11.3.舒期權(quán)定價(jià)公式

1、第十一章 布萊克-舒爾斯-莫頓期權(quán)定價(jià)模型第三節(jié) BSM期權(quán)定價(jià)公式目錄BSM 期權(quán)定價(jià)模型的基本思路股票價(jià)格的變化過程BSM 期權(quán)定價(jià)公式BSM 期權(quán)定價(jià)公式的精確度評價(jià)與拓展Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU2假設(shè)證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動，即 和 為常數(shù)允許賣空標(biāo)的證券沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都完全可分衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動也是連續(xù)的衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率 r 為常數(shù)Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong,

2、XMU3BSM 微分分程的推導(dǎo) I由于假設(shè)股票價(jià)格 S 遵循幾何布朗運(yùn)動，因此在一個(gè)小的時(shí)間間隔 t 中， S 的變化值 S 為Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU4BSM 微分分程的推導(dǎo) II設(shè) f 是依賴于 S 的衍生證券的價(jià)格，則 f 一定是 S 和t 的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：在一個(gè)小的時(shí)間間隔 t 中， f 的變化值 f 滿足：Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU5BSM 微分分程的推導(dǎo) III為了消除風(fēng)險(xiǎn)源 z ，可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券

3、多頭的組合。令 代表該投資組合的價(jià)值，則：在 t 時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化 為Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU6BSM 微分分程的推導(dǎo) IV代入 f 和 S 可得由于消除了風(fēng)險(xiǎn)，組合 必須獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，即Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU7BSM 微分分程的推導(dǎo) V因此化簡可得：這就是著名的 BSM 微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格 S 的所有衍生證券的定價(jià)。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU

4、8風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 I觀察 BSM 微分方程可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會對 f 的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個(gè)可以大大簡化我們工作的假設(shè)：在對衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU9風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 II在所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下（有時(shí)我們稱之為進(jìn)入了一個(gè)“風(fēng)險(xiǎn)中性世界”）：所有可交易資產(chǎn)的百分比預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率 r，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)

5、。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有現(xiàn)金流在求現(xiàn)值都應(yīng)該使用無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU10風(fēng)險(xiǎn)中性世界中可交易資產(chǎn)的隨機(jī)過程Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU11如果某種可交易資產(chǎn)的價(jià)格在現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)過程為：則在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中其遵循：根據(jù)伊藤引理，其遠(yuǎn)期合約的價(jià)值在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中遵循：理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) I假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為 10 元，我們知道在 3 個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是 11 元，要么是 9 元?，F(xiàn)在我

6、們要找出一份 3 個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為 10.5 元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于 3 個(gè)月后股票的市價(jià)。若 3 個(gè)月后該股票價(jià)格等于 11 元，則該期權(quán)價(jià)值為 0.5 元；若 3 個(gè)月后該股票價(jià)格等于 9 元，則該期權(quán)價(jià)值為 0 。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU12理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) II為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由 1 單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若 3 個(gè)月后股票價(jià)格等于 11 元，該組合價(jià)值等于(11 0.5) 元；若 3 個(gè)月后該股票價(jià)格等于 9 元，該組合

7、價(jià)值等于 9 元。由于11 0.5 = 9 = 0.25因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括 1 份看漲期權(quán)空頭和0.25 股標(biāo)的股票。無論 3 個(gè)月后股票價(jià)格等于 11 元還是 9 元，該組合價(jià)值都將等于 2.25 元。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU13理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) III假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為 10% ，則該組合現(xiàn)值為因此這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為 0.31 元，否則就會存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU14理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) IV可以看出，在確

8、定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格在真實(shí)世界中上漲到 11 元的概率和下降到 9 元的概率。也就是說，我們并不需要了解真實(shí)世界中股票未來價(jià)格的期望值，而期望值的確定正與投資者的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好相聯(lián)系。因此我們可以在假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性的前提下為期權(quán)定價(jià)。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU15理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) V投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度、股票的預(yù)期收益率和股票升跌概率之間的聯(lián)系：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 10% ，則股票上升的概率 P 為：如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為 15% ，則股票的上升概率為：Copyright 2015 Zhen

9、g, Zhenlong & Chen, Rong, XMU16無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 I在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時(shí)(T 時(shí)刻)的期望值為：其中， 表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值。相應(yīng)地歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 c 等于Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU17無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 II由于在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU18無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 III積分可得其中Copyright 2015 Zheng, Zhen

10、long & Chen, Rong, XMU19BSM 期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo) I由于和令Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU20BSM 期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo) II其中顯然即隨機(jī)變量 W 的密度函數(shù) h(W) 為Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU21BSM 期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo) Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU22我們可以用股票和負(fù)債復(fù)制期權(quán)可以證明， 它是構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)組合 時(shí)的 ，是復(fù)制投資組合中股票的數(shù)量， 就是股票

11、的市值而 則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值由于主要參數(shù)都是時(shí)變的，因此這種復(fù)制策略是動態(tài)復(fù)制策略，必須不斷調(diào)整相關(guān)頭寸數(shù)量無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式理解 ICopyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU23無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式理解 II從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成或有資產(chǎn)看漲期權(quán)（ Asset-or-nothing Call Option ）多頭和 X 份或有現(xiàn)金看漲期權(quán)（ Cash-or-nothing Call Option ）空頭之和。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen,

12、Rong, XMU24無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式理解 III 是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中 大于 X 的概率，即歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，因此 可以看成預(yù)期執(zhí)行期權(quán)所需支付的現(xiàn)值。而 則是在以股票作為記賬單位的風(fēng)險(xiǎn)中性世界里 大于X的概率。 可以看成期權(quán)持有者預(yù)期執(zhí)行期權(quán)所得資產(chǎn)的現(xiàn)值。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU25無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式理解 IV 是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中 大于 X 的概率，即歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，因此 可以看成預(yù)期執(zhí)行期權(quán)所需支付的現(xiàn)值。而則是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，一個(gè)如果 就等于 否則就等于 0 的一個(gè)變量

13、的期望值， 則是這個(gè)值的貼現(xiàn)值，可以看成期權(quán)持有者預(yù)期執(zhí)行期權(quán)所得收入的現(xiàn)值。因此整個(gè)看漲期權(quán)定價(jià)公式就是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里期權(quán)未來期望回報(bào)的現(xiàn)值。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU26歐式平價(jià)期權(quán)的定價(jià)公式歐式平價(jià)看漲期權(quán)Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU27平價(jià)期權(quán) c/S與波動率與期限的關(guān)系Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU28無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式根據(jù) PCP 可得對于平價(jià)期權(quán)，c=pCopyr

14、ight 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU29無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下， C = c ，因此無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式同樣是：Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU30有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式 I在收益已知的情況下，我們可以把標(biāo)的證券的價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。在期權(quán)到期之前，收益現(xiàn)值部分將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付收益而消失。因此，只要從標(biāo)的證券當(dāng)前的價(jià)格 S 中消去收益現(xiàn)值部分，將剩下有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格作為真正影響期

15、權(quán)價(jià)值的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，用 表示證券價(jià)格中風(fēng)險(xiǎn)部分的波動率，就可直接套用公式分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU31有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式 II當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為 I 時(shí)，用 (S I) 代替 S當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率 q（單位為年）時(shí)，用 代替 SCopyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU32有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式 III一般來說，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)

16、復(fù)利收益率的期權(quán)。 歐式期貨期權(quán)可以看作一個(gè)支付連續(xù)紅利率為 r 的資產(chǎn)的歐式期權(quán) 股指期權(quán)則是以市場平均股利支付率為收益率外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風(fēng)險(xiǎn)利率Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU33有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價(jià)先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理若不合理，則按歐式期權(quán)方法定價(jià)若在 提前執(zhí)行可能是合理的，則要分別計(jì)算在 T 時(shí)刻和 時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。案例 11.6Copyright 2015 Zheng, Zh

17、enlong & Chen, Rong, XMU34美式看跌期權(quán)的定價(jià)美式看跌期權(quán)無論標(biāo)的資產(chǎn)有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價(jià)關(guān)系，因此一般通過數(shù)值方法來求美式看跌期權(quán)的價(jià)值。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU35BSM 期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)估計(jì)BSM 期權(quán)定價(jià)公式中的期權(quán)價(jià)格取決于下列五個(gè)參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、到期期限、無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動率在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個(gè)都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動率則需要進(jìn)行估計(jì)。到期期限、無風(fēng)險(xiǎn)利率和波動率的時(shí)間單位必須相同（通常為年）。Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU36估計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)利率使用連續(xù)復(fù)利的即期利率美國：國債利率；中國：銀行存款利率/國債市場即期利率選擇距離期權(quán)到期日最近的利率Copyright 2015 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU37估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動率 I歷史波動率 樣本對