計算機組成原理3數(shù)字邏輯1

1、數(shù)字電路的基礎(chǔ)知識1數(shù)字量和模擬量模擬量：可以在一定范圍內(nèi)取任意實數(shù)值的物理量，如：溫度、壓力、距離和時間等。數(shù)字量：在時間上和數(shù)量上都是離散的物理量，如：自動生產(chǎn)線上的零件記錄量，臺階的階數(shù)數(shù)字信號和模擬信號模擬信號：表示模擬量的電信號，如：熱電偶的電壓信號，溫度變化時，電壓隨之改變數(shù)字信號：表示數(shù)字量的電信號 1.1 數(shù)字電路的基礎(chǔ)知識21.1.1 數(shù)字量和模擬量模擬量時間上、數(shù)量變化上都是連續(xù)的物理量；表示模擬量的信號叫做模擬信號；工作在模擬信號下的電子電路稱為模擬電路。數(shù)字量時間上、數(shù)量變化上都是離散的物理量；表示數(shù)字量的信號叫做數(shù)字信號；工作在數(shù)字信號下的電子電路稱為數(shù)字電路。 1.

2、1 數(shù)字電路的基礎(chǔ)知識31.1.2 數(shù)字信號和模擬信號電子電路中的信號模擬信號數(shù)字信號隨時間連續(xù)變化的信號時間和幅度都是離散的4模擬信號：tu正弦波信號t鋸齒波信號u5 研究模擬信號時，我們注重電路輸入、輸出信號間的大小、相位關(guān)系。相應(yīng)的電子電路就是模擬電路，包括交直流放大器、濾波器、信號發(fā)生器等。模擬電路：處理模擬信號的電路，如：運算放大器在模擬電路中，晶體管一般工作在放大狀態(tài)。6數(shù)字信號：數(shù)字信號產(chǎn)品數(shù)量的統(tǒng)計。數(shù)字表盤的讀數(shù)。數(shù)字電路信號：tu7模擬電路與數(shù)字電路的區(qū)別1. 工作任務(wù)不同： 模擬電路研究的是輸出與輸入信號之間的大小、相位、失真等方面的關(guān)系；數(shù)字電路主要研究的是輸出與輸入間

3、的邏輯關(guān)系（因果關(guān)系）。 模擬電路中的三極管工作在線性放大區(qū),是一個放大元件；數(shù)字電路中的三極管工作在飽和或截止狀態(tài),起開關(guān)作用。 因此，基本單元電路、分析方法及研究的范圍均不同。2. 三極管的工作狀態(tài)不同：83.數(shù)字電路研究的問題基本電路元件基本數(shù)字電路邏輯門電路觸發(fā)器 組合邏輯電路 時序電路（寄存器、計數(shù)器、脈沖發(fā)生器、脈沖整形電路） A/D轉(zhuǎn)換器、D/A轉(zhuǎn)換器數(shù)字電子技術(shù)是一門研究用數(shù)字電信號來實現(xiàn)運算、控制和測量的技術(shù)。94.數(shù)字電路的特點：1. 工作信號不連續(xù)變化的離散（數(shù)字）信號2. 主要研究對象電路輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系3. 主要分析工具邏輯代數(shù)4. 主要描述工具邏輯表達式、真

4、值表、卡諾圖、邏輯圖、時序波形圖、狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖等。10 1.2 邏輯代數(shù)的三種基本運算邏輯代數(shù)首先是由英國數(shù)學家喬治布爾（George Boole）18151864年奠定的，因此又稱為布爾代數(shù)；布爾代數(shù)的二值性質(zhì)應(yīng)用于兩態(tài)元件組成的數(shù)字電路(開關(guān)電路)尤為適合，自從布爾代數(shù)用于開關(guān)數(shù)字電路之后，又被稱為開關(guān)代數(shù)。所以邏輯代數(shù)、布爾代數(shù)、開關(guān)代數(shù)都是指同一概念。目前，邏輯代數(shù)已成為研究數(shù)字系統(tǒng)邏輯設(shè)計的基礎(chǔ)理論。無論何種形式的數(shù)字系統(tǒng)，都是由一些基本的邏輯電路所組成的。為了解決數(shù)字系統(tǒng)分析和設(shè)計中的各種具體問題，必須掌握邏輯代數(shù)這一重要數(shù)學工具。 11在數(shù)字電路中，我們要研究的是電路的輸入輸出之間

5、的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義，這里的0和1只表示兩個對立的邏輯狀態(tài)，如電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開關(guān)的開合等。一、 邏輯代數(shù)與基本邏輯關(guān)系12（1）“與”邏輯A、B、C條件都具備時，事件F才發(fā)生。EFABC&ABCF邏輯符號基本邏輯關(guān)系：13F=ABC邏輯式邏輯乘法邏輯與AFBC00001000010011000010101001101111真值表14（2）“或”邏輯A、B、C只有一個條件具備時，事件F就發(fā)生。1ABCF邏輯符號AEFBC15F=A+B+

6、C邏輯式邏輯加法邏輯或AFBC00001001010111010011101101111111真值表16（3）“非”邏輯A條件具備時 ，事件F不發(fā)生；A不具備時，事件F發(fā)生。邏輯符號AEFR17邏輯式邏輯非邏輯反真值表AF011018二、幾種常用的復合邏輯關(guān)系邏輯“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯關(guān)系，任何其它的邏輯關(guān)系都可以以它們?yōu)榛A(chǔ)表示。與非：條件A、B、C都具備，則F 不發(fā)生。&ABCF19或非：條件A、B、C任一具備，則F不 發(fā)生。1ABCF與或非F3=AB+CD20異或運算ABF1 01 10 10 01100邏輯表達式F=AB=AB+AB ABF=1邏輯符號ABF1 01 1

7、0 10 00011同或運算邏輯表達式F=A B= AB ABF=1邏輯符號“”異或邏輯運算符“”同或邏輯運算符21 從三種基本的邏輯關(guān)系出發(fā)，我們可以得到以下邏輯運算結(jié)果：0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=11.3 邏輯代數(shù)的運算規(guī)則和基本定律一、基本運算規(guī)則22A+0=A A+1=1 A 0 =0 A=0 A 1=A23二、基本代數(shù)規(guī)律交換律結(jié)合律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代數(shù)不適用!24三、吸收規(guī)律1.原變

8、量的吸收：A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。例如：被吸收252.反變量的吸收：證明：例如：DCBCADCBCAA+=+被吸收263.混合變量的吸收：證明：例如：1吸收吸收274. 反演規(guī)律：可以用列真值表的方法證明：28 1、代入定理 在任何一個包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。1.4 邏輯代數(shù)基本定理例如：則由此反演律能推廣到n個變量：29 2、反演定理 對于任意一個邏輯式Y(jié)，若將其中的“ ”換成“+”， “+”換成“ ”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，“1”換成“0”， “0”換成“1”，

9、則得到的結(jié)果就是例如：基本定理30基本定理注： 保持原函數(shù)的運算次序-先與后或，必要時適當?shù)丶尤肜ㄌ枴?不屬于單個變量上的非號要保留。F(A，B，C)例如：或者：31 3、對偶定理 若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。定義：對于任意一個邏輯式Y(jié)，若將其中的“ ”換成“+”， “+”換成“ ”， “1”換成“0”， “0”換成“1”，則得到的結(jié)果就是Y的對偶式Y(jié)例如：A(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)基本定理32基本定理 求對偶式時運算順序不變，且它只變換運算符和常量，其變量是不變的。注意： 函數(shù)式中有“”和“”運算符，求反函數(shù)及對偶函數(shù)時，要將運算符“”換成“”，

10、“”換成“”。 其對偶式例：33一、邏輯函數(shù)的表示方法四種表示方法Y=AB + AB邏輯代數(shù)式(邏輯表示式, 邏輯函數(shù)式)11&1ABY 邏輯電路圖:卡諾圖 將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對應(yīng)列出的表格。n個輸入變量 種組合。真值表： 1.5 邏輯函數(shù)的表示法34真值表：將輸入、輸出的所有可能 狀態(tài)一一對應(yīng)地列出。設(shè)A、B、C為輸入變量，F(xiàn)為輸出變量。35真值表邏輯函數(shù)的表示方法 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1

11、 1 10 11 0A Y一輸入變量，二種組合二輸入變量，四種組合三輸入變量，八種組合36請注意 n個變量可以有2n個組合，一般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。37二、 邏輯函數(shù)的標準形式概述1 最小項及邏輯函數(shù)的最小項之和的標準形式2 最大項及邏輯函數(shù)的最大項之積的標準形式3 將邏輯函數(shù)展開為兩種標準形式的方法38邏輯函數(shù)的標準形式對于一個任意的邏輯函數(shù)通常有“積之和”與“和之積”兩種基本表達形式，且其表達形式并不是唯一的，如 是“積之和”的形式，又稱“與或”表達式；而 則是“和之積”的形式，又稱“或與”表達式。但一個邏輯函數(shù)的標準形式卻是唯一的，邏輯函數(shù)標準形式

12、的唯一性給用圖表方法化簡函數(shù)提供了方便，并且建立了邏輯函數(shù)與真值表的對應(yīng)關(guān)系。391.最小項及邏輯函數(shù)的 最小項之和的標準形式 邏輯函數(shù)的最小項* 1） 最小項定義 在一個具有n變量的邏輯函數(shù)中，如果一個與項包含了所有n個的變量，而且每個變量都是以原變量或是反變量的形式作為一個因子僅出現(xiàn)一次，那么這樣的與項就稱為該邏輯函數(shù)的一個最小項。對于n個變量的全部最小項共有2n個。40例如，在三變量的邏輯函數(shù)F（A、B、C）中，它們組成的八個乘積項即 、 、 、 、 、 、 、 、都符合最小項的定義。因此，我們把這八個與項稱為三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的最小項。除此之外 ， 還有 、 等與項，都不滿

13、足最小項的定義，所以，都不是三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的最小項。412）最小項的性質(zhì) 表1.10列出了三變量的所有最小項的真值表。由該表可知最小項具有下列性質(zhì)： （1）對于任意一個最小項，有且僅有一組變量取值使其值為1，而其余各種變量取值均使它的值為0。 （2）不同最小項，使其值為1的變量取值也不相同。 （3）對于變量的任意一組取值，任意兩個不同最小項的乘積均為0。 （4）對于變量的任意一組取值，全體最小項的和恒為1 。423）最小項編號 為了表達方便，人們通常用mi表示最小項，其下標i為最小項的編號。編號的方法是：最小項中的原變量取1，反變量取0，則最小項取值為一組二進制數(shù)，其對應(yīng)的十進

14、制數(shù)便為該最小項的編號。如三變量最小項 對應(yīng)的變量取值為100，它對應(yīng)的十進制數(shù)為4，因此，最小項 的編號為m4。其余最小項的編號以此類推。值得注意的是，在規(guī)定n變量最小項的編號時，對變量的排列順序是重要的。例如，把 記作m4。其中隱含了A是最高位，而C是最低位這一排列順序。三變量全體最小項的編號如表1.10所列。43 表 1.10 量所有最小項真值表 ABCABC0001000000000101000000010001000000110001000000000001000101000001001100000001011100000001最小項編號m0m1m2m3m4m5m6m744 4）最小

15、項之和的標準形式 由最小項的邏輯或的形式所構(gòu)成的邏輯函數(shù)表達式稱之為邏輯函數(shù)的最小項之和的標準形式。如： =m6+m4+m3又記為：這是一個三變量邏輯函數(shù)，其變量按（A，B，C）排列，函數(shù)本身由3個最小項構(gòu)成。上述表達式即為邏輯函數(shù)的最小項之和的標準形式。452. 最大項及邏輯函數(shù)的 最大項之積的標準形式 邏輯函數(shù)的最大項 1）最大項定義在一個具有n變量的邏輯函數(shù)中，如果一個或項包含了所有n個的變量，而且每個變量都是以原變量或是反變量的形式作為一個因子僅出現(xiàn)一次，那么這樣的或項就稱為該邏輯函數(shù)的一個最大項。對于n個變量的全部最大項共有2n個。46例如，在三變量的邏輯函數(shù)F（A、B、C）中，它們

16、組成的八個和項即 都符合最大項的定義。因此，我們把這八個或項稱為三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的最大項。除此之外，還有 、最大項。 等或項，都不滿足最大項的定義，都不是三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的所以，472）最大項的性質(zhì) 邏輯函數(shù)的最大項具有下列性質(zhì)： （1）對于任意一個最大項，有且僅有一組變量取值使其值為0，而其余各種變量取值均使它的值為1。 （2）不同最大項，使其值為0的變量取值也不相同。 （3）對于變量的任意一組取值，任意兩個不同最大項的和均為1。 （4）對于變量的任意一組取值，全體最大項的積恒為0。 483）最大項編號 最大項編號用Mi表示最大項，其下標i為最大項的編號。編號的方

17、法是：最大項中的原變量取0，反變量取1，則最大項取值為一組二進制數(shù)，其對應(yīng)的十進制數(shù)便為該最大項的編號。 如 三變量最大項對應(yīng)的變量取值為011，它對應(yīng)的十進制數(shù)為3， 因此， 最大項的編號為M3。其余最大項的編號以此類推 49 4）最大項之積的標準形式 由最大項的邏輯與的形式所構(gòu)成的邏輯函數(shù)表達式稱之為邏輯函數(shù)的最大項之積的標準形式。如：=M1M3M4又記為：是一個三變量邏輯函數(shù)，其變量按（A，B，C）排列，函數(shù)本身由3個最大項構(gòu)成。上述表達式即為邏輯函數(shù)的最大項之積的標準形式。503. 將邏輯函數(shù)展開為 兩種標準形式的方法 利用公式與將函數(shù)展開為兩種標準形式我們通過求解下面的例題來學習該方

18、法的具體應(yīng)用。例 1.16 將函數(shù)展開為兩種標準形式。51解：（1）求最小項之和的標準形式 將函數(shù)式變換為一般“與或”表達式 運用公式變換為最小項之和的形式 =m1+m3+m6+m7=52（2）求最大項之積的標準形式 = 將函數(shù)式變換為 一般 “或與”表達式運用=M0M2M4M5公式 變換為最大項之積的形式分配律53 利用真值表展開為兩種標準形式同樣，我們通過例題來學習該方法的具體步驟。例 1.17 將函數(shù) 展開為兩種標準形式。解：（1）求最小項之和的標準形式作函數(shù) 的真值表，如表1.11所示。54 表 1.11 函數(shù)F的真值表A B CFA B CF0 0 011 0 010 0 101 0

19、 100 1 001 1 010 1 111 1 10=m0+m3+m4+m6由表可知：55（2）求最大項之積的標準形式因為，即：n變量的同一編號的最小項與最大項之間是互補的（讀者可自行證明）。又因為：(由真值表可得)=m1+m2+m5+m7所以=M1M2M5M7很明顯，每個最大項對應(yīng)真值表為0的某項。56結(jié)論： （1）利用真值表求最小項之和標準形式的方法：觀察真值表，找出函數(shù)F為1的各項，作函數(shù)對應(yīng)這些項的最小項，對于輸入變量為1，則取輸入變量本身，若輸入變量為0，則取其反變量，再取這些最小項之和，即為所求函數(shù)的最小項之和標準形式。 （2）利用真值表求最大項之積標準形式的方法：觀察真值表，找

20、出函數(shù)F為0的各項，作函數(shù)對應(yīng)這些項的最大項，對于輸入變量為0，則取輸入變量本身，若輸入變量為1，則取其反變量，再取這些最大項之積，即為所求函數(shù)的最大項之積標準形式。57函數(shù)的簡化依據(jù) 邏輯電路所用門的數(shù)量少 每個門的輸入端個數(shù)少 邏輯電路構(gòu)成級數(shù)少 邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性 1.6 邏輯函數(shù)的簡化58邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡就是要將從實際問題中得到的復雜邏輯函數(shù)式變換成與之等效的最簡單的邏輯式,使之更趨于合理.常用的方法有代數(shù)化簡法和卡諾圖法。59最簡式的標準 首先是式中乘積項最少 乘積項中含的變量少 與或表達式的簡化代數(shù)法化簡函數(shù)與門的輸入端個數(shù)少 實

21、現(xiàn)電路的與門少 下級或門輸入端個數(shù)少方法： 并項：利用將兩項并為一項，且消去一個變量B。 消項： 利用A + AB = A消去多余的項AB。 配項：利用和互補律、重疊律先增添項，再消去多余項BC。 消元：利用 消去多余變量A。60例：反變量吸收提出AB=1提出A61用代數(shù)的方法化簡應(yīng)使得邏輯函數(shù)式包含的項數(shù)以及變量數(shù)最少為原則；對于化簡的結(jié)果，尤其較為復雜的結(jié)果，通常難于判斷是否最簡，因此我們還常常使用卡諾圖的方法來化簡邏輯函數(shù)。621.7 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡1.7.1 卡諾圖構(gòu)建將n個輸入變量的全部最小項用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相臨的最小項放在相臨的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變

22、量的卡諾圖。 卡諾圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組合，并且把對應(yīng)的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。63最小項: 輸入變量的每一種組合。 1卡諾圖的畫法：（二輸入變量） A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB01010111輸出變量Y的值輸入變量64卡諾圖的畫法（三輸入變量）邏輯相鄰：相鄰單元輸入變量的取值只能有一位不同。0100011110 ABC00000111輸入變量輸出變量Y的值A(chǔ) B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 165只有一位不同四輸入變量卡諾圖邏輯相鄰66有時為了

23、方便，用二進制對應(yīng)的十進制表示單元格的編號。單元格的值用函數(shù)式表示。F( A , B , C )=( 1 , 2 , 4 , 7 )ABC0001111001A B C 十進制數(shù)0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 20 1 1 31 0 0 41 0 1 51 1 0 61 1 1 7ABC00011110010 1 0 1 10 1 0 67ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號 A B C D 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1

24、 0 0 0 A B C D 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)68AB0 10101112、真值表卡諾圖 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0二變量卡諾圖四種表示方式的相互轉(zhuǎn)換真值表693、真值表、卡諾圖邏輯代數(shù)式方法:將真值表或卡諾圖中為1的項相加,寫成 “與或式”。Y=AB+AB+AB 真值表 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB0 1

25、010111AB幾種表示方式的相互轉(zhuǎn)換此邏輯代數(shù)式并非是最簡單的形式，實際上此真值表是與非門的真值表，其邏輯代數(shù)式為Y=AB因此，有一個化簡問題。ABAB70ABC00011110011.7.2卡諾圖化簡函數(shù)71邏輯相鄰邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子若兩個最小項中只有一個變量以原、反狀態(tài)相區(qū)別，則稱它們?yōu)檫壿嬒噜彙?72ABC0001111001AB?73ABC0001111001ABBCF=AB+BC化簡過程：74利用卡諾圖化簡的規(guī)則：（1）相鄰單元的個數(shù)是2N個，并組成矩形時，可以合并。ABCD0001111000011110AD75ABCD0001111000011110不是矩形76

26、（2）先找面積盡量大的組合進行化簡，可以 減少更多的因子。（3）各最小項可以重復使用。（4）注意利用無所謂狀態(tài)，可以使結(jié)果大大 簡化。（5）所有的1都被圈過后，化簡結(jié)束。（6）化簡后的邏輯式是各化簡項的邏輯和。77例：化簡F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD0001111000011110A78如何最簡： 圈的數(shù)目越少越簡；圈內(nèi)的最小項越多越簡。特別注意：卡諾圖中所有的 1 都必須圈到， 不能合并的 1 必須單獨畫 圈。YABC010001111011111001 1 1 上兩式的內(nèi)容不相同，但函數(shù)值一定相同。YABC010001111011111001 1 1 Y1 =B+ABC+ACY1 =C+A+BCAB將Y1=AC+AC+BC+BC 化簡為最簡與或式。此例