數(shù)學(xué)建模初步55991

1、數(shù)學(xué)建模初步緒論數(shù)學(xué)模型介紹數(shù)學(xué)建模過(guò)程數(shù)學(xué)建模示例建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟模型的分類思考與練習(xí)（任選做一個(gè)）1緒論1 現(xiàn)狀： 數(shù)學(xué)建模是一門新興的學(xué)科，20世紀(jì)70年代初誕生于英、美等現(xiàn)代工業(yè)國(guó)家。在短短幾十年的歷史瞬間輻射至全球大部分國(guó)家和地區(qū)。80年代初，我國(guó)高等院校也陸續(xù)開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，隨著數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)（包括數(shù)學(xué)建模課程、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和數(shù)學(xué)（建模）試驗(yàn)課程等）的開展，這門課越來(lái)越得到重視，也深受廣大學(xué)生的喜愛(ài)。2原因：一是由于新技術(shù)特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，大量的實(shí)際問(wèn)題需要用計(jì)算機(jī)來(lái)解決，而計(jì)算機(jī)與實(shí)際問(wèn)題之間需要數(shù)學(xué)模型來(lái)溝通。二是社會(huì)對(duì)大學(xué)生的要求越來(lái)越高 ，大學(xué)生畢業(yè)

2、后要適應(yīng)社會(huì)的需求，一到工作崗位就能創(chuàng)造價(jià)值。2 課程特點(diǎn)很強(qiáng)的實(shí)用性：教材的內(nèi)容來(lái)自于實(shí)際。知識(shí)的廣泛性：依賴于各方面的基礎(chǔ)知識(shí)。內(nèi)容的趣味性：有些問(wèn)題就象是做游戲，引人入勝。教學(xué)方式的多樣性：教師講授方式，小組討論方式， 學(xué)生報(bào)告方式，課堂教學(xué)方式，課外教學(xué)方式等。33 教學(xué)目的培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力。1）“雙向翻譯”能力 2）運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行綜合分析能力3）結(jié)合其他專業(yè)特別是應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的能力4）觀察力和想象力 5）提高撰寫科研論文的能力6）團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神44 教學(xué)參考書1 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型(第三版).高等教育出版社.2 解放軍信息工程大學(xué) 韓中庚.數(shù)學(xué)建模方

3、法及其應(yīng)用.高等教育出版社.3 費(fèi)浦生,羿旭明.數(shù)學(xué)建模及其基礎(chǔ)知識(shí)詳解.武漢大學(xué)出版社.5模型：是我們對(duì)所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬，它應(yīng)當(dāng)具有事物中使我們感興趣的主要性質(zhì)，模擬不一定是對(duì)實(shí)體的一種仿造，也可以是對(duì)某些基本屬性的抽象。數(shù)學(xué)模型直觀模型： 實(shí)物模型，主要追求外觀上的逼真。物理模型：為一定目的根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型，不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以進(jìn)行模擬試驗(yàn)，間接地研究原型的某些規(guī)律。 思維模型，符號(hào)模型，數(shù)學(xué)模型。6數(shù)學(xué)模型：1）近藤次郎（日）的定義：數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象的特征或本質(zhì)給以數(shù)學(xué)表述的數(shù)學(xué)關(guān)系式。它是模型的一種。2）本德（美）的定義：數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)

4、世界和為一種特殊目的而作的一個(gè)抽象的簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。3）姜啟源（中）的定義：是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定的目的，做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用 適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。7數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：是指數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等，這些基于數(shù)學(xué)思想與方法的數(shù)學(xué)問(wèn)題。總之，數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種抽象，基于數(shù)學(xué)理論和方法，用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等來(lái)刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與其內(nèi)在聯(lián)系。古希臘時(shí)期：“數(shù)理是宇宙的基本原理”文藝復(fù)興時(shí)期：應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)闡明現(xiàn)象“進(jìn)行嘗試”微積分法的產(chǎn)生，使得數(shù)學(xué)與世界密切聯(lián)系起來(lái)，用公式、圖表、符號(hào)反映客觀世界越來(lái)越廣泛，越來(lái)越精

5、確。8費(fèi)馬（P.Fermal 1601-1665）用變分法表示“光沿著所需時(shí)間最短的路徑前進(jìn)”牛頓（Newton 1642-1727）將力學(xué)法則用單純的數(shù)學(xué)式表達(dá)，如，牛頓第二 定律：結(jié)合開普勒三定律得出萬(wàn)有引力定律9航行問(wèn)題：甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船速、水速各多少？用 分別代表船速、水速，可以列出方程解方程組，得答：船速、水速分別為20千米/小時(shí)、5千米/小時(shí)。10數(shù)學(xué)建模過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型表述（歸納）求解（演繹）解釋驗(yàn)證現(xiàn)實(shí)對(duì)象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系11 數(shù)學(xué)建模示例建模示例之一 椅子的穩(wěn)定性問(wèn)題問(wèn)

6、題：將四條腿一樣長(zhǎng)的正方形椅子放在不平的地面上，是否總能設(shè)法使它的四條腿同時(shí)著地，即放穩(wěn)。假設(shè) 1）地面為光滑曲面； 2）相對(duì)地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長(zhǎng)的； 3）只要有一點(diǎn)著地就視為已經(jīng)著地，即將與地面的接 觸視為幾何上的點(diǎn)接觸； 4）椅子的中心不動(dòng)。12xyAABBCCDDO2 建模分析表示A,C與地面距離之和表示B,D與地面距離之和則由三點(diǎn)著地，有不失一般性，設(shè)初始時(shí)：13假設(shè)： 是 的連續(xù)函數(shù)， 且 對(duì)任意 ，求證：至少存在 ，使得數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)命題：.144 模型求解證明： 將椅子轉(zhuǎn)動(dòng) ，對(duì)角線互換，由可得令由 的連續(xù)性， 根據(jù)介值定理，在 中至少存在一點(diǎn) ,使得 ,即又所以結(jié)

7、論：能放穩(wěn)。15連續(xù)函數(shù)的介值定理oxyab16思考題1：長(zhǎng)方形的椅子會(huì)有同樣的 性質(zhì)嗎？17建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟方法 機(jī)理分析法：以經(jīng)典數(shù)學(xué)為工具，分析其內(nèi)部的機(jī)理規(guī)律。統(tǒng)計(jì)分析法：以隨機(jī)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分 析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計(jì)分析。系統(tǒng)分析法：對(duì)復(fù)雜性問(wèn)題或主觀性問(wèn)題的研究方法。把 定性的思維和結(jié)論用定量的手段表示出來(lái)。如：層次分析法。18建模步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用191）模型準(zhǔn)備： 了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，掌握對(duì)象的各種信息如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際對(duì)象的特征。 有時(shí)需查資料或到有關(guān)單位了解情況等。建模步驟202

8、）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要地合理地簡(jiǎn)化。不同的假設(shè)會(huì)得到不同的模型。如果假設(shè)過(guò)于簡(jiǎn)單可能會(huì)導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補(bǔ)充假設(shè)，如“四足動(dòng)物的體重問(wèn)題”；如果假設(shè)過(guò)于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實(shí)際現(xiàn)象的各個(gè)因素都考慮進(jìn)去，可能會(huì)陷入困境，無(wú)法進(jìn)行下一步工作。分清問(wèn)題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問(wèn)題均勻化、線性化。213）模型建立： 分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具；抓住問(wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)化變量之間的關(guān)系；要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫圖形、證明定理以及邏輯運(yùn)算等。會(huì)用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，計(jì)算機(jī)

9、技 術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計(jì)算方法（泰勒級(jí)數(shù)，三角級(jí)數(shù)，二項(xiàng)式展開、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。226）模型檢驗(yàn)： 把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m應(yīng)性檢驗(yàn)結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應(yīng)用：應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，需繼續(xù)完善。5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)；最優(yōu)決策控制。23模型的分類1）按變量的性質(zhì)分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機(jī)性模型非線性模型多變量模型2）按時(shí)間變化對(duì)模型的影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)變模型243）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所

10、屬學(xué)科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型等。4）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。255）按建模目的分描述性模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分白箱模型：其內(nèi)在機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科問(wèn)題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等?；蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問(wèn)題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機(jī)理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如

11、生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等。26思考與練習(xí)1 某甲早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿；次日早8時(shí)沿同一條路徑下山，下午5時(shí)回到旅店。某乙說(shuō)，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn)。為什么？AB甲乙2737支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍?球隊(duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束。問(wèn)共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？283 某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6時(shí)抵達(dá)T市車站，它的妻子駕車準(zhǔn)時(shí)到車站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車于5時(shí)半抵達(dá)T市車站，隨即步行回家，它的妻子像往常一樣駕車前來(lái)，在半路上遇到他接回家時(shí)，發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘。問(wèn)他步行了多長(zhǎng)時(shí)間？29甲乙兩站有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站互發(fā)一趟車，但發(fā)車時(shí)間不一定相同。甲乙兩站有一中間站丙，某人每天在隨機(jī)的時(shí)刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過(guò)丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達(dá)甲站，僅約有10天到達(dá)乙站。問(wèn)開往甲乙兩站的電車經(jīng)過(guò)丙站的時(shí)刻表是如何安排的？30一男孩和一女孩分別在離家 2 km 和 1 km 且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，