數(shù)學(xué)分析申大維2015重積分

1、推廣到計算二重積分的一般變量替換公式y(tǒng)設(shè)在可逆變換x x(u, v)下，y y(u, v)xuv 平面上的面積元素設(shè)曲線 C 由極坐標方程 r r( )，N 給出，這里 r( )在 , A上連續(xù)，且 r( ) 0射線 ， 及曲線 C 圍成一曲邊扇形區(qū)域A( ) （扇形 OMN ），求 的面積 A M回憶一元函數(shù)定積分的結(jié)論：O面積微元 dA 1 r(; A 1 r2 2二重積分的觀點： 的面積 A dxdy ; 的極坐標表示為 : 0 r r( ) , ；故A dxdy * rdrd d r( ) rdr 1 r(0 2例把積分I D f ( x, y, z)dV 化為累次積分，其中D由錐面

2、z2 x2 y2 ( x 0, y 0, z 0) 及平面x 0 , y 0 , z 1圍成, 并計算 I y 1 z4dV .D解若將 D 向 XY 平面投影，則zI dxdy1y 1 z4dz xyx2 y2現(xiàn)將 D 向 YZ 平面投影，則yz2 y 24OI yz dydz 0y 1 z dxxz xy yz z y z y dydz 1 1 341 yz 3 0 z 1 z dzy z dzz y z y dy 1 2 2 118不好積若 在YZ 平面上的投影區(qū)域為 yz , 且 可表示為 ( x,y,z) | x1( y, z) x x2( y, z), ( y, z) yz ,平行

3、于 x 軸且穿過 的直線與 的交是一條線段或是一個點則對 上的三重可積函數(shù) f ( x, y, z)， f ( x, y, z)dxdydz dydz x2 ( y,z) f ( x, y, z)dxx ( y,z)yz1若 在 XZ 平面上的投影區(qū)域為 xz ,且 可表示為 ( x,y,z) | y1( x, z) y y2( x, z), ( x, z) xz ,平行于 y 軸且穿過 的直線與 的交是一條線段或是一個點則對 上的三重可積函數(shù) f ( x, y, z) ， f ( x, y, z)dxdydz dxdz y2 ( x,z) f ( x, y, z)dyy ( x,z)xz1若

4、積分區(qū)域 在 XY 平面上的投影區(qū)域為 xy D, 且 是 以 曲 面 1 : z z1( x, y),( x, y) D 為 下 底 ， 2 : z z2 ( x, y), ( x, y) D 為上頂，平行于 Z 軸的柱面為側(cè)面( D 為柱面的準線) 所圍成的, 即 ( x,y,z) | z1 ( x, y) z z2 ( x, y), ( x, y) D,(平行于 z 軸且穿過 的直線與 的交是一線段或一個點)則對 上的三重可積函數(shù) f ( x, y, z)，z ( x, y)z ( x, y) f ( x, y, z)dxdydz dxdy 2f ( x, y, z)dzxy1這種將三重

5、積分寫成累次積分（先一重后二重）的方法稱為投影法 f ( x, y, z)dxdydzzz z2 ( x, y) z2 ( x, y ) f ( x, y, z)dz dxdy Lxy xy z ( x, y) 1 dxdyz2 ( x, y ) f ( x, y, z)dzz z ( x, y) xyz1( x, y )o1解釋：上述累次積分相當(dāng)于把 xy y( x, y)看成是由平行于 Z 軸的線段束x組成的，Lxy ( x, y, z) | z1( x, y) z z2( x, y), ( x, y) xy在 中每一條這樣的線段 Lxy 上對 f ( x, y, z ) 關(guān)于 z 從z1

6、( x, y)到z2( x, y)積分( x, y 固定) ，得到I(x, y) z2( x, y) f (x, y, z)dz , 再對I ( x, y) 在 xyz1( x, y)上求二重積分.三重積分有著與二重積分類似的性質(zhì). 如，在 上三重可積的函數(shù)一定有界；有界閉區(qū)域 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)必定三重可積；線性性質(zhì)；估值定理；中值公式等.基本方法：化成累次積分設(shè)積分區(qū)域 在 XY 平面上的投影 zz z2 ( x, y)為平面有界閉區(qū)域 xy ，若 可表示為 z1 ( x, y) z z2 ( x, y) , ( x, y) xy則對 上的連續(xù)函數(shù) f ( x, y, z ) ，o z z1(

7、x, y)y f ( x, y, z)dxdydz xy z2( x, y) f ( x, y, z)dzdxdy x xy z1( x, y)直角坐標系中將三重積分化為累次積分三重積分的計算3 三重積分定義 設(shè) f ( x, y, z)在三維有界閉區(qū)域 內(nèi)有定義，對 做分劃 ，即將 劃分成兩兩無公共內(nèi)點、且其并為 的 n 個小區(qū)域 D1 , D2 , , Dn，其中 Dk 有體積Vk . 在每個 Dk 中任取一點 ( k , k , k )作和式nf ( k , k , k )Vk ，稱為 f ( x, y, z)關(guān)于分劃 的k 1一個 Riemann 和. 記 max Dk 的直徑，若不論

8、對 如何做分劃，也不論在每個 Dk 中的點( k , k , k )如何選取，當(dāng) 0 時，上述和式的極限都存在且相等，則稱此極限為函數(shù) f ( x, y, z ) 在區(qū)域 上的三重積分，記為 f ( x, y, z)dV 或 f ( x, y, z)dxdydz，即 f ( x, y, z)dV lim n f ( k ,k , k )Vk 0k 1三重積分其中dV dxdydz 稱為體積元素.的物理意義ctory Pro $#%&( PDF !# pdm 3 wKPCJ ( x, y, z)dxdydz Uxy CJ)noCJ= #!zB zxy , 2, y 15z 0 767AjMN=.

9、q(JUGHCJ= A;I)6 XY dB|) fSTUy: 0 z 2 2 ,x21, x. xyI dxdyx y fz)dz 1 dx 1 dy(,),d0 1x 20 xyqvO F+dB z 0 z 1 CD)#ABv! zdxdydz 1 zdz dxdy ,z10S zz 0 z 1 CDAZ8W z !o1ySz ( x, y) | x y 1 z, x 0, y 0 x 1dxdy 1 ( )ySz2S zdxdydz 11 (2 dzzx021 11(zdz 2 024m 2KPCJ zdxdydz)no UKW%&dB5dBz 1767AN=.qv8 . XY dB/A|

10、=U xy : 0 y 1 x , 0 x 1 .#|v) zdxdydz dxdy1 x y zdzz1xy0dx x 1(x2 d002o1y 1 131x 1(x ydx0 6y0 1 1(3 d 1 6 024vO ABvm 1 D#9B z2 x2 y2, 0, z 0) 5dB 0 , 0 , z 167) 1 z4 dV .Dzq CJ= D F+dB z 0 m z 1 C D)Z8EHz 0, 1)dB AD )A _U Sz , iOyI 1dz y 1 z 4 dxdy x y0Szno Sz U 1 x2 y2 z2 ,0 x4 I1 1 z 4 dz ydy y dx

11、z0001 1 z4dz z y z y dy 1 11dz 2 003 018BS f x y, )dyd z z2(x, y)xzy2 ( x) dy z2 ( x, y) f x y, z)dz11y)ySxuo 9 z 1( , y f x y, )dxdydy y2(x) b dx f x y, z)dydzoay y1 (x) xaSxxbFGq#no B) a CJ= B+d B z c m CD) , Z8EH d )dB A )AB_U Sz , i f ( x, y, )d d dz f x y z)dxdycSzAvB+|vA:8;J . XY dB/A|?CJy2 (

12、x ) dy z2 ( x, y) f x y, z)dz f x y, )dyd11 ( , y)Sxno Sx STdB x x A 7=ZAAB補充題 計算積分 I y2dxdy，其中 D 由拋物線Dy2 px , y2 qx ( 0 p q) 及雙曲線 xy a , xy b( 0 a b ) 圍成.21作業(yè)p. 39-40: 1; 2; 4; 6;p. 55: 1; 4; 5;計算三重積分的一般變量替換公式設(shè)在可逆變換 T 下，uvw 空間中一個包含點 P0 且體積為V * 的小區(qū)域 D的像區(qū)域的體積 x x(u, v, w)為V ，其中函數(shù)x , y , z 有連續(xù)偏導(dǎo) T : y y(u, v, w)數(shù)，且其 Jacobi 行列式不為 0, 則z z(u, v, w)當(dāng)D收縮為P0 時 V ( x, y, z)，*(u, v, w)V設(shè) f ( x, y, z) 在區(qū)域 上連續(xù)，則 f ( x, y, z)dxdydz * f (x (u ,v ,w ), y (u, v, w), z( u, v, w) | J | dudv dwJacobi行列式 ( x, y, z )是兩空間中體積元變積系數(shù)( u, v, w )dxdydz | J | dudvd