不定積分滴學(xué)習(xí)

1、不定積分滴學(xué)習(xí)第1頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函數(shù).定義 設(shè)f (x) 在某區(qū)間上有定義，如果對該區(qū)間的任意點(diǎn)x都有 F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx則稱F(x)為 f (x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).4.1.1 原函數(shù)的概念 例如: ， 是函數(shù) 在 上的原函數(shù). ,sin x是cos x在 上的原函數(shù).4.1 不定積分的概念與性質(zhì)第2頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日 (2)如果f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是唯一的,且

2、有無窮多個(gè)注:(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在具體理由將在下一章給出 例如而在 上 是 的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即 加任意常數(shù)都是 的原函數(shù). (3) 若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng).此結(jié)論由Lagrange定理推論可證第3頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日定義2 如果函數(shù)F(x)是f (x)在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)，那么f (x)的全體原函數(shù)F(x) C(C為任意常數(shù))稱為f (x)在區(qū)間 I 上的不定積分. 記作其中記號(hào) 稱為積分號(hào)，f (x)稱為被積函數(shù)，f (x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C

3、為積分常數(shù).即2.不定積分的概念第4頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例2 求解例1 求解第5頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例3 求解第6頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日3 不定積分與微分的關(guān)系微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算. 特別地，有第7頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日4.1.2不定積分的基本積分公式第8頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日第9頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例4 計(jì)算下列積分解第10頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期

4、日例5 計(jì)算下列積分解 (1) (2)第11頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日4.1.3 不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的前面.性質(zhì)2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即性質(zhì)2 兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和(或差)，即 第12頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例6 求解 注 逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫出一個(gè)任意常數(shù)即可 第13頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例7 求解例8 求解第14頁，共54頁，2022年，5月20日

5、，0點(diǎn)46分，星期日例9 求解例10 求解第15頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日解例11 求第16頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例12 求解 有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但經(jīng)過對被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果如例912。 第17頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日 函數(shù)f (x)的原函數(shù)圖形稱為f (x)的積分曲線,不定積分表示的不是一個(gè)原函數(shù),而是無窮多個(gè)(全部)原函數(shù),通常說成一族函數(shù),反映在幾何上則是一族曲線,這族曲線稱為f (x)的積分曲線族.4.1.4.不定積分的

6、幾何意義 在相同的橫坐標(biāo)處,所有積分曲線的斜率均為k,因此,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的切線彼此平行（如圖）.f (x)為積分曲線在(x, f (x)處的切線斜率.第18頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日 例13設(shè)曲線通過點(diǎn)(2,3),且其上任一點(diǎn)的切線斜率等于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此曲線方程.解 設(shè)所求的曲線方程為 ,依題意可知因此所求曲線的方程為第19頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日4.2.1 第一類換元法例1 原因在于被積函數(shù)cos 2x與公式 中的被積函數(shù)不一樣.如果令u=2x，則cos2x=cos u，d u=2dx，從而所以有？分

7、析4.2 換元積分法第20頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日綜合上述分析，此題的正確解法如下：第21頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日解第22頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日定理1證依題意有即有又由復(fù)合函數(shù)微分法可得第23頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日根據(jù)不定積分的定義，則有 公式(1)稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元積分法.也稱“湊微分”法 應(yīng)用定理1求不定積分的步驟為 第24頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例2 求解解例3 求

8、第25頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例4 求解例5 求類似地，有解第26頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日(1)=(2)(3)(4)(5)此外還可以得到一組積分公式： 第27頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日4.2.2 第二類換元積分法例6 求解 作變量代換,令 ,可將無理函數(shù)化為 有理函數(shù)的積分,所以有第28頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日 一般的說，若積分 不易計(jì)算可以作適當(dāng)?shù)?變量代換 ，把原積分化為 的形式而可能使其容易積分.當(dāng)然在求出原函數(shù)后， 還要將 代回.還原成x的函數(shù)，這就是第二換元積

9、分法計(jì)算不定積分的基本思想.第29頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日設(shè) 是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)， 且定理2那么應(yīng)用第二類換元法求不定積分的步驟為 第30頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例7 求解第31頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例8 求解第32頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日axt第33頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例9 求解第34頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日axt第35頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例10 求解第36頁，共

10、54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日axt第37頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日 例8例10中的解題方法稱為三角代換法或三角換元法. 一般的說，應(yīng)用三角換元法作積分時(shí)適用于如下情形：第38頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日補(bǔ)充的積分公式：第39頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日第40頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日由函數(shù)乘積的微分公式移項(xiàng)得對上式兩端同時(shí)積分，得公式(1)或公式(2)稱為分部積分公式 .或4.3 分部積分法第41頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日注意：

11、 使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇u和v.選u的法則是: 指多弦多只選多 反多對多不選多 指弦同在可任選 一旦選中要固定第42頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日即一般情況下，u與dv按以下規(guī)律選擇第43頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例1 求解第44頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例2 求解第45頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例3 求解第46頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例4 求解例5 求解第47頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例6 求解第48頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例7 求解第49頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日例8 求解 在計(jì)算積分時(shí),有時(shí)需要同時(shí)使用換元積分法與分部積分法.第50頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日 把常用的積分公式匯集成表，這種表叫做積分表.積分表是按照被積函數(shù)的類型來排列的.求積分時(shí)，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過簡單的變形后，在表內(nèi)查得所需的結(jié)果.4.4 積分表的使用第51頁，共54頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)46分，星期日現(xiàn)在a=3，b=2, 于