建模論文-居民用水問題的數(shù)學(xué)模型

1、蘭州工業(yè)學(xué)院第二屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽基本信息專用頁承 諾 書我們仔細閱讀了大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。 參賽學(xué)生基本信息題目號A評閱編號（由組委會 統(tǒng)一填寫）姓名班級電話本人簽名趙瑞軍

2、造價11-3日期 2013 年 6 月 25 日居民用水問題的數(shù)學(xué)模型摘要本文主要針對提出的居民用水問題。根據(jù)水塔在不同時刻的水位測量記錄以及水泵的供水限制條件，對任何時刻的水流量以及一天的總用水量做出初步的估計，并根據(jù)得出的水位時間函數(shù)，在保證居民正常用水以及減少水塔磨損的條件下提出了應(yīng)當(dāng)采取的措施，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及限制條件，具體得到了一下基本結(jié)果：第一時段（09.00）擬合得到的時刻水位函數(shù)為：Y1 = -0.489x3 + 5.846x2 - 33.70 x + 969.7 第二時段（11.9521.45）擬合得到的時刻水位函數(shù)為：Y2 = -0.557x3 +

3、27.83x2 - 483.7x + 3830第三時段（23.08以后）擬合得到的時刻水位函數(shù)為：Y3 = 14.14x2 - 738.1x + 10647 由于，根據(jù)時刻水位擬合曲線可以得到時刻水量曲線即擬合曲線，擬合得到時刻水量函數(shù)（y），對其求導(dǎo)從而得到時刻水流 （y）函數(shù)，結(jié)果如下：第一時段（09.00）擬合的時刻水量函數(shù)為：Y4 = -1.203x3 + 14.36x2 - 82.83x + 2383Y4=-3.609x2 +28.72-82.83第二時段（11.9521.45）擬合的時刻水函數(shù)位為：Y5 = -1.369x3 + 68.40 x2 - 1189x + 9414Y5=

4、-4.188x2+136.8-1189第三時段（23.08以后）擬合的時刻水量函數(shù)為：Y6 = 34.76x2 - 1814.x + 26167 Y6=69.52x-1814關(guān)鍵詞：時刻 水位 流量 函數(shù) 擬合 EXCEL軟件一、問題重述某居民區(qū)有一供居民用水的圓柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估算水的流量，但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的供水量，通常水本每天供水一兩次，每次約兩小時。水塔是一個高15米，直徑18.4米的正圓柱。按照設(shè)計，水塔水位降至7.6米時。水泵自動啟動，水位升至約11

5、米時水泵停止工作。表1 水位測量記錄（符號/表示水泵啟動）時刻(h)水位(cm)0 0.68 1.84 2.67 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.00968 948 931 913 898 881 869 852 839 801 760 時刻(h)水位(cm)9.98 10.92 11.95 12.03 12.95 13.37 14.98 15.90 16.83 17.93/ / 1098 1050 1021 994 965 941 918 892時刻(h)水位(cm)19.34 20.84 21.45 22.01 23.08 23.88 24.99 25.99

6、 866 843 801 760 / / 1087 1035 1018 問題一：估計任何時刻（包括水泵正常供水時）從水塔流出的水流量.問題二：估計一天的總用水量.問題三：如果既要保證機敏的正常用水，又要減少對水塔的磨損，你認為可以采取什么措施輕給出你的理由.二、模型假設(shè)和符號說明1.模型假設(shè)（1）.流量只取決于水位差，與水位本身無關(guān)，由題目給出的水塔的最低和最高水位分別為7.6m和11m（設(shè)出口的水位為0），所以可以忽略水位對流速的影響。（2）.由于最低水位和最高水位分別為7.6米和11米，根據(jù)表一提供的數(shù)據(jù)可以得出水泵第一次供水時段為t=9.00到t=11.95（h），第二次供水時段為t=2

7、1.45到t=23.88（h）.（3）.假設(shè)水泵工作時單位時間的供水量是常數(shù)，此常數(shù)大于單位時間的平均流量.（4）.假設(shè)所有時刻的流量是時間的連續(xù)函數(shù)。（5）.假設(shè)流量與水泵是否工作無關(guān)。（6）.水塔截面積是S=r2 =18.42蟺/ 4=265.77(m2)，計算中將流量定義為單位時間流出的水的高度，即水位對時間變化率的絕對值，將最后的乘以S即可。2.符號說明：測量時刻：水塔截面積：水位測量高度：第1時段的用水量：第2時段的用水量：第3時段的用水量y1：第1不供水時段水位y2：第2不供水時段水位y3：第3不供水時段水位y4：第1不供水時段水量y5：第2不供水時段水量y6：第3不供水時段水量y

8、4：第1不供水時段水流量y5：第2不供水時段水流量y6：第3不供水時段水流量三、建立模型居民用水水位測量問題是指在不同的時刻通過表一所提供的測量水位數(shù)據(jù)，估計在不供水時段的水位高度，從而估算居民一天的用水量，以及針對居民用水問題提出應(yīng)當(dāng)采取的措施。根據(jù)所給的測量數(shù)據(jù)，我們可以假設(shè)在任何時刻水位函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，從測量數(shù)據(jù)以及水泵啟動條件，我們可以把測量數(shù)據(jù)分為兩個供水時段（第一供水時段t=9.00到t=11.95（h）和第二供水時段t=21.45到t=23.88（h）和三個不供水時段（第一時段t=0到t=9.00（h），第二時段t=11.95到t=21.45（h）以及第三時段（23.08 h以后

9、）.我們假設(shè)時刻水位函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，由此基本的假設(shè)條件，我們可以利用EXCEL對測量數(shù)據(jù)進行曲線的擬合，得到以下擬合結(jié)果：第一時段（09.00）擬合的時刻水位曲線第二時段（11.9521.45）擬合的時刻水位曲線第三時段（23.08以后）擬合的時刻水位曲線居民一天用水總時段擬合時刻水位曲線四、模型求解由于，根據(jù)時刻水位擬合曲線可以得到時刻水量曲線即擬合曲線，擬合結(jié)果如下：第一時段（09.00）擬合的時刻水量曲線通過對y4（水量）求導(dǎo)可以得到時刻水流量函數(shù)，即y4=-3.609x2 +28.72-82.83 第二時段（11.9521.45）擬合的時刻水量曲線通過對y5（水量）求導(dǎo)可以得到時刻水流

10、量函數(shù)，即y5=-4.188x2+136.8-1189 第三時段（23.08以后）擬合的時刻水量曲線通過對y6（水量）求導(dǎo)可以得到時刻水流量函數(shù)，即y6=69.52x-1814 居民一天用水總時段擬合時刻水量曲線問題一：根據(jù)上述得到的時刻水流量函數(shù)，即第一時段y4=-3.609x2 +28.72-82.83 第二時段y5=-4.188x2+136.8-1189 第三時段y6=69.52x-1814，我們可以求得在任何時刻從水塔流出的水流量如下表：問題二：由第一時段（09.00）擬合得到的時刻水位函數(shù)Y1 = -0.489x3 + 5.846x2 - 33.70 x + 969.7 ， 第二時段

11、（11.9521.45）擬合得到的時刻水位函數(shù)Y2 = -0.557x3 + 27.83x2 - 483.7x + 3830 ，第三時段（23.08以后）擬合得到的時刻水位函數(shù)Y3 = 14.14x2 - 738.1x + 10647 得知在不考慮水泵供水量時，當(dāng)x=9.98、10.92、22.01以及23.08時所對應(yīng)的水位分別為729.57、662.05、726.7以及642.88，通過各個時刻的水位變化，求得居民一天的總用水量，即 =（968-662.05）100265.77=813.123 m3 =(1098-642.88)100265.77=1209.572 m3 =(1087-10

12、18)100265.77=183.381 m3 則居民一天的用水量=813.123+1209.572+183.381=2206.076 m3在不考慮水泵供水量條件下的水位表如下:時刻(h)水位(cm)0 0.68 1.84 2.67 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.00968 948 931 913 898 881 869 852 839 801 760 時刻(h)水位(cm)9.98 10.92 11.95 12.03 12.95 13.37 14.98 15.90 16.83 17.93729.57 662.05 1098 1050 1021 994 965

13、 941 918 892時刻(h)水位(cm)19.34 20.84 21.45 22.01 23.08 23.88 24.99 25.99 866 843 801 760 726.7 642.88 1087 1035 1018 問題三：上述計算結(jié)果表明，如果既要保證居民的正常用水，又要減少對水塔的磨損，我們可以采取以下措施：（1）適當(dāng)提高供水系統(tǒng)的水壓力.（2）將水泵供水時段設(shè)在用水高峰時段.（3）減少每天水泵的工作次數(shù).（4）增加水泵每次供水的時間.（5）養(yǎng)成節(jié)約用水的良好習(xí)慣五、模型分析及推廣對于居民用水量以及不同時刻水位估計的研究，使得在任何時刻的水位都能通過時刻水位函數(shù)得以估算，并且通過估算所得結(jié)果可以得知居民一天的總用水量，在此基礎(chǔ)上提出對居民用水以及水塔磨損的有效控制。本文針對居民用水量問題采用了常用軟件EXCEL擬合曲線的方法，優(yōu)點：（1）實現(xiàn)了對供水時段的水位估算，對居民一天用水量的計算，并提出了采取措施.（2）通過軟件擬合出了不同時刻的水位變化曲線，圖形直觀明了，計算容易實現(xiàn)。缺點：整個過程對于方法的研究所用時間太長。此模