等差數(shù)列教學(xué)案例設(shè)計

1、等差數(shù)列教學(xué)案例設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)5（人教版）第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面，學(xué)習(xí)數(shù)列也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我所教學(xué)的學(xué)生是我校高二（2）班的學(xué)生，經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們

2、的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進步發(fā)展。三、設(shè)計思想1教法誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對知識進行主動建構(gòu)；有利于突出重點，突破難點；有利于調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。分組討論法：有利于學(xué)生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學(xué)生的積極性。講練結(jié)合法：可以及時鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點，突破難點。2.學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生首先從四個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎項設(shè)置問題、水庫水位問題、儲

3、蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能力的同學(xué)引導(dǎo)認識多元的推導(dǎo)思維方法。用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導(dǎo)。在引導(dǎo)分析時，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。四、教學(xué)目標通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及思想，會求等差數(shù)列的公差及通項公式，能在解題中靈活應(yīng)用，初步引入“數(shù)學(xué)建模”的思想方法并能運用；并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)會函

4、數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；使學(xué)生認識事物的變化形態(tài)，養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。并通過一定的實例激發(fā)同學(xué)們的民族自豪感和愛國熱情。五、教學(xué)重點與難點重點：等差數(shù)列的概念。教學(xué)環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)情景等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。難點：理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義。理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵：等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。六、教學(xué)過程情境設(shè)計和學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)生活動上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日

5、傾聽常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識來解決。今天我們就先學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列。設(shè)計意圖課堂引入探索由學(xué)生觀察分析并得出答案：觀察分析，發(fā)表各自的意引向課題研究在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常見研究在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常見這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0,5,2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設(shè)置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位:kg）:48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為1

6、8cm自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）:18,15.5,13,10.5,8,5.5我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和二本金x（1+利率x寸期）.例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：時間年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360各年末的本利和（單位

7、：元）組成了數(shù)列：10072,10144,10216,10288,10360。思考：同學(xué)們觀察一下上面的這四個數(shù)列：觀察分析并得出答案:引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰?fù)ㄟ^分析，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)0,5,10,15,20,兩項間的關(guān)系，得到：學(xué)習(xí)的探規(guī)律48,53,58,63對于數(shù)列，從第2究知識的18,15.5,13,10.5,8,5.5項起，每一項與前一項的興趣，引導(dǎo)差都等于5;揭示數(shù)列10072,10144,10216,10對于數(shù)列，從第2的共性特288,10360看這些數(shù)列有什么共同特點呢？項起，每一項與前一項的點差都等于_5_；對于數(shù)列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于-2.5；對于數(shù)列，從第2項起，

8、每一項與前一項的差都等于巨；由學(xué)生歸納和概括出，以上四個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)（即:每個都具有相鄰兩項差為同一個常數(shù)的特點）?？偨Y(jié)等差數(shù)列的概念學(xué)生認真閱讀課本相關(guān)通過學(xué)生提高對于以上幾組數(shù)列我們稱它們概念，找出關(guān)鍵字。自己閱讀提高對于以上幾組數(shù)列我們稱它們概念，找出關(guān)鍵字。自己閱讀為等差數(shù)列。請同學(xué)們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個定義：等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5,5,-

9、2.5，72。提問：如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條課本，找出關(guān)鍵字，提高學(xué)生的閱讀水平和思維概括能力，學(xué)會抓重點。由學(xué)生回答：因為a，讓學(xué)生參A，b組成了一個等差數(shù)與到知識列，那么由定義可以知的形成過a2a4二：a5,a4a=a3：a7件？道:A-a=b-A程中，獲得所以就有A=a2數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感。由二個數(shù)a,A,b組成的等差深入探究，得到更一引領(lǐng)學(xué)習(xí)數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)般化的結(jié)論更深入的列，這時，A叫做a與b的等探究，提高差中項。學(xué)生的學(xué)不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列習(xí)水平。中，從第2項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等

10、差中項。如數(shù)列：1,3,5，7,9,11,13中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項?？磥?從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q貝Uaman=apaq等差數(shù)列的通項公式對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。、我們是通過研究數(shù)列an總結(jié)的第n項與序號n之間的關(guān)系提高去寫出數(shù)列的通項公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項公式。由學(xué)生經(jīng)過分析寫出通學(xué)會發(fā)現(xiàn)項公式：規(guī)律，并加這個數(shù)列的第一項是以總結(jié)。5，第2項是10(=5+5)，第3項是15(=5+5+5)，第4項是20(=5+

11、5+5+5),由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是an二5n這個數(shù)列的第一項是48，第2項是53(=48+5),第3項是58(=48+5X2),第4項是63(=48+5X3),由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是a*=485(n-1這個數(shù)列的第一項是18，第2項是15.5(=18-2.5)，第3項是13(=18-2.5X2),第4項是10.5(=18-2.5X3),第5項是8(=18-2.5X4)，第6項是5.5(=18-2.5X5)由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是a*=18-2.5(n-1)這個數(shù)列的第一項是10072，第2項是10144(=10172+72),第3項是10216(=10

12、072+72X2),a4二a3d=2d)d=a3d,a4二a3d=2d)d=a3d,第4項是10288(=10072+72X3),第5項是10360(=10072+72X4）,由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是an=1007272(n-1)、那么，如果任意給了一個引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)引導(dǎo)學(xué)生等差數(shù)列的首項a1和公差d，列的定義進行歸納：進行理性它的通項公式是什么呢？a2a=d,分析與推（n_1）個等式嚴a2=d,a4_a3=d,h|導(dǎo)，從而得u1T出公式。所以aa1d,a3=a2d,a4=a3d,思考：那么通項公式到底如何總結(jié)表達呢？a2=ajd,進一步的a3二a?d=佝d)d=a2d,分析。

13、提高讓學(xué)生有自主思考的時空。得出通項公式：由此我們可以思考，并發(fā)表各自的意猜想得出：以ai為首項，d為見。公差的等差數(shù)列a.的通項公式為an=a1(n-1)d也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項ai和公差d，那么這個等差數(shù)列的通項a.就可以表示出來了。例1、求等差數(shù)列8,5,2,的第20項.讓兩個學(xué)生分別對這兩小題加以分析。讓學(xué)生參與課堂。應(yīng)用-401是不是等差數(shù)列鞏固-5,-9,-13,的項？如果是，是第幾項？分析:解：由ai=8,d=5-8=-3，項公式求出來。首項知道了，a?。=8(21-1)(-3)=-49還需要知道的是該等差數(shù)列的由a1=-5，d=-9-公差，由公差的定義可以求出（

14、-5）=-4，得這個數(shù)列公差；的通項公式為這個問題可以看成是上面那an=_5_4(n-1)=_4n-1,由個問題的一個逆問題。要判斷題意知，本題是要回答是這個數(shù)是不是數(shù)列中的項，就否存在正整數(shù)n,使得是要看它是否滿足該數(shù)列的通-401=-4n-1成立。項公式，并且需要注意的是，解這個關(guān)于n的方項數(shù)是否有意義。程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。例題評述：從該例題中可以看聆聽教師點評通過教師出，等差數(shù)列的通項公式其實點評，提高就是一個關(guān)于an、ai、d、n（獨學(xué)生對關(guān)立的量有3個）的方程；另外，鍵問題的要求出第20項，可以利用通n=205得要懂得利用通項公式來判斷所認知水平。給的

15、數(shù)是不是數(shù)列中的項，當(dāng)判斷是第幾項的項數(shù)時還應(yīng)看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項。隨堂練習(xí)：課本45頁“練習(xí)”完成練習(xí)講練結(jié)合，第1題；有利提咼學(xué)生的知識應(yīng)用水平例2.某市出租車的計價標準解：根據(jù)題意，當(dāng)該學(xué)以致用，為1.2元/km，起步價為10元，市出租車的行程大于或?qū)⑺鶎W(xué)知即最初的4km（不含4千米）等于4km時，每增加1km,識應(yīng)用到計費10兀。如果某人乘坐該市乘客需要支付1.2元.所具體生活的出租車去往14km處的目的以，我們可以建立一個等中去，加深地，且一路暢通，等候時間為差數(shù)列an來計算車費.對概念的0,需要支付多少車費？令a1=11.2,表示理解。4

16、km處的車費，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費an=11.2(11-1)1.2二23.2(元答：需要支付車費23.2丿元。例題評述：這是等差數(shù)列用于聆聽教師點評通過教師解決實際問題的一個簡單應(yīng)點評，提高用，要學(xué)會從實際問題中抽象學(xué)生對關(guān)出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列鍵問題的的知識解決實際問題。認知水平。隨堂練習(xí)：課本45頁“練習(xí)”完成練習(xí)講練結(jié)合，第2題；有利提咼學(xué)生的知識應(yīng)用水平例3已知數(shù)列an的通項公式分析思考，然后分組討培養(yǎng)學(xué)生為an=Pnq,其中p、q為常數(shù)，論，讓兩組學(xué)生代表發(fā)表分析問題且pH0,那么這個數(shù)列一定是自己的見解。的能力，在等差數(shù)列嗎？

17、小組討論中提高組長的組織與歸納組內(nèi)成員想法的能力。分析：判定a.是不是等差數(shù)解：取數(shù)列an中的列，可以利用等差數(shù)列的定義，任意相鄰兩項an與an_1(n也就是看an-an/(n1)是不1),是一個與n無關(guān)的常數(shù)。求差得an-an4=(pnq)-pn-1)q=pnq-(pn-pq=p它是一個與n無關(guān)的數(shù).所以an是等差數(shù)列。課本左邊“旁注”：這個等差這個數(shù)列的首項對所得結(jié)數(shù)列的首項與公差分別是多&=pq,公差d=p。由此論進行更少？我們可以知道對于通項深入一步公式是形如an=pnq的的探究，激數(shù)列，一定是等差數(shù)列，發(fā)學(xué)生的一次項系數(shù)p就是這個學(xué)習(xí)興趣。等差數(shù)列的公差，首項是p+q.例題評述：通過

18、這個例題我們知道判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。探索引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖研究完成以學(xué)生動手畫圖，并進行學(xué)通過學(xué)生研究下探究:習(xí)小組討論，發(fā)表見解。動手作圖，并加以對比，讓學(xué)生體會數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。在直角坐標系中，畫出通項公式為an=3n一5的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點？在同一個直角坐標系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列an=pn.q與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。分析：n為正整數(shù)，當(dāng)n取1,2,3,時，對應(yīng)的an可以利用通項公式求出。經(jīng)過描點知道該圖象是均勻分布的一群

19、孤立點；畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時相應(yīng)的點的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列an=pnq的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對應(yīng)的點的集合。該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列an=pnq中的p的幾何意義去探究。本節(jié)主要內(nèi)容為：以學(xué)習(xí)小組為單位，在學(xué)學(xué)生自己等差數(shù)列定義：即習(xí)小組中，各自歸納自己小結(jié)，使學(xué)課堂an-an4=d(n2)對這堂課的收獲，后由小生對自己小結(jié)等差數(shù)列通項公式：組代表總結(jié)歸納。所學(xué)知識an=印(n-1)d(n1)有更深刻推導(dǎo)出公式：an=am(nm)d的認識。評價1、已知an是等差數(shù)列.作業(yè)是課堂的延續(xù)，除了檢驗學(xué)生對本節(jié)課知識的理解程度，還在于引導(dǎo)學(xué)生對本課知識的進一步探究，讓學(xué)生在更大的深度與廣度之間進行思考。設(shè)計2aa3a7是否成立？2a5-aia9呢？為什么？2an=andan(n1)是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？2aananJ；n0是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？2、已知等差數(shù)列an的公差為d.求證：乩色mn七、教學(xué)反思本節(jié)課通過生活中一系列的實例