解：(1)eq o(M

9、N,sup6()eq o(MA1,sup6()eq o(A1A2,sup6()eq o(A2N,sup6()，eq o(MN,sup6()eq o(MB1,sup6()eq o(B1B2,sup6()eq o(B2N,sup6()兩式相加，并注意到點(diǎn)M，N分別是線段A1B1，A2B2的中點(diǎn)，得eq o(MN,sup6()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(o(A1A2,sup6()o(B1B2,sup6().(2)由已知可得向量eq o(A1A2,sup6()與eq o(B1B2,sup6()的模分別為1與2，夾角為eq f(,3)，所以eq o(A1A2,sup6()

10、eq o(B1B2,sup6()1，由eq o(MN,sup6()eq f(1,2)(eq o(A1A2,sup6()eq o(B1B2,sup6()得|eq o(MN,sup6()| eq r(f(1,4)o(A1A2,sup6()o(B1B2,sup6()2)eq f(1,2)eq r(avs4al(o(A1A2,sup6()2o(B1B2,sup6()22o(A1A2,sup6()o(B1B2,sup6()eq f(r(7),2).B組高考題型專練1(2013高考陜西卷)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，則實(shí)數(shù)m等于()Aeq r(2) B.eq r(2)Ceq r(2)或eq

11、 r(2) D0解析：由abm212meq r(2)或meq r(2).答案：C2(2015高考四川卷)設(shè)向量a(2,4)與向量b(x,6)共線，則實(shí)數(shù)x()A2 B3C4 D6解析：由向量a(2,4)與向量b(x,6)共線，可得4x26，解得x3.答案：B3(2015高考全國卷)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq o(AC,sup6()(4，3)，則向量eq o(BC,sup6()()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)解析：設(shè)C(x，y)，A(0,1)，eq o(AC,sup6()(4，3)，eq blcrc (avs4alco1(x4，,y13，)解得eq blc

12、rc (avs4alco1(x4，,y2，)C(4，2)，又B(3,2)，eq o(BC,sup6()(7，4)，選A.答案：A4(2015高考北京卷)在ABC中，點(diǎn)M，N滿足eq o(AM,sup6()2eq o(MC,sup6()，eq o(BN,sup6()eq o(NC,sup6().若eq o(MN,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AC,sup6()，則x_；y_.解析：由題中條件得eq o(MN,sup6()eq o(MC,sup6()eq o(CN,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(CB,sup6()eq

13、f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AC,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AC,sup6()，所以xeq f(1,2)，yeq f(1,6).答案：eq f(1,2)eq f(1,6)5(2015高考湖北卷)已知向量 eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()，|eq o(OA,sup6()|3，則eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()_.解析：因?yàn)閑q o(OA,sup6()eq o(A

14、B,sup6()，|eq o(OA,sup6()|3，所以eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(OA,sup6()|2eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(OA,sup6()|2329.答案：9第三節(jié)平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義及長度、角度問題(1)理解數(shù)量積的含義及其物理意義(2)了解向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式及相關(guān)性質(zhì)，并會(huì)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判定兩向量垂直2數(shù)量積的綜合應(yīng)

15、用會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題及其他的一些實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的夾角(1)定義已知兩個(gè)非零向量a和b，作Oeq o(A,sup6()a，Oeq o(B,sup6()b，則AOB叫作向量a與b的夾角(2)范圍向量夾角的范圍是0180，a與b同向時(shí)，夾角0；a與b反向時(shí)，夾角180.(3)向量垂直如果向量a與b的夾角是90，則a與b垂直，記作ab.2平面向量數(shù)量積(1)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫作a與b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a|b|cos .規(guī)定0a0.當(dāng)ab時(shí)，90，這時(shí)ab0.(2)ab的幾何意義ab等于a的長

16、度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積易誤提醒1兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過移動(dòng)，使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角2在向量數(shù)量積的幾何意義中，投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量3在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a，bR，則|ab|a|b|，但對(duì)于向量a，b卻有|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立這是因?yàn)閨ab|a|b|cos |，而|cos |1.必記結(jié)論兩向量a與b的夾角為銳角cosa，b0且a與b不共線；兩向量a與b的夾角為鈍角cosa，b0，且x40，故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(1,4)(4，)答案：(1,4)(4，)探究三平面向量的垂直5(2015高

17、考福建卷)設(shè)a(1,2)，b(1,1)，cakb，若bc，則實(shí)數(shù)k值等于()Aeq f(3,2) Beq f(5,3)C.eq f(5,3) D.eq f(3,2)解析：因?yàn)閏(1k,2k)，bc0，所以1k2k0，解得keq f(3,2)，故選A.答案：A6(2015高考重慶卷)若非零向量a，b滿足|a|eq f(2r(2),3)|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A.eq f(,4) B.eq f(,2)C.eq f(3,4) D解析：由條件，得(ab)(3a2b)3a22b2ab0，即ab3a22b2.又|a|eq f(2r(2),3)|b|，所以ab3eq blc(rc

18、)(avs4alco1(f(2r(2),3)|b|)22b2eq f(2,3)b2，所以cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(f(2,3)b2,f(2r(2),3)b2)eq f(r(2),2)，所以a，beq f(,4)，故選A.答案：A平面向量數(shù)量積求解問題的三個(gè)策略(1)求兩向量的夾角：cos eq f(ab,|a|b|)，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：a2aa|a|2或|a|eq r(aa).|ab|eq r(ab2)eq r(a22abb2).若a(x，y)，則|

19、a|eq r(x2y2).考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用|在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(1，0)，|eq o(OC,sup6()|1，且AOCx，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若xeq f(3,4)，設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求|eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()|的最小值；(2)若xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，向量meq o(BC,sup6()，n(1cos x，sin x2cos x)，求mn的最小值及對(duì)應(yīng)的x值解(1)設(shè)D(t,0)(0t1)，由題易知Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(

20、r(2),2)，所以eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)t，f(r(2),2)，所以|eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()|2eq f(1,2)eq r(2)tt2eq f(1,2)t2eq r(2)t1eq blc(rc)(avs4alco1(tf(r(2),2)2eq f(1,2)(0t1)，所以當(dāng)teq f(r(2),2)時(shí)，|eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()|最小，為eq f(r(2),2).(2)由題意得C(cos x，sin x)，meq o(BC,sup6(

21、)(cos x1，sin x)，則mn1cos2xsin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4).因?yàn)閤eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，所以eq f(,4)2xeq f(,4)eq f(5,4)，所以當(dāng)2xeq f(,4)eq f(,2)，即xeq f(,8)時(shí)，sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)取得最大值1，所以mn的最小值為1eq r(2)，此時(shí)xeq f(,8).平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的兩個(gè)解題策略(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形

22、式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等(2015惠州二調(diào))設(shè)向量a(eq r(3)sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值解：(1)由|a|2(eq r(3)sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x

23、eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2) ，從而sin xeq f(1,2)，所以xeq f(,6).(2)f(x)abeq r(3)sin xcos xsin2xeq f(r(3),2)sin 2xeq f(1,2)cos 2xeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)eq f(1,2)，當(dāng)xeq f(,3)eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)時(shí)，sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)取最大值1.所以f(x)的最大值為eq f(3,2).8.忽視向量夾角范圍致誤【典例】設(shè)兩個(gè)向量e1，e2滿足|e1|2

24、，|e2|1，e1，e2的夾角為60，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解因?yàn)閑1e2|e1|e2|cos 6021eq f(1,2)1，所以(2te17e2)(e1te2)2teeq oal(2,1)7teeq oal(2,2)(2t27)e1e28t7t2t272t215t7.因?yàn)橄蛄?te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，所以(2te17e2)(e1te2)0，即2t215t70，解得7teq f(1,2).當(dāng)向量2te17e2與向量e1te2反向時(shí)，設(shè)2te17e2(e1te2)，0，則eq blcrc (avs4alco1(2t，,t7)2t27

25、teq f(r(14),2)或teq f(r(14),2)(舍去)因?yàn)橄蛄?te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，所以teq f(r(14),2)，故t的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(7，f(r(14),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(14),2)，f(1,2).易誤點(diǎn)評(píng)向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角可得(2te17e2)(e1te2)0且ab1，a與b夾角為鈍角ab0，即(1,2)(1，2)0.(1)2(2)0.eq f(5,3).當(dāng)a與ab共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使abma，即(1，2)m(1,2)，eq blcrc (avs4a

26、lco1(1m，,22m，)解得0.即當(dāng)0時(shí)，a與ab共線，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)，0)(0，).A組考點(diǎn)能力演練1(2015陜西模擬)設(shè)向量a，b滿足|ab|eq r(20)，ab4，則|ab|()A.eq r(2) B2eq r(3)C2 D.eq r(6)解析：|ab|eq r(20)，ab4，|ab|2|ab|24ab16，|ab|2，選C.答案：C2對(duì)于任意向量a，b，c，下列命題中正確的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)ca(bc)Daa|a|2解析：法一：因?yàn)閨ab|a|b|cosa，b|，只有當(dāng)a，b共

27、線時(shí)，才有|ab|a|b|，A不正確；因?yàn)閨ab|a|b|，所以B不正確；向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，即(ab)ca(bc)，C不正確；由數(shù)量積的定義可得aa|a|2，D正確，故選D.法二：令a(1,0)，b(0,1)，c(1,1)，易驗(yàn)證A，B，C錯(cuò)誤，故選D.答案：D3(2015湘潭調(diào)研)在三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且eq o(AE,sup6()2eq o(EB,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(FC,sup6()，若|AB|3，|AC|2，A60，則eq o(BF,sup6()eq o(EF,sup6()等于()A.eq f(9,2) B.eq

28、f(7,2)C.eq f(15,4) D.eq f(13,4)解析：因?yàn)閑q o(AE,sup6()2eq o(EB,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(FC,sup6()，所以eq o(AE,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()，eq o(AF,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()，所以eq o(BF,sup6()eq o(EF,sup6()(eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AF,sup6()eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AC,sup6()o

29、(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AC,sup6()f(2,3)o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6()2eq f(2,3)eq o(AB,sup6()2eq f(5,6)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,4)22eq f(2,3)32eq f(5,6)23eq f(1,2)eq f(9,2)，故選A.答案：A4已知O，A，B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(3,0)，B(0，3)，且P在線段AB上，eq o(AP,sup6()teq o(AB,sup6()(0t1)，則eq o(OA,

30、sup6()eq o(OP,sup6()的最大值為()A.eq r(3) B3C2eq r(2) D9解析：設(shè)P(x，y)，x0,3，則(x3，y)t(3,3)，eq blcrc (avs4alco1(x33t，,y3t，)即eq blcrc (avs4alco1(x33t，,y3t，)t0,1，所以eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()3x9(1t)0,9，即eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()的最大值為9.答案：D5已知向量a，b滿足|a|eq r(3)，|b|1，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|axb|ab|恒成立，設(shè)a，b的夾角為，則sin ()A.eq

31、 f(r(2),2) B.eq f(1,3)C.eq f(r(3),3) D.eq f(r(6),3)解析：如圖所示，當(dāng)(ab)b時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，axbeq o(OA,sup6()或axbeq o(OB,sup6()，三角形中斜邊大于直角邊恒成立，不等式恒成立，因?yàn)?ab)b，|a|eq r(3)，|b|1，所以tan eq r(2)，tan eq r(2)，sin eq f(r(6),3).答案：D6已知平面向量a，b滿足a(ab)3，且|a|2，|b|1，則向量a與b的夾角的大小為_解析：因?yàn)閍(ab)3，|a|2，|b|1，所以a(ab)|a|2ab3，得ab1.設(shè)向量a與b的夾角為

32、，0，則cos eq f(ab,|a|b|)eq f(1,2)，解得eq f(2,3).答案：eq f(2,3)7(2016石家莊質(zhì)檢)若a，b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，則向量aeq r(3)b在向量b方向上的投影為_解析：依題意得(aeq r(3)b)babeq r(3)b2eq r(3)，因此aeq r(3)b在向量b方向上的投影為eq f(ar(3)bb,|b|)eq r(3).答案：eq r(3)8.在邊長為1的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點(diǎn)，則eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()_.解析：因?yàn)閑q o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()

33、eq f(1,2)eq o(AD,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()0，所以eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,2)o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AD,sup6()f(1,2)o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()2eq f(1,2)eq o(AD,sup6()21.答案：19已知ABC的面積為2，

34、且滿足0eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()4，eq o(AB,sup6()和eq o(AC,sup6()的夾角為.(1)求的取值范圍；(2)求函數(shù)f()2sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(3)cos 2的取值范圍解：(1)設(shè)ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則由題意得eq f(1,2)bcsin 2,00，并說明理由；當(dāng)eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()取得最小值時(shí)，求cosPAB的值解：(1)原式eq o(AP1,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AP2,sup6()2eq o(AP

35、,sup6()eq oal(2,1)eq f(13,8).(2)寫0到eq f(1,2)(0可取到，eq f(1,2)取不到)之間的任何一個(gè)值均可，理由：此時(shí)向量eq o(PA,sup6()與eq o(PC,sup6()之間的夾角為銳角eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()|eq o(PC,sup6()|eq o(PA,sup6()|cosAPC.a當(dāng)P在線段BP2上時(shí)，eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()0.b當(dāng)P在線段P2C上時(shí)，eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()0，要使eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()最小

36、，則P必在線段P2C上設(shè)|eq o(PC,sup6()|x，則eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()|eq o(PC,sup6()|eq o(PA,sup6()|cosAPB|eq o(PC,sup6()|(|eq o(PP2,sup6()|)x2eq f(1,2)x，當(dāng)xeq f(1,4)，即當(dāng)P在P3時(shí)，eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()最小，此時(shí)cosPABeq f(5,26)eq r(13).B組高考題型專練1(2014高考四川卷)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m()A2 B1C1 D2解

37、析：a(1,2)，b(4,2)，則cmab(m4,2m2)，|a|eq r(5)，|b|2eq r(5)，ac5m8，bc8m20.c與a的夾角等于c與b的夾角，eq f(ca,|c|a|)eq f(cb,|c|b|)，eq f(5m8,r(5)eq f(8m20,2r(5)，解得m2.答案：D2(2014高考山東卷)已知向量a(1，eq r(3)，b(3，m)，若向量a，b的夾角為eq f(,6)，則實(shí)數(shù)m()A2eq r(3) B.eq r(3)C0 Deq r(3)解析：ab|a|b|coseq f(,6)，則3eq r(3)m2eq r(9m2)eq f(r(3),2).(eq r(3

38、)m)29m2，解得meq r(3).答案：B3(2015高考廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，eq o(AB,sup6()(1，2)，eq o(AD,sup6()(2,1)，則eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()()A5 B4C3 D2解析：由eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()(1，2)(2,1)(3，1)，得eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()(2,1)(3，1)5，故選A.答案：A4(2015高考廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量meq blc(rc)(avs

39、4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，n(sin x，cos x)，xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2).(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為eq f(,3)，求x的值解：(1)mn，mn0.故eq f(r(2),2)sin xeq f(r(2),2)cos x0，tan x1.(2)m與n的夾角為eq f(,3)，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(f(r(2),2)sin xf(r(2),2)cos x,11)eq f(1,2)，sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)eq f(1,2)，又xeq b

40、lc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，xeq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(,4)，xeq f(,4)eq f(,6)，即xeq f(5,12)，x的值為eq f(5,12).第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1復(fù)數(shù)的概念(1)理解復(fù)數(shù)的基本概念(2)理解復(fù)數(shù)相等的充要條件2復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義(2)能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解兩個(gè)具體復(fù)數(shù)相加、相減的幾何意義知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念及幾何意義1復(fù)數(shù)的概念形如abi(a，bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部若b0，則abi為實(shí)數(shù)；若b0，則abi為虛數(shù)；若a0，

41、b0，則abi為純虛數(shù)2復(fù)數(shù)相等abicdiac，bd(a，b，c，dR)3共軛復(fù)數(shù)abi與cdi共軛ac，bd0(a，b，c，dR)4復(fù)數(shù)的模向量Oeq o(Z,sup6()的長度叫作復(fù)數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi| eq r(a2b2).5幾何意義易誤提醒1判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義2利用復(fù)數(shù)相等abicdi列方程時(shí)，注意a，b，c，dR的前提條件3z20在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立，例如：當(dāng)z3i時(shí)z290.自測練習(xí)1設(shè)i是虛數(shù)單位，eq xto(z)表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)若z1i，則eq f(z,i)ieq xto(z)()A

42、2 B2iC2 D2i解析：因?yàn)閦1i，所以eq f(z,i)ieq xto(z)i1i12.答案：C2已知復(fù)數(shù)eq f(a3i,12i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a()A2 B4C6 D6解析：eq f(a3i,12i)eq f(a62a3i,5)，a6時(shí)，復(fù)數(shù)eq f(a3i,12i)為純虛數(shù)答案：D3在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(2i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：zi(2i)2ii212i，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,2)，在第一象限答案：A知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則(1)加法：z1z2(ab

43、i)(cdi)(ac)(bd)i.(2)減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(4)除法：eq f(z1,z2)eq f(abi,cdi)eq f(abicdi,cdicdi)eq f(acbdbcadi,c2d2)(cdi0)2復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)必記結(jié)論掌握復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的幾個(gè)結(jié)論：在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度(1)(1i)22i；eq f(1i,1i)i；eq f(1i,

44、1i)i.(2)baii(abi)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN.自測練習(xí)4已知i是虛數(shù)單位，則eq f(2i,3i)()A.eq f(1,2)eq f(1,2)i B.eq f(7,2)eq f(1,2)iC.eq f(1,2)eq f(1,2)i D.eq f(7,2)eq f(1,2)i解析：eq f(2i,3i)eq f(2i3i,3i3i)eq f(55i,10)eq f(1,2)eq f(1,2)i.答案：C5設(shè)復(fù)數(shù)z1i(i是虛數(shù)單位)，則eq f(2,z)z2()A1i B1iC1i D1i解析：eq f(2,z)z2

45、eq f(2,1i)(1i)2eq f(21i,1i1i)12ii21i2i1i.答案：D考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念|1若abieq f(5,12i)(i是虛數(shù)單位，a，bR)，則ab()A2 B1C1 D2解析：abieq f(5,12i)12i，所以a1，b2，ab2.答案：A2(2015高考湖北卷)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()Ai BiC1 D1解析：i607i4151i3i，又i的共軛復(fù)數(shù)為i，選A.答案：A3(2015高考天津卷)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(12i)(ai)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：由題意知，復(fù)數(shù)(12i)(ai)a2(12a)i是純虛數(shù)，則實(shí)部a20，虛部12a

46、0，解得a2.答案：2解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實(shí)部和虛部考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義|1(2015山西四校聯(lián)考)復(fù)數(shù)zeq f(i,2i2)(i為虛數(shù)單位)，z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因?yàn)閦eq f(i,2i2)eq f(i,44i1)eq f(i,34i)eq f(i34i,25)eq f(4,25)eq f(3,25)i，所以z在復(fù)

47、平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,25)，f(3,25)在第一象限，故選A.答案：A2已知復(fù)數(shù)z112i，z21i，z334i，它們在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，(，R)，則的值是_解析：由條件得eq o(OC,sup6()(3，4)，eq o(OA,sup6()(1,2)，eq o(OB,sup6()(1，1)，根據(jù)eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，eq blcrc (avs4

48、alco1(3，,24，)解得eq blcrc (avs4alco1(1，,2.)1.答案：1判斷復(fù)數(shù)在平面內(nèi)的點(diǎn)的位置的方法首先將復(fù)數(shù)化成abi(a，bR)的形式，其次根據(jù)實(shí)部a和虛部b的符號(hào)來確定點(diǎn)所在的象限 考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算|1(2015高考全國卷)已知復(fù)數(shù)z滿足(z1)i1i，則z()A2iB2iC2i D2i解析：因?yàn)?z1)i1i，所以zeq f(1i,i)12i，選C.答案：C2(2015高考湖南卷)已知eq f(1i2,z)1i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z()A1i B1iC1i D1i解析：由題意得zeq f(1i2,1i)eq f(2i,1i)i(1i)1i，故選D.答案

49、：D3設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且z132i，則z1z2()A512i B512iC1312i D1312i解析：z132i，z232i，z1z2(32i)(32i)512i，故選A.答案：A復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可(2)復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)abicdiac，bd(a，b，c，dR)15.方程思想在復(fù)數(shù)問題中的應(yīng)用【典例】已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，

50、且(xy)23xyi46i，求x，y.思路點(diǎn)撥(1)x，y為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來(2)利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題解設(shè)xabi(a，bR)，則yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得eq blcrc (avs4alco1(4a24，,3a2b26，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1.)故所求復(fù)數(shù)為eq blcrc (avs4a

51、lco1(x1i，,y1i)或eq blcrc (avs4alco1(x1i，,y1i)或eq blcrc (avs4alco1(x1i，,y1i)或eq blcrc (avs4alco1(x1i，,y1i.)方法點(diǎn)評(píng)(1)復(fù)數(shù)問題要把握一點(diǎn)，即復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法(2)本題求解的關(guān)鍵是先把x，y用復(fù)數(shù)的形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解這是常用的數(shù)學(xué)方法(3)本題易錯(cuò)原因?yàn)橄氩坏嚼么ㄏ禂?shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解跟蹤練習(xí)(2015高考福建卷)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于()A3，2 B3,2C3，3 D1

52、,4解析：因?yàn)?1i)(23i)abi，所以32iabi，所以a3，b2，故選A.答案：AA組考點(diǎn)能力演練1(2016洛陽模擬)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(2ai)i的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A1 B2C3 D4解析：因?yàn)?2ai)ia2i，又其實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，所以a20，即a2，故選B.答案：B2復(fù)數(shù)eq f(12i,i)的共軛復(fù)數(shù)是abi(a，bR)，i是虛數(shù)單位，則點(diǎn)(a，b)為()A(1,2) B(2，1)C(2,1) D(1，2)解析：eq f(12i,i)2i，其共軛復(fù)數(shù)為2i，即abi2i，所以a2，b1.故選C.答案：C3設(shè)xR，i是虛數(shù)單位，則“x3”是“復(fù)

53、數(shù)z(x22x3)(x1)i為純虛數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：復(fù)數(shù)z(x22x3)(x1)i為純虛數(shù)，則x22x30且x10，解得x3，故x3復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，選C.答案：C4在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)eq f(23i,34i)(i是虛數(shù)單位)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：eq f(23i,34i)eq f(23i34i,34i34i)eq f(18i,25)eq f(18,25)eq f(1,25)i，eq f(18,25)eq f(1,25)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(18,25)，

54、f(1,25)，在第二象限，故選B.答案：B5復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i(m，R)，并且z1z2，則的取值范圍是()A1,1 B.eq blcrc(avs4alco1(f(9,16)，1)C.eq blcrc(avs4alco1(f(9,16)，7) D.eq blcrc(avs4alco1(f(9,16)，7)解析：由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得eq blcrc (avs4alco1(m2cos ，,4m23sin ，)化簡得44cos2 3sin ，由此可得4cos23sin 44(1sin2)3sin 44sin23sin ，因?yàn)閟in 1,1，所以4sin23sin eq blcrc(avs4alco1(f(9,16)，7).答案：C6(2015高考江蘇卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z234i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為_解析：設(shè)復(fù)數(shù)zabi，a，bR，則z2a2b22abi34i，a，bR，則eq blcrc (avs4alco1(a2b23，,2ab4，)a，bR，解得eq blcrc (avs4alco1(a2,b1)或eq blcrc (av