貴州省貴陽市花溪二中八年級數(shù)學(xué)競賽講座-第十五講-平行四邊形-人教新課標(biāo)版

1、第十五講平行四邊形平行四邊形是一類特殊的四邊形，它的特殊性表達(dá)在邊、角、對角線上，矩形、菱形是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性表達(dá)在有一個角是直角，菱形的特殊性表達(dá)在鄰邊相等，所以，它們既有平行四邊形的性質(zhì)，又有各自特殊的性質(zhì).對角線是解決四邊形問題的常用線段，對角線本身的特征又可以決定四邊形的形狀、大小，連對角線后，平行四邊形就產(chǎn)生特殊三角形，因此解平行四邊形相關(guān)問題時，既用到全等三角形法，特殊三角形性質(zhì)，又要善于在乎行四邊形的背景下探索問題，利用平行四邊形豐富的性質(zhì)為解題服務(wù).熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：例題求解【例1】如圖，在矩形ABCD中，已知AD=12,AB=5,P是AD邊上任意一點，

2、PELBD于E,PFLAC于F,那么PE+PF的值為(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)思路點撥分別求出PE、PF困難，AOD為等腰三角形，假設(shè)聯(lián)想“到等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離的和等于腰上的高”這一性質(zhì)，則問題迎刃而解.注特殊與一般是對立統(tǒng)一的，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，相對于一般而言，特殊的事物往往更簡單、更直觀、更具體因而人們常常通過特殊去認(rèn)識一般；另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更為深刻地反映著事物的本質(zhì)，所以人們也往往通過一般去了解特殊.一般與特殊，是知識之間聯(lián)系的一種重要形式，知識常常在一般到特殊或特殊到一般的變化過程中，不斬地得到延伸與拓展.【例2】已知四邊形ABCD從以下條件中：

3、(1)AB/CD(2)BC/AD(3)AB=CD;4BC=AD(5)/A=ZC;(6)/B=ZD.任取其中兩個，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有A.4種B.9種C.13種D.15種(山東省競賽題)思路點撥根據(jù)平行四邊形的判定方法及新的組合方式判定.【例3】如圖，在ADC中，/DAC=90,AD丄BC,DGAF分別是/ABG/DAC的平分線，BE和AD交于G,求證：GF/AC(湖北省荊州市中考題)思路點撥從角的角度證明困難，連結(jié)CF,在四邊形AGFE的背景下思考問題，證明四邊形AGFE為特殊平行四邊形，證題的關(guān)鍵是能分解出直角三角形中的基本圖形.【例4】如圖，設(shè)P為等腰直角

4、三角形ACB斜邊AB上任意一點，PEAC于點E,PF丄BC于點F,PGLEF于G點，延長GP并在其延長線上取一點D,使得PD-PC求證：BC丄BD且BC=BD（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）B思路點撥盡管圖形復(fù)雜，但證明目標(biāo)明確，只需證明厶CPBADPB應(yīng)從圖中別離出特殊三角形、特殊四邊形，充分運用它們的性質(zhì)為證題服務(wù).【例5】如圖，在等腰三角形ABC中,延長邊AB到點D,延長邊CA到點E,連結(jié)DE,恰有AD=BC=CE=DE求/BAC的度數(shù).（北京市競賽題）思路點撥題設(shè)條件給出的是線段的等量關(guān)系，要求的卻是角的度數(shù)，相等的線段可得到全等三角形、特殊三角形，為此需通過構(gòu)造平行四邊形改變它們的位置.注課

5、本中平行四邊形的判定定理是從邊、角、對角線三個方面探討的，一般情況是，從四邊形邊、角、對角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產(chǎn)生許多判定平行四邊形的命題.其中有真命題與假命題，對于假命題，要善于并熟悉構(gòu)造反例.構(gòu)造反例是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要技能，可以幫助我們理解概念.培養(yǎng)推理能力，數(shù)學(xué)史上就曾有許多著名的論斷被一個巧妙的反例推翻的實例.假設(shè)題設(shè)條件中有彼此平行的線段或造成平行的因素，則通過作平行線，構(gòu)造平行四邊形，這是解四邊形問題的常用技巧，這是由于平行四邊形能使角的位置更理想，送線段到恰當(dāng)?shù)牡胤?，使線段比良性傳遞.學(xué)力訓(xùn)練1如圖，BD是平行四邊形ABCD勺對角線，點E、F在BD上，要使四邊形A

6、ECF是平行四邊形，還需要增加的一個條件是（填上你認(rèn)為正確的一個即可，不必考慮所有可能情形）（寧波市中考題）（1）如圖，已知矩形ABCD中，對角線ACBD相交于O,AE丄BD于E，假設(shè)/DAE/BAE=3:1，則/CAC=;（河南省中考題）（2）矩形的一個角的平分線分矩形一邊為lcm和3cm兩部分，則這個矩形的面積為cm2.（武漢市中考題）E如圖，以ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個等邊三角形，即ABDBCEACF（1）四邊形ADEF是；當(dāng)厶ABC滿足條件時，四邊形ADEF為矩形；當(dāng)厶ABC滿足條件時，四邊形ADEF不存在.（2000年貴州省中考題）已知一個三角形的一邊長為2，這邊上的中

7、線為1，另兩邊之和為1+3，則這兩邊之積為5.四邊形的四條邊長分別是則這個四邊形一定是（）A.平行四邊形BC.對角線互相垂直的四邊形6如圖，周長為68的矩形（2001年天津市選拔賽試題）a、b、c、d,其中a、c為對邊，且滿足a2b2c2d22ab2cd,兩組對角分別相等的四邊形D.對角線相等的四邊形ABCD被分成7個全等的矩形，則矩形ABCD勺面積為（）A.98B.196C.280D.284（湖北省荊州市中考題）如圖，菱形花壇ABCD勺邊長為6m/B=60,其中由兩個正六邊形組成的圖形部分種花，則種花部分的圖形的周長（粗線部分）為（）A.123mB.20mC.22mD.24m（吉林省中考題）

8、在凸四邊形ABCD中,AB/CD且AB+BC=CD+DA則（）A.ADBCB.AD”“=”或“ACAB按短文中的要求把它補成矩形，則符合要求的矩形可以畫出個，利用圖4把它畫出來；在(3)中所畫出的矩形中，哪一個的周長最小？為什么？(陜西省中考題)如圖，在ABC中，/C=90,點M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MCAM與BN相交于P,求證：/BPM=45.(杭州市“求是杯”競賽題)如圖，在銳角厶ABC中，ADCZ分別是BCAB邊上的高，ADCE相交于F,BF的中點為P,AC的中點為Q連結(jié)PQDE.求證；直線PQ是線段DE的垂直平分線；如果ABC是鈍角三角形，/BAC90，那么上述結(jié)

9、論是否成立？請按鈍角三角形改寫原題，畫出相應(yīng)的圖形，并給予必要的說明.(“希望杯”邀請賽試題)【例&求解】I曙過A作M丄BD于GUIPE+PF-AGe由AGBD-ABADWft2迄B紐對邊相尊組對角邊形不一定是平行四血形O屋結(jié)EF.SJZAGE-ZAEG.WAG-E.XAF平分ZDAC.JHAO1E.CZEO.AXBOFBO.WAOFO.ttB邊用AGFE為罕什囚邊形序以GFAC.PCMF=PDZUB=x45+ZHPFJ454ZPFHN4y+/PG-WGPAZBFD可證明ACPBfc2/DPB*tBC1DD.BC-BDMS厶ADE中*0-肌)11暑角/EAD必為他角ZU?九忸角必為DI從ftA

10、B-AC.itCADdi平”找號邊D作AC的平打枚介hdF連塔EF則BCFD為平懺四邊形得DQCF.BCDFZEADmZECF.又AD=CEADB-CFZEAD-/X.F，MADE0ACEF.WED-EF-DF.ADEF為等邊二角枚ttZBACe.JMZADF-ZABC-ZffZDAW-tf,ZjWt：-lg0-2/：/DAE.lr2(180一G-2o-】8(rAZADF+ZADE-/EDF-60得+lfr4aukxrRYBAC100【學(xué)力miI.e2.(D45-|(2)4123.早斤刃邊形.ZMCFSO.ZBAC602比三角形兀育劃三角賂S.CC設(shè)每個小誓老的較毎邊為f絞粧邊力“劇AR=C3

11、H+BC=2yAD5,得J仃68解得；T-4故ly=10BC-14X20-2807.B8.C.(1i(2)D為BC中點時H足AMEF為等HU*三角形連AM可旺舅AMEPABMF.MEMF,ME丄MF.I-(1)EOOCFC(2)ZFCF=90當(dāng)OA=OC(BJO為AC：中點)時乂O=FOZECFg.JH四邊形AECF為矩形.3)當(dāng)ZCB=90*時.:.X.OAEPGCJPHCF.13.2療14.75*ABBOBE.f設(shè)AF-CF-x.MFM+CBGFO.Bie門+40戸解得才5故Sg=S3一Sa“=106BDE中點G連AG則DE-2AG=2AB.WAGAB17.CA無tePttiE方形ABCD

12、外祇內(nèi).iPolUiflWP+Pe-PBPfX:DBC中點G逹整FG交EC于K則四邊形FGCD為菱形ZGFC厶祝丄KC:ZEFK=ZKFC.Ul2ZAEFZB72：RiABCMRtFDCeADEF為-邊三角JBDFDEAB=2點：!.敗朋中點G.HOG.PU邊晨GCDE為乎行四邊恥遷廚GCEF即J.(1)=:(2)1；(3)3)以AB為邊的長小如圖設(shè)VJUBCED.ACHQ.ABGF的周長#WGJ,.BC-aAC=6A/li易知這三個矩癢的囪枳相爭令其th積為SMW右互+九山=+動仏ab空+2Vli20.W/t同理/.以AB為邊的距形周長最小.汰iiMfrMEJLz蒞NEE,則囚邊於AMEN為平行四邊老得NEAM.ME丄BCMECMZEMBZMCAv9H.bM=AC得B