高中數(shù)學(xué)必修二 8.3.2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積 教學(xué)設(shè)計(jì)新

1、【新教材】8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積 教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版） 本節(jié)是在學(xué)生已從圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征和直觀圖兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)了旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從度量的角度認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球，主要包括表面積和體積.課程目標(biāo)1通過(guò)對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的研究，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積計(jì)算公式2能運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積公式；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求旋轉(zhuǎn)體及組合體的表面積或體積；3.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.重點(diǎn)

2、：掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積計(jì)算公式和應(yīng)用；難點(diǎn)：圓臺(tái)的體積公式的理解.教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三種多面體的表面積與體積公式，那么如何求圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積公式？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本116-119頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1圓柱、圓錐、圓臺(tái)、的側(cè)面積、底面積、表面積公式各是什么？2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式各是什么？3球的表面積與體積公式各式什么？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三

3、、新知探究（一） 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱(底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l)圓錐(底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l)圓臺(tái)(上、下底面半徑分別為r，r，母線長(zhǎng)為l)側(cè)面展開圖底面積S底2r2S底r2S底(r2r2)側(cè)面積S側(cè)2rlS側(cè)rl S側(cè)(rr)l表面積S表2r(r+l) S表r(r+l) S表(r2r2)+ (rr)l （二）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積1棱柱：柱體的底面面積為S，高為h，則VSh.2棱錐：錐體的底面面積為S，高為h，則Veq f(1,3)Sh.3棱臺(tái)：臺(tái)體的上、下底面面積分別為S、S，高為h，則Veq f(1,3)(Seq r(SS)S)h.(三) 球的體積公式與表面積公式1球的體積

4、公式V43R3 (其中R為球的半徑)2球的表面積公式S4R2.四、典例分析、舉一反三題型一 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積例1若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4 cm的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_cm2，表面積為_cm2.【答案】812.【解析】如圖所示，軸截面是邊長(zhǎng)為4 cm的等邊三角形，OB2 cm，PB4 cm，圓錐的側(cè)面積S側(cè)248 (cm2)，表面積S表82212 (cm2)解題技巧（求旋轉(zhuǎn)體表面積注意事項(xiàng)） 旋轉(zhuǎn)體中，求面積應(yīng)注意側(cè)面展開圖，上下面圓的周長(zhǎng)是展開圖的弧長(zhǎng)圓臺(tái)通常還要還原為圓錐跟蹤訓(xùn)練一1圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為144，若母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的表面積為()A81 B1

5、00C168 D169【答案】C【解析】選C先畫軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長(zhǎng)為l5r10，所以r2，R8.故S側(cè)(Rr)l(82)10100，S表S側(cè)r2R2100464168. 題型二 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積例2 如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）【答案】423.9kg【解析】一個(gè)浮標(biāo)的表面積是，所以給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料.解題技巧(求

6、幾何體積的常用方法)(1)公式法：直接代入公式求解(2)等積法：例如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的幾何體即可(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐等(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積跟蹤訓(xùn)練二1.如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為2和3，求該幾何體的體積【答案】10.【解析】用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖，則圓柱的體積為22520，故所求幾何體的體積為10.2.梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)

7、C作lBC，以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積【答案】見(jiàn)解析【解析】由題意知以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個(gè)倒置的且與圓柱等高的圓錐，如圖所示在梯形ABCD中，ABC90，ADBC，ADa，BC2a，DCB60，CDeq f(BCAD,cos60)2a，ABCDsin60eq r(3)a，DDAA2AD2BC2AD2a，DOeq f(1,2)DDa. 由上述計(jì)算知，圓柱的母線長(zhǎng)為eq r(3)a，底面半徑為2a；圓錐的母線長(zhǎng)為2a，底面半徑為a.圓柱的側(cè)面積S122aeq r(3)a4eq r(3)a2，圓錐的側(cè)面積S2a2a2a2，圓柱的底面積

8、S3(2a)24a2，圓錐的底面積S4a2，組合體上底面面積S5S3S43a2，旋轉(zhuǎn)體的表面積SS1S2S3S5(4eq r(3)9)a2.又由題意知形成的幾何體的體積為圓柱的體積減去圓錐的體積，且V柱(2a)2eq r(3)a4eq r(3)a3，V錐eq f(1,3)a2eq r(3)aeq f(r(3),3)a3.旋轉(zhuǎn)體的體積VV柱V錐4eq r(3)a3eq f(r(3),3)a3eq f(11r(3),3)a3.題型三 球的表面積與體積例3 如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.【答案】【解析】 設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.球的體積，圓柱的

9、體積，.例4平面截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面的距離為eq r(2)，則此球的體積為()A.eq r(6) B4eq r(3)C4eq r(6) D6eq r(3)【答案】B【解析】如圖，設(shè)截面圓的圓心為O，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OOeq r(2)，OM1.OMeq r(r(2)21)eq r(3).即球的半徑為eq r(3).Veq f(4,3)(eq r(3)34eq r(3).解題技巧（與球有關(guān)問(wèn)題的注意事項(xiàng)） 1正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1a2，過(guò)在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面如圖(1)2球與正方體的各條棱相切球與正方體的各

10、條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面有r22a2，如圖(2)3長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑，若長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a，b，c，則過(guò)球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面有球的半徑為r3 a2+b2+c22 ，如圖(3) 4正方體的外接球正方體棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2Req r(3)a.5正四面體的外接球正四面體的棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為：2Req f(r(6),2)a.6、有關(guān)球的截面問(wèn)題常畫出過(guò)球心的截面圓，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問(wèn)題解決.跟蹤訓(xùn)練三1、將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該

11、球的體積為()A.eq f(4,3) B.eq f(r(2),3)C.eq f(r(3),2) D.eq f(,6)【答案】A.【解析】由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是V球eq f(4,3)13eq f(4,3).2設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()Aa2 B.eq f(7,3)a2C.eq f(11,3)a2 D5a2【答案】B.【解析】選B由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知APeq f(2,3)eq f(r(3),2)aeq f(r(3),3)a，OPeq f(1,2)a，所以球的半徑ROA滿足R2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)a)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a)2eq f(7,12)a2，故S球4R2eq f(7,3)a2.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積1、圓柱、圓錐、圓臺(tái)表面積公式 例1 例2 2、圓柱、圓錐、