線性代數(shù)線性代數(shù)

1、第三章矩陣的初等變換 本章通過引進(jìn)矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念，然后再利用矩陣的初等變換求矩陣的逆矩陣和解線性方程組.3.1 矩陣的初等變換3.2 矩陣的秩3.3 初等矩陣3.4 線性方程組的解第一節(jié)矩陣的初等 變 換矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鸬椒浅Ｖ匾淖饔?。引例：用消元法解下面的線性方程組 在上述過程中，對(duì)線性方程組的消元操作實(shí)際上就是對(duì)整個(gè)線性方程組進(jìn)行了三種操作:(1)對(duì)某一方程兩邊同時(shí)乘以不為零的常數(shù)；(2)交換方程組中兩個(gè)方程的位置；(3)給某一方程乘以常數(shù)k加到另一個(gè)方程上去。上述的三種操作又都是可逆的，因而

2、變換前的方程組與變換后的方程組是同解方程組。同時(shí)還看到，上述變換過程中實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，這就相當(dāng)于是對(duì)該方程組所對(duì)應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行了：(1)給某一行所有元素都乘以一個(gè)非零常數(shù)；(2)交換兩行元素的位置；(3)給某一行所有元素乘常數(shù) k 加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去。定義：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：1)交換兩行(記為rirj);2)以數(shù)k 0乘某一行所有元素（記作rjk）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去（記作ri+krj ）把定義中和“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用記號(hào)是把“r”換成“c”）。矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的

3、初等變換。 顯然，三種初等變換都是可逆的，且其變換是同一類型的初等變換。變換rirj的逆變換就是本身；變換 rjk 的逆變換為 rjk ；變換 ri+krj 的逆變換為ri k rj。如果 A 經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃?B，稱矩陣 A與 B是等價(jià)的，記為AB 。矩陣的等價(jià)關(guān)系有如下性質(zhì)： 反身性： A A 對(duì)稱性： AB ，則B A 傳遞性： AB， B C，則A C在數(shù)學(xué)上，我們把滿足上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱之為等價(jià)。由前面的引例可以看出，同時(shí)也不難證明對(duì)矩陣進(jìn)行行的初等變換，可以把矩陣化為行階梯矩陣，進(jìn)而可以化為行最簡(jiǎn)矩陣。對(duì)行最簡(jiǎn)矩陣再施以列的初等變換，行最簡(jiǎn)矩陣可變成一種形狀更簡(jiǎn)單的矩陣

4、，稱它為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的特點(diǎn)是：其左上角是一單位矩陣，其余元素全是零?？梢宰C明，任何一個(gè)mn階矩陣 A，都可以經(jīng)過初等 此標(biāo)準(zhǔn)形由m、n、r三個(gè)數(shù)完全確定，其中r就是行階梯矩陣中非零行的行數(shù)，所有與A等價(jià)的矩陣組成了一個(gè)集合，這個(gè)集合稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣。變化化為標(biāo)準(zhǔn)形F。第二節(jié)矩陣的秩 在mn階矩陣A中，任取k行與k列(km，k n)，位于這些行列交叉點(diǎn)處的k2個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。 mn階矩陣A中的k階子式共有 個(gè)。 設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r1階子式(如果存在的話)全

5、等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣的秩。記作R(A)。同時(shí)規(guī)定，零矩陣的秩等于0。由行列式性質(zhì)可知，在 A中當(dāng)所有r1階子式全等于零時(shí)，所有高于r1階的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高階數(shù)。由矩陣秩的定義可知，矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣的秩是相等的。定理：若AB ，則R(A)= R(B)證：先證明：若A經(jīng)過一次行的初等變換變?yōu)锽，則 R(A) R(B) 設(shè) R(A) = r，且 A的某個(gè)r 階子式 Dr 0. ，在B中總能找到與Dr相對(duì)應(yīng)的子式Br，由于Dr= Br或Dr= Br或Br= kDr，因此Br0，從而R(B)r。 以上證明了A經(jīng)過一次

6、行初等變換變?yōu)?B時(shí)，有R(A)R(B).由于B也可經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锳，那么同樣有R(A)R(B).所以有 R(A)R(B). 經(jīng)一次行初等變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次行的初等變換矩陣的秩也不變。 設(shè) A 經(jīng)過列的初等變換變這 B，那么， AT經(jīng)過行的初等變換變?yōu)?BT，由上面的討論可知， R(AT)=R(BT)又因?yàn)?，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B)所以，矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。上面的命題給出了求矩陣的秩的一種常用辦法。即就是對(duì)待求秩的矩陣進(jìn)行行的初等變換化為行階梯矩陣，那么非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。第三節(jié)矩陣的初等 變 換定義：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次

7、初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。 三種初等變換所對(duì)應(yīng)的三個(gè)初等矩陣為 設(shè)矩陣Amn，Em(i,j)，En(i,j)，Em(i(k)， En(i(k)，Em(ij(k)， En(ij(k)，則可以驗(yàn)證：定理1.設(shè) A是一個(gè) mn 階矩陣，對(duì) A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于對(duì) A 左乘以相應(yīng)的 m 階初等陣；對(duì) A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于對(duì) A右乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣。初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣?yán)贸醯茸儞Q求逆矩陣的方法，還可用于求A1B.由 A1(A|B)=(E|A1B)可知，若對(duì)矩陣(A|B)施行初等行變換，當(dāng)把A變?yōu)镋時(shí)，B就變?yōu)锳1B.第四節(jié)線性方程組 的 解在解線性方程組時(shí)，對(duì)于齊次線性方