閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的研究

1、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的研究1引言連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)是深入了解連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的一個重要方面，是不可忽略的基石.掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可幫助我們制作機(jī)器零件，可應(yīng)用到建筑生活中去.20世紀(jì)分析學(xué)的一個特征是多變量函數(shù)的整體性質(zhì)，但要以閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)為基礎(chǔ).閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 將隨著數(shù)學(xué)發(fā)展終將成為世人皆知的常識.19世紀(jì)柯西以及維爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家建立起嚴(yán)格極限理論后，數(shù)學(xué)家們對連續(xù)函數(shù)做出了純 數(shù)學(xué)的精確表述.連續(xù)函數(shù)在以后的數(shù)學(xué)研究中起著舉足輕重的作用.它在閉區(qū)間上的性質(zhì)可以結(jié) 合幾何用來解決介值問題、求根問題、多元函數(shù)極值問題，也可由此得知反函數(shù)、初等函數(shù)的相關(guān) 性質(zhì).然

2、而，文獻(xiàn)中多為孤立表述數(shù)學(xué)分析中閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，與其它數(shù)學(xué)知識結(jié)合較少. 本文將把數(shù)學(xué)分析與實變函數(shù)相聯(lián)系加以陳述.2整體性質(zhì)及其證明方法歸納在數(shù)學(xué)分析中，對于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個重要性質(zhì)的證明，不同的教科書上所采用的方法 大致相同.選擇證法通常是考慮這樣幾點(diǎn)：一要容易想到；二要簡單；三是著眼于推廣.本部分內(nèi) 容分別使用區(qū)間套定理，有限覆蓋定理和致密性定理來證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的四個重要性質(zhì).有界性定理定理 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上有界.證明證法一(應(yīng)用區(qū)間套定理)假設(shè)f(x)在a,b上無界.考察 a,b的兩個閉子區(qū)間a,ab和ab,b ，可以斷定 f

3、(x)至少在一個閉子區(qū)間上無界，我們記這閉子區(qū)間為 22a，h .然后以 q,b1代替a,b ,重復(fù)上面的討論，又可得到閉子區(qū)間a2,b2 ,函數(shù)f(x)在這閉子區(qū)間上無界.繼續(xù)這樣的手續(xù)，我們得到一個閉區(qū)間列an,bn滿足條件a,b a1,bl an,bn ，b a0 bn an -T ,且函數(shù)f(x)在an,bn (n 1,2,)上無界.由區(qū)間套定理，閉區(qū)間套 4,如 收縮于唯一的一點(diǎn)c lim an lim bna,b .因為函數(shù)f (x)在c點(diǎn)連續(xù)，所以存在0使得f(x)在U c, 上是有界的：f(x)| K, x U(c, ).又可取m充分大，使得am C , bm c這時就有am,

4、bmU c,因而有f (x) K, xam,bm .但這與閉子區(qū)間 am,bm的選取方式矛盾(按照我們的選取方式，函數(shù)f(x)應(yīng)在閉子區(qū)間 am,bm上無界).這一矛盾說明：所作的反證法假設(shè)不能成立.函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a,b上應(yīng)該是有界的.證法二(應(yīng)用有限覆蓋原理)由連續(xù)函數(shù)的局部有界性，對每一點(diǎn)x a,b ,都存在鄰域U (x, x)及正數(shù)M x ,使得f(x) Mx,x U(x, x)I a,b .考慮開區(qū)間集H U(x, x)|x a,b,顯然H是a,b的一個無限開覆蓋.由有限覆蓋定理，存在 H的一個有限子集H U(x, i)|x a,b ,i 1,2，k覆蓋了 a,b ,且存在正

5、數(shù) Mi , M2,，Mk,使得對一切x U(xi, i)I a,b有f(x) Mi,i 1,2,，k,令M max M i,1 i k i則對任何x a,b , x必屬于某U(x, i) I f (x) Mi M ,這就證得f (x)在a,b上有界.證法三(應(yīng)用致密性定理)倘若f(x)在a,b上無上界，則對任何正整數(shù)n,存在xn a,b,使得f(xn) n ,依次取n 1,2，則得到數(shù)列xna,b .由致密性定理，它含有收斂子列xnk ，記limxn.由a xnk b及數(shù)列極限的保不等式性，a,b .利用f(x)在點(diǎn) 連k k續(xù)，推得kim f%) f()另一方面，由Xn的選取方法又有f (

6、Xnk)a klim f(Xnk),k這與(1)式矛盾.所以f (x)在a,b上有上界.類似的可證 f (x)在a,b上有下界，從而 f(x)在 a,b上有界.最大、最小值定理定理 若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上有最大值與最小值.證明(應(yīng)用確界原理) 由于已證得f(x)在a,b上有界，故由確界原理，f(x)的值域f(a,b) 有上確界，記為 M .以下我們證明：存在 a,b ,使f( ) M .倘若不然，對一切 x a,b 都有f(x) M .令g(x)a, b1；，xM f (x)易見函數(shù)g(x)在a,b上連續(xù)，故g(x)在a,b上有上界.設(shè) G是g(x)的一個上

7、界，則0 g(x)1 一 , G, xa, b . M f (x)從而推得1.f (x) M , x a,b .Ga,b ,使 f ( ) M ,即 f(x)但這與M為f ( a,b )的上確界(最小上界)相矛盾.所以必存在在a,b上有最大值.同理可證f (x)在a,b上有最小值.介值性定理定理 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b).若 為介于f (a)與f (b)之間的任何實數(shù)(f(a) f (b)或f (a)f (b),則存在 xoa,b ,使得 f(x0)證明證法一(應(yīng)用確界原理)不妨設(shè)f(a)f(b) .令 g(x) f (x) ，則 g(x)也是a,b上的連續(xù)函數(shù)

8、，且 g(a) 0 ,g(b) 0于是定理的結(jié)論轉(zhuǎn)化為：存在x0a,b ,使得g(Xo) 0 .這個簡化的情形稱為根的存在性定理.記E x g(x) 0,x a,b .顯然E為非空有界數(shù)集(E a,b且b E),故由確界原理，E有下確界，記x0 inf E .因g(a) 0 , g(b) 0 ,由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，存在 0,使得在 a,a 內(nèi) g(x) 0,在(b ,b內(nèi) g(x) 0 ,由此易見 x0 a, x0 b ,即 x0a,b .下證g(x0) 0 .倘若g(x0) 0,不妨設(shè)g(x0) 0 ,則又由局部保號性，存在U刈，(a,b ),使在其內(nèi)g(x) 0,特別有g(shù)(x0 -)

9、0 x0 E .但這與x0 inf E 22相矛盾，故必有g(shù)(x0) 0 .證法二(應(yīng)用區(qū)間套定理)同上述證法一，我們把問題轉(zhuǎn)化為證明根的存在性定理，即若函數(shù) g(x)在 a,b 上連續(xù)，g(a) 0, g(b) 0 ,則存在 x0 (a,b)使得 g(x0) 0 .將a,b等分為兩個子區(qū)間a,c與c,b .若g(c) 0 ,則c即為所求；若 g(c) 0 ,則當(dāng)g(c) 0 時記 a1,bia,c ,當(dāng) g(c) 0 時記 a1,b1c,b .于是有 g(ai) 0 , g(bi)0,且ai,b1a,b ,6 4再從區(qū)間 &,打出發(fā)，重復(fù)上述過程，得到：或者在&,bi的中點(diǎn)ci上有g(shù)(ci)

10、 0 ,或者有閉區(qū)間 a2,b2 ,滿足 g(a2) 0,g(b2) 0,且a2,b2a1，bi ,d a2熱a)-將上述過程不斷地進(jìn)行下去，可能出現(xiàn)兩種情形:1)在某一區(qū)間的中點(diǎn) g上有g(shù)(c) 0,則c即為所求;2 )在任一區(qū)間的中點(diǎn)c上均有g(shù)(ci)閉區(qū)間列 an,bn g(an) 0, g(bn) 0,且an 1, bn 1an,bn ,bn Hna),n1,2,.由區(qū)間套定理，存在點(diǎn)x0an,bn ,n 1,2，.下證g(%)0 .倘若g(x0) 0 ,不妨設(shè)g(x0) 0,則由局部保號性，存在U %,使在其內(nèi)有g(shù)(x) 0 ,而由區(qū)間套定理的推論,當(dāng)n充分大時有 an,bnU (x

11、0,)，因而有g(shù)(an) 0 .但這與an,bn選取時應(yīng)滿足的g(an) 0相矛盾，故必有g(shù)(Xo) 0 .2 .4 一致連續(xù)性定理定理若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上一致連續(xù).證明證法一(應(yīng)用有限覆蓋定理)由f (x)在a,b上的連續(xù)性，任給x a,b ,都存在x 0,使得當(dāng)xU(x, x)時有f(x) f(x)Q)考慮開區(qū)間集合U(x，”顯然H是a,b的一個開覆蓋.由有限覆蓋定理，存在H的一個有限子集U(xi,/1,2,，k覆蓋了 a,b .記x必屬于H中某開區(qū)間，設(shè)x U(xi,)即2x xi時有xix xi故由(2)式同時有f(x)f (xi)f(x ) f

12、(xi)由此得f(x)f(x).所以f(x)在a,b上一致連續(xù).證法二(應(yīng)用致密性定理)用反證法.倘若f (x)在a,b上不一致連續(xù)，則存在某00,都存在相應(yīng)的兩點(diǎn)x ,x a,b，但有f(x)f(x)xn ,xna,b ,盡管x x,1令 一(n為正整數(shù))，與它相應(yīng)的兩點(diǎn)記為nf(4) f()當(dāng)n取遍所有正整數(shù)時，得數(shù)列xn與xna,b .由致密性定理，存在xn的收斂子列 xn設(shè)Xoa,b (k ).同時由1 TOC o 1-5 h z X%X% X%X0XX%*口卜X00(k),nk又得XnkXo(k).最后，由(3)式有 HYPERLINK l bookmark64 o Current

13、Document f(X-) f(Xnk )0,在上式中令k ,由f(X)的連續(xù)性及數(shù)列極限的保不等式性，得到0f (Xo) f (Xo) kim f (Xnk ) f (Xnk )0.這與0 0相矛盾.所以f (X)在a,b上一致連續(xù).3關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的探討此部分內(nèi)容對閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的各個性質(zhì)定理的條件加以探討，若其中部分條件更換，結(jié)論是否成立，并以具體例子將其中差別表現(xiàn)出來.1)有界性定理(i)閉區(qū)間(ii)連續(xù)1當(dāng)條件(i)改為開區(qū)間 a,b時，有界性定理的結(jié)論不一定成立.如 f (X)-,雖然f (X)在尹X區(qū)間0,1上連續(xù)，但是當(dāng)X 0時，函數(shù)值趨于.所以f(X)在0,1

14、上無界.當(dāng)條件(ii)不成立，即 f (X)在a,b上不連續(xù)時，不能保證有界性定理的結(jié)論成立.如f (x) tanX在0, 上不連續(xù)，顯然f (X)在0,上無界.2)最大、最小值定理(i)閉區(qū)間(ii)連續(xù)開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)即使有界，也不一定能取到最大(小)值.例 f (x) X在(0,1)連續(xù)而且有界，因而有 上確界和下確 界：M sup f (x)1 ,X (0,1)m inf f(x) 0 .但是，f (x)在區(qū)間(0,1)取不到M 1與m 0.X (0,1)當(dāng)條件(ii)不成立，即f (X)在a,b上不連續(xù)時，不能保證最大、最小值定理的結(jié)論成立.如f (x) tan x在0, 上不連續(xù)

15、，顯然f (x)在0, 上無最值.由此可知，兩個條件缺一不可.此定理只是一個充分條件，逆定理不成立.反例：定義在 0,1上的狄利克雷函數(shù)雖然有最大值1和最小值0,但是函數(shù)在定義域上處處不連續(xù).3)介值性定理，定理逆命題不成立.即：若f(x)在閉區(qū)間 a,b上有定義，且f(a) f (b),介于f(a)與f(b)之間的任何實數(shù)，則至少存在一點(diǎn)xoa,b ,使得f (x0).這些條件不能保證f(x)在a,b上連續(xù).x. x 0.1反例 f(x)在0,2上有定義.f(0) 0, f(2)1 .對于介于1和1之x 1,x1,2間的任意數(shù)，總存在 x 0,2 ,使得f(x0).滿足定理中條件，但 f(x

16、)在點(diǎn)x 1處不連4) 一致連續(xù)性定理(i)閉區(qū)間若f(x)在開區(qū)間a,b上每一點(diǎn)都連續(xù)，并不能得到f(x)在a,b上一致連續(xù).1 一 ,例 證明函數(shù)y 在0,1內(nèi)不一致連續(xù).證明 若證函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上不一致連續(xù)，只需0 0,0, x,x (0,1) .盡管x x ，但 f (x) f (x)0.11對于函數(shù)y ,可取0 1 .對 (3)，只需取xx x 2但所以y1一在0,1內(nèi)不一致連續(xù). x該定理為充要條件，一致連續(xù)則必定連續(xù)，逆定理成立.4特殊例子1975年,李閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一部分內(nèi)容，并且有很多應(yīng)用.天巖與James A Yorke發(fā)表在美國數(shù)學(xué)

17、月刊上的論文周期3蘊(yùn)涵混沌(Period Three ImpliesChaos),正是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的巧妙應(yīng)用.我是想通過若干例子，刻畫一下這些性質(zhì)的應(yīng)用， 進(jìn)而提高人們對這些性質(zhì)的認(rèn)識.例11(P74)設(shè)函數(shù)f(x) C(R),lim f(x) .證明f (x)在R上可取到最小值.分析 直接使用條件中的f(x) C(R),這一結(jié)論未必易證.關(guān)鍵是要將無窮區(qū)間的問題“轉(zhuǎn)移”到有限閉區(qū)間上來考慮.考慮常數(shù)f (0) .利用條件lim f (x) 可以看出必定存在a 0及b 0 ,使對xx ,a U b, 都有f (x)f(0)成立.由此不難判定f (x)在有限閉區(qū)間 a,b上的最小值即為所

18、求.例 22(P104)設(shè) f (x)在 a, (,a)上連續(xù)，且 f (x) f (a)(x),(f(x) f (a)(x),則f(x)必達(dá)到其在 a, ( ,a )上的最大、最小值，且至少有一個在內(nèi)點(diǎn)達(dá)到.證明 若f(x)在a,上恒為常數(shù)：f (x) f (a),則結(jié)論顯然.設(shè)f(x) f(a),則必存在xia, ,使得f(xi) f(a)或f(x1) f (a).現(xiàn)設(shè)前者發(fā)生，來證f (x)必在a, 的某一內(nèi)點(diǎn)達(dá)到最大值.因為f (x) f (a)(x),所以對f(xi) f(a)2a ,使得當(dāng)x A0時有f(x) f(a) 0 f2 f(xi)于是，在 a,A0上，f(x)連續(xù)，必達(dá)到

19、其最大值，但由上所證，有x1a,A0 ,使得f(a) f(x) f(A0) f(xi)所以f(x)在a,A0上的最大值不可能在端點(diǎn)達(dá)到，故存在(a,A0),使得f( ) max f (x) f(xi)x a,Ao又因為當(dāng)x A0時有f (x) f (xi),所以f ( ) max f (x)(x a, )再來證f (x)在a,上必達(dá)到其最小值.若 x a, ，有 f(a) f(x),則f (a) minf(x)(x a, )結(jié)論成立.現(xiàn)設(shè)至少存在x0 (a,),使得f(x0) f(a),因為f(x) f(a)(x),所以對i f(a) f(x0) 0,存在Bo a,使得當(dāng)x Bo時有 2f(x

20、) f(a) of(xo) ff(xo)2于是，對閉區(qū)間 a,Bo上的連續(xù)函數(shù)f(x)有f (a)f(xo), f(Bo) f(x0),故其最小值不能在端點(diǎn)a與Bo處達(dá)到，即必存在 a, Bo ,使得f( ) min f (x)f (xo)(xa, B )又因為當(dāng)x Bo時有f (x)f(xo),所以f ( ) min f (x)(x a, ).同理可證 ,a的情形.例32(Pio3)證明方程x3 px q o(p o)有且僅有一個實根.證明 設(shè)f(x) x3px q(p 。)，則f(x)在(，)上連續(xù)，且因為 p 。，所以對足夠大的A, B o ,有-2_f (A) A(A P) q o-

21、-_ _ 2一f( B)B(Bp) q o由連續(xù)函數(shù)介值定理，至少存在(B,A),使得f( ) o ,即方程f(x) o有實根(B,A)(,).為證唯一性，只要證f (x)在()上嚴(yán)格單調(diào)即可，因為 x1,x2 (,)，當(dāng)x1 x2時,f(x1) f(x2) (xi3 x23) p(x x2) o(p o)所以f(x)在(，)上嚴(yán)格單調(diào)增.f (x) 0 在 (,) 上有且僅有一個實根例 42( P111) 證明方程xaln x(a 0) 在 (0,) 內(nèi)有且僅有一根證明 設(shè) f1(x) xa(a 0) ， f2(x) ln x 因為x1,x2 (0,) ，f1(x1)f1(x2) ， f2(

22、x1)f2(x2)且f1(1) 1f1 (2), f2(1) 0 f2(2) 因為fi(x)在(0,)上嚴(yán)格單調(diào)減，f2(x)在(0,)上嚴(yán)格單調(diào)增，故若方程fi(x)f2(x)有解，必唯一；令 F(x)fi(x) f2(x),貝 UF(x)在(0,)上連續(xù)，且 F(1) 1 0, F(x) (x ).故存在 A 1 ，使 F (A) 0 ，由連續(xù)函數(shù)介值定理知，存在(1,A) ，使 F ( ) 0 ，即f1( )f2( ) 例 51(P74) 設(shè)函數(shù) f(x) 在 a,b 上定義，且f(x) 的每個值恰好取到兩次，證明 f(x) 在 a,b上必不連續(xù)分析 用反證法若f (x) C a,b ，

23、f (x) 在 a,b 上可在兩處取到最大值，兩處取到最小值因此，這四處最值點(diǎn)中至少有兩處在現(xiàn)在 a,b 內(nèi)取三點(diǎn)a, b 內(nèi)至少有三處明.例 6 設(shè)函數(shù) f且有 lim f xnnf x0f x0 x1, x2 ,x3 x1 x0 x2A maxf (x) 取值相同且都等于x C a,b ，若A,lim fnynmax f x ,a x0 x0bx a,bx3xn ,lim xn nB ，則對x0 記x1 , f x2 , f x3這與題設(shè)條件矛盾 用介值定理不難寫出完整的證ynlim nyna, b ，滿足a，介于 A, B 之間) ，證明存在zna,b ，a, b 內(nèi)，不失一般性，可記使

24、 lim zn a 且 lim f zn nnn分析 不失一般性可令A(yù)B 利用函數(shù)極限的局部保號性，可證明當(dāng)n 充分大時恒有f Xn，而 f yn.只要在閉區(qū)間 Xn ,yna,b (或yn,Xna,b )上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理，則此時總可以找到介于xn,yn之間的zn,使得f zn恒成立.例7設(shè)周期函數(shù)f x C R且以T 0為其周期，證明f x在R上一致連續(xù).證明因fC R ,故f x在 T,T T 0上一致連續(xù)，于0,0T，使得y ,yT,T y y對x ,xx的周期性必以及n Z,使得nTy ,x此時有ynTf nT y從而在R上一致連續(xù)f (x)在a, b上連續(xù),xi證明：存在x1

25、,xn ,使得f(證明令Mmax f (%)，f X),n，使得 f (x )M, f(xj)F(x)f(x)則有F(xJf(xi)F(xj)f(xj)因為f (x)在a, b上連續(xù)，故F(x)在xnf (xk)min f (x1)，f X),則必存在i, j 1,2,nf(xk),xa, bf(xk)f (xk)f (xk)f (xk)x,xjx1，xn (或 xj,xi若F (為)0或F(xj) 0中有一個等號成立，則命題得證.現(xiàn)設(shè)續(xù)函數(shù)介值定理，至少存在xi,xj&xn (或xj,xix1, xn )上連續(xù).F(K) 0且 F(xj) 0,x1 ,xn )，使得由連nf(Xk) 01f(

26、)- nf(Xk),1 1F( ) f()n k例9設(shè)f(x)在a,b上有定義，且滿足條件(i)在a,b上單調(diào)有界；(ii)函數(shù)值充滿f (a), f(b)(或f(b),f(a),證明f (x)在a,b上連續(xù).證明 不妨設(shè)f (x)在a,b上單調(diào)增.現(xiàn)假定在題設(shè)條件下，結(jié)論不成立，即至少存在X0a,b ,使f(x)在X0處間斷.由條件(i)及單調(diào)有界變量必有極限知，f(x)在X0處發(fā)生第一類間斷.1)若 x0 a ,則 f(a) f (a 0)發(fā)生.由單調(diào)增性，當(dāng) x a,b 時，f(a) f (x) f(b),故 f(a 0) lim f(x) f(a),由假設(shè)， x a等號不成立.即有 f

27、(a), f(a 0) f (a), f (b)，且 x a,b,f(x) f (a), f (a 0)，這與 條件(ii)矛盾.2)現(xiàn)假定X0a,b ,則至少有f(x0 0)f(x0)與f(x)0)f(x0)之一發(fā)生，不妨設(shè)前者發(fā)生，同1)討論，由單調(diào)增性，必有f(x0)f (x0 0)發(fā)生，且當(dāng)x a, x0時，f (x)f(x0),當(dāng) X X0,b 時，f(x)f(x), f(x0 0)f(a), f(b),即x a,b , f (x)f (X0), f (X0 0)f(a), f(b),矛盾.綜合1), 2), f(x)在a,b上任一點(diǎn)不可能發(fā)生右間斷，同理可證，f(x)在a,b上任一

28、點(diǎn)不可能發(fā)生左間斷.5與實變函數(shù)相聯(lián)系向量值函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，它在這點(diǎn)近旁所具有的局部性質(zhì)，除沒有局部保號性定理外，其他都 與實值連續(xù)函數(shù)相類似.以下是實值連續(xù)函數(shù)在有界閉域(或有界閉集)上的整體性質(zhì)在向量函數(shù)形式下的推廣.5.1有界性定理的推廣定理 設(shè)D Rn為一有界閉集.若 f:DRm為D上的連續(xù)函數(shù)，則 f(D) Rm必定也是一個有界閉集. TOC o 1-5 h z 證明 先用反證法證f(D)為有界集.倘若f(D)無界，則存在點(diǎn)列XkD,使| f(xk)| k,k 1,2,.由于D是有界閉集，因此存在xkjxk ,使jim & x0 D .又因f(D)在點(diǎn)X0連續(xù)，故|f(x)|在點(diǎn)X0

29、局部有界，這與卜(xk/ kjj, j 1,2,相矛盾.再證f(D)為閉集，即若y0為f(D)的任一聚點(diǎn)，欲證 y f(D).設(shè)yk f (xk) f (D),lim yk y0 ,由于xk D有界，因此存在收斂子列xkjxk ,lim xkxo D .又因f (D)在x0連續(xù)，從而有jjV。 jim ykjjimf(xkj) f(%) f (D).上定理指出：連續(xù)映射把有界閉集映射為有界閉集.5.2最大、最小值定理的推廣定理設(shè)D Rn為一有界閉集，若f:DRm為D上的連續(xù)函數(shù)，則f(D)的直徑是可達(dá)的，即存在x , x D ,使II f(x ) f (x )| sup | f(x,) f(x

30、2)| .為，x2 D證明 1)先證m 1,即f(D)為實值函數(shù)的情形.由上定理已知f(D)為有界數(shù)集，故存在s inf f(D),S sup f (D).可證必有一點(diǎn)x D使f(x) S (同理可證存在x D ,使1 TOC o 1-5 h z f (x ) s) .倘若不然，對任何x D ,都有S f (x) 0 ,則對于正值連續(xù)函數(shù) F (x) ,S f(x)F在D上亦有界.另一方面，因 f (D)在D上不能達(dá)到上確界 S ,所以存在收斂點(diǎn)列xkD ,使lim f(xk) S.于是有l(wèi)im F(xk),導(dǎo)致與F在D上有界的結(jié)論相矛盾.從而證得f (D)kk在D上能取得最大值 S和最小值s ；也就是說，f (D)的直徑S s是可達(dá)的.2)對于m 2, f(D)為向量值函數(shù)的情形，只需考察g(x1,x2) |f(x) f (x2)| ,它是定義2n在D D R上的一個實值函數(shù).由于D D仍為一有界閉集，因此由上面已證得的(i),g在D D上存在最大值，即有x ,x D ,使得g(x,x) | f (x ) f (x )| sup| f (Xi) f(X2)|,