高考數學必考排列組合全部解題方法

1、高考數學必考排列組合全部解題方法 排列組合問題聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題，首先要認真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質特征，采用合理恰當的方法來處理。教學目標1.進一步理解和應用分步計數原理和分類計數原理。2.掌握解決排列組合問題的常用策略;能運用解題策略解決簡單的綜合應用題。提高學生解決問題分析問題的能力 3.學會應用數學思想和方法解決排列組合問題.復習穩(wěn)固1.分類計數原理(加法原理)完成一件事，有類方法，在第1類方法中有種不同的方法，在第2類方法中有種不同的方法，在第類方法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不

2、同的方法2.分步計數原理乘法原理完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法 分類計數原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。分步計數原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數是多少及取出多少個元素.4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策

3、略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步計數原理得位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最根本的方法,假設以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.假設以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。假設有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,假設兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰

4、且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。由分步計數原理可得共有種不同的排法要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列.練習題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為 20 例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,那么節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入

5、第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數原理,節(jié)目的不同順序共有 種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端練習題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數為 30例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,那么共有不同排法種數是： (空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其

6、余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，那么共有種方法。 思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎? 插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理練習題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數原理共有種不同的排法允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒

7、有限制地安排在m個位置上的排列數為種練習題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數為 42 2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有8-1！種排法即！ 練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個

8、特殊元素有種,再排后4個位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個位置上任意排列有種,那么共有種一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究. 練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是 346 例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有種方法.再把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有種方法，根據分步計數原理裝球的方法共有解決排列組合混合問題,先選后排是最根本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略

9、相似嗎?練習題：一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,那么不同的選法有 192 種例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,在兩個奇數之間,這樣的五位數有多少個？解：把,當作一個小集團與排隊共有種排法，再排小集團內部共有種排法，由分步計數原理共有種排法.小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。練習題：.方案展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,幅油畫,幅國畫, 排成一行陳列,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數為2. 5男生和女生站成一排照

10、像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有種例10.有10個運發(fā)動名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？ 解：因為10個名額沒有差異，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個空隙。在個空檔中選個位置插個隔板，可把名額分成份，對應地分給個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法。將n個相同的元素分成m份n，m為正整數,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數為練習題：10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？ 2 .求這個方程組的自然數解的組數 例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數,不同

11、的 取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數很困難,可用總體淘汰法。這十個數字中有5個偶數5個奇數,所取的三個數含有3個偶數的取法有,只含有1個偶數的取法有,和為偶數的取法共有。再淘汰和小于10的偶數共9種，符合條件的取法共有有些排列組合問題,正面直接考慮比擬復雜,而它的反面往往比擬簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.練習題：我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解: 分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復計數的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF，假設第一步取AB,第二步取

12、CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),那么中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數)防止重復計數。練習題：1 將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊, 有多少分法？名學生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法 15403.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉 入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安

13、排2名，那么不同的安排方案種數為_十三. 合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究 只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計數原理共有 種。解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練習題：1.從4名男生和3名女生中選出

14、4人參加某個座 談會，假設這4人中必須既有男生又有女生，那么不同的選法共有34 2. 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. 27 此題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經得到正確結果例14. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型

15、在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有 種一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決練習題：某排共有10個座位，假設4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法解：從5個球中取出2個與盒子對號有種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球, 3,4,5號盒3號球裝4號盒時，那么4,5號球有只有1種裝法，同理3號球

16、裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數原理有種 3號盒 4號盒 5號盒 對于條件比擬復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結果練習題：1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，那么四張賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,那么不同的著色方法有 72種十六. 分解與合成策略例16. 30030能被多少個不同的偶數整除分析：先把30030分解成質因數的乘積形式30030=235 7 1113依題意可知偶因數必先取2,再從其余5個因數中任取假設干個組成乘

17、積，所有的偶因數為：練習:正方體的8個頂點可連成多少對異面直線解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四體共有體共,每個四面體有分解與合成策略是排列組合問題的一種最根本的解題策略,把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據問題分解后的結構,用分類計數原理和分步計數原理將問題合成,從而得到問題的答案 ,每個比擬復雜的問題都要用到這種解題策略3對異面直線,正方體中的8個頂點可連成對異面直線十七.化歸策略例17. 25人排成55方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成33方隊中選3人的方法有種。再從55方陣選出35方隊中選取3行3列有選

18、法所以從55方陣選不在同一行也不在同一列的3人有選法。處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題練習題:某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？()例18由0，1，2，3，4，5六個數字可以組成多少個沒有重復的比324105大的數？解:數字排序問題可用查字典法,查字典的法應從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數,根據分類計數原理求出其總數。 練習:用0,1,2,3,4,5這六個數字組成沒有重復的四位偶數,將這些數字從小到大排列起來,第71個數是 3140 例19人

19、相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經過次傳求后,球仍回到甲的手中,那么不同的傳球方式有_ 對于條件比擬復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結果練習: 分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中號人不坐號椅的不同坐法有多少種？例20有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標有A、B、C、D、E五個字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,那么共有多少種不同的取法紅111223黃123121蘭321211取法 解:一些復雜的分類選取題,要滿足的條件比擬多, 無從入手,經常出現(xiàn)重復遺漏的情況,用表格法,那么分類明確,能保證題中須滿足的條件,能到達好的效果.二十一：住店法策

20、略解決“允許重復排列問題要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客，能重復的元素看作“店，再利用乘法原理直接求解.例21.七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數有 .分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店，五項冠軍看作5名“客，每個“客有7種住宿法，由乘法原理得7種.小結 本節(jié)課，我們對有關排列組合的幾種常見的解題策略加以復習穩(wěn)固。排列組合歷來是學習中的難點，通過我們平時做的練習題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨特，數字龐大，難以驗證。同學們只有對根本的解題策

21、略熟練掌握。根據它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比擬復雜的問題,我們可以將幾種策略結合起來應用把復雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續(xù)學習打下堅實的根底。排列組合題型 直接法特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6這6個數字組成無重復的四位數，試求滿足以下條件的四位數各有多少個1數字1不排在個位和千位 2數字1不在個位，數字6不在千位。分析：1個位和千位有5個數字可供選擇，其余2位有四個可供選擇，由乘法原理：=2402特殊位置法2當1在千位時余下三位有=60，1不在千位時，千位有種選法，個位有種，余下的有，共有=192所以總共有192+60=252間接法當直接法

22、求解類別比擬大時，應采用間接法。如上例中2可用間接法=252例2 有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們任意三張并排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三維書？ 分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1，類別較復雜，因而可使用間接計算：任取三張卡片可以組成不同的三位數個，其中0在百位的有個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數-=432個插空法 當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。 例3 在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔，

23、插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個，故有=100中插入方法。捆綁法 當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有種排法，而男生之間又有種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：=576練習1四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，假設使每個盒子不空，那么不同的放法有 種某市植物園要在30天內接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，那么植物園30天內不同的安排方法有注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個

24、整體來選有其余的就是19所學校選28天進行排列閣板法 名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5 某校準備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種 。分析：此例的實質是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在12個名額種的11個空當中插入7塊閘板，一種插法對應一種名額的分配方式，故有種練習1.(a+b+c+d)15有多少項？ 當項中只有一個字母時，有。當項中有2個字母時，有而指數和為15，即將15分配給2個字母時，如何分，閘板法一分為2，即當項中有3個字母時指數15分給3個字母分三組即可當項種4個字母都在時 四者都相加即可練習2有2

25、0個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子里，要求每個盒子內的球數不少編號數，問有多少種不同的方法？3不定方程X1+X2+X3+X50=100中不同的整數解有平均分堆問題 例6 6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？ 分析：分出三堆書a1,a2,(a3,a4)，a5,a6由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有=15種練習：16本書分三份，2份1本，1份4本，那么有不同分法？2某年級6個班的數學課，分配給甲乙丙三名數學教師任教，每人教兩個班，那么分派方法的種數。合并單元格解決染色問題例7 全國卷文、理如圖1，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，

26、現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不 得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，那么不同的著色方法共有 種以數字作答。 分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5 下面分情況討論: ()當2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當于4個元素 的全排列數 當2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形()類似同理可得 種著色法當2、4與3、5分別同色時，將2、4；3、5分別合并，這樣僅有三個單元格 從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有種方法 由加法原理知：不同著色方法共有2=48+24=72種練習1天津卷文將3種作物種植 12345 在如圖的5塊試驗田里，每快種植一種

27、作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物 ， 不同的種植方法共 種以數字作答 722江蘇、遼寧、天津卷理某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6分為個局部如圖3，現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每局部栽種一種且相鄰局部不能栽種 同一樣顏色的話，不同的栽種方法有 種以數字作答120圖3 圖43如圖4，用不同的5種顏色分別為ABCDE五局部著色，相鄰局部不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復使用也可以不用，那么符合這種要求的不同著色種數5404如圖5：四個區(qū)域坐定4個單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著

28、色方法是 種84圖5 圖65將一四棱錐(圖6)的每個頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，假設只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法共 種420 遞推法例八 一樓梯共10級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設上n級樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2,當n2時，上n級樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨一級，有an-1種走法，第二類是最后一步跨兩級，有an-2種走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,據此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a1

29、0=89.故走上10級樓梯共有89種不同的方法。九.幾何問題 1四面體的一個頂點位A,從其它頂點與各棱中點取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有 種3+3=332.四面體的棱中點和頂點共10個點1從中任取3個點確定一個平面，共能確定多少個平面？(-4+4-3+3-6C+6+26=29) (2)以這10個點為頂點，共能確定多少格凸棱錐？ 三棱錐 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱錐 644=96 36=18 共有114先選后排法例9 有甲乙丙三項任務，甲需2人承當，乙丙各需1人承當，從10人中選派4人承當這三項任務，不同的選派方法有 分析：先從10人中選出2人十一用轉

30、換法解排列組合問題例10某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中與“不中報告結果，不同的結果有多少種解 把問題轉化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列問題=20種個人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法解 把問題轉化為5個相同的白球不相鄰地插入已經排好的10個相同的黑球之間的9個空隙種的排列問題=126種例12 從1，2，3，1000個自然數中任取10個不連續(xù)的自然數，有多少種不同的去法解 把穩(wěn)體轉化為10個相同的黑球與990個相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。 某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走

31、到東北角，路程最短的走法有多少種解 無論怎樣走必須經過三橫四縱，因此，把問題轉化為3個相同的白球與四個相同的黑球的排列問題=35種 一個樓梯共18個臺階12步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法解 根據題意要想12步登完只能6個一步登一個臺階，6個一步登兩個臺階，因此，把問題轉化為6個相同的黑球與6個相同的白球的排列問題=924種 求a+b+c10的展開式的項數解 展開使的項為abc,且+=10，因此，把問題轉化為2個相同的黑球與10個相同的白球的排列問題=66種 亞、歐乒乓球對抗賽，各隊均有5名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者淘汰，勝者

32、再與負方2號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？解 設亞洲隊隊員為a1,a2，,a5,歐洲隊隊員為b1，b2，b5，下標表示事先排列的出場順序，假設以依次被淘汰的隊員為順序比賽過程轉化為這10個字母互相穿插的一個排列，最后師勝隊種步被淘汰的隊員和可能未參加參賽的隊員，所以比賽過程可表示為5個相同的白球和5個相同黑球排列問題，比賽過程的總數為=252種十二轉化命題法圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內的交點最多有多少各？分析：因兩弦在圓內假設有一交點，那么該交點對應于一個以兩弦的四端點為頂點的圓內接四邊形，那么問

33、題化為圓周上的15個不同的點能構成多少個圓內接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內的交點最多有=1365個十三概率法一天的課程表要排入語文、數學、物理、化學、英語、體育六節(jié)課，如果數學必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？分析：在六節(jié)課的排列總數中，體育課排在數學之前與數學課排在體育之前的概率相等，均為，故本例所求的排法種數就是所有排法的，即A=360種十四除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7這七個數字組成沒有重復數字的七位數中，1假設偶數2，4，6次序一定，有多少個？2假設偶數2，4，6次序一定，奇數1，3，5，7的次序也一定的有多少個？ 解12十五錯位排列例20 同室四人各寫一張賀卡

34、，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的卡片，那么不同的分配方法有 種9公式 1 n=4時a4=3(a3+a2)=9種 即三個人有兩種錯排，兩個人有一種錯排2=n!(1-+-+練習 有五位客人參加宴會，他們把帽子放在衣帽寄放室內，宴會結束后每人戴了一頂帽子回家，回家后，他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子，問5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？44排列與組合的區(qū)別排列與組合的共同點是從n個不同的元素中，任取mmn個元素，而不同點是排列是按照一定的順序排成一列，組合是無論怎樣的順序并成一組，因此“有序與“無序是區(qū)別排列與組合的重要標志下面通過實例來體會排列與組合的區(qū)別 【例題】 判斷以下問題是

35、排列問題還是組合問題？并計算出種數 1 高二年級學生會有11人：每兩人互通一封信，共通了多少封信？每兩人互握了一次手，共握了多少次手？ 2 高二數學課外活動小組共10人：從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？從中選2名參加省數學競賽，有多少種不同的選法？ 3 有2、3、5、7、11、13、17、19八個質數：從中任取兩個數求它們的商，可以有多少個不同的商？從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？ 4 有8盆花：從中選出2盆分別給甲、乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？ 【思考與分析】 1 由于每兩人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是

36、不同的兩封信，所以與順序有關，是排列；由于每兩人互握一次手，甲與乙握手、乙與甲握手是同一次握手，與順序無關，所以是組合問題其他類似分析 解： 1 是排列問題，共通了=110封；是組合問題，共需握手=55次 2 是排列問題，共有=109=90種不同的選法；是組合問題，共=45種不同的選法； 3 是排列問題，共有=87=56個不同的商；是組合問題，共有=28個不同的積； 4 是排列問題，共有=56種不同的選法；是組合問題，共有=28種不同的選法 【反思】 區(qū)分排列與組合的關鍵是“有序與“無序。 10.1.4學習過程:(1)知識梳理 1分類計數原理加法原理：完成一件事，有幾類方法，在第一類中有種有不

37、同的方法，在第2類中有種不同的方法在第n類型有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。2分步計數原理乘法原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法；那么完成這件事共有種不同的方法。特別提醒：分類計數原理與“分類有關，要注意“類與“類之間所具有的獨立性和并列性；分步計數原理與“分步有關，要注意“步與“步之間具有的相依性和連續(xù)性，應用這兩個原理進行正確地分類、分步，做到不重復、不遺漏。3排列：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.4排列數：從n個不同

38、元素中取出m(mn)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數，用符號表示.5排列數公式： 特別提醒：1規(guī)定0! = 1 2含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個數的方法是：設重集S有k個不同元素a1，a2,.an其中限重復數為n1、n2nk，且n = n1+n2+nk , 那么S的排列個數等于. 例如：數字3、2、2，求其排列個數又例如：數字5、5、5、求其排列個數？其排列個數. 6組合：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合. 7組合數公式： 8兩個公式：_ 特別提醒：排

39、列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出m個元素.區(qū)別：前者是“排成一排，后者是“并成一組，前者有順序關系，后者無順序關系.(2)典型例題考點一:排列問題例1,六人按以下要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？1甲不站兩端；2甲、乙必須相鄰；3甲、乙不相鄰；4甲、乙之間間隔兩人；5甲、乙站在兩端；6甲不站左端，乙不站右端.考點二:組合問題例2, 男運發(fā)動6名，女運發(fā)動4名，其中男女隊長各1人.選派5人外出比賽.在以下情形中各有多少種選派方法？1男運發(fā)動3名，女運發(fā)動2名；2至少有1名女運發(fā)動；3隊長中至少有1人參加；4既要有隊長，又要有女運發(fā)動. 考點三:綜合問題例3, 4個不同的球

40、，4個不同的盒子，把球全部放入盒內.1恰有1個盒不放球，共有幾種放法？2恰有1個盒內有2個球，共有幾種放法？3恰有2個盒不放球，共有幾種放法？ 1，從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，那么不同的組隊方案共有 A，70 種 B，80種 C，100 種 D，140 種2，2021年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，假設其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，那么不同的選派方案共有 A, 48 種 B，12種 C，18種 D36種3，從0，1，2，3，4，5

41、這六個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數的個數為 A,48 B, 12 C，180 D，162.4，甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學，2名女同學。假設從甲、乙兩組中各選出2名同學，那么選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有 A，150種 B，180種 C，300種 D，345種5，甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，那么甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 A，6 B，12 C 30 D36 6，用0 到9 這10 個 數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為 A324 B，328 C，360 D，6487，從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理，

42、那么甲、乙 至少有1人入選，而丙 沒有入選的不同選法的總數為 A，85 B，56 C，49 D，288，將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，那么不同分法的總數為 A，18 B，24 C，30 D，309，3位男生和3位女生共6位同學站成一排，假設男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，那么不同排法的種數是 A，360 B，288 C，216 D，96 10.1.6 參考答案例1,解 1方法一 要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個，有A種站法，然后其余5人在另外5個位置上作全排列有A種站法，根據分步乘法計數原理

43、，共有站法：AA=480種.方法二 由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余5個人中選2個人站，有A種站法，然后中間4人有A種站法，根據分步乘法計數原理，共有站法：AA=480種.方法三 假設對甲沒有限制條件共有A種站法，甲在兩端共有2A種站法，從總數中減去這兩種情況的排列數，即共有站法：A-2A=480種.2方法一 先把甲、乙作為一個“整體，看作一個人，和其余4人進行全排列有A種站法，再把甲、乙進行全排列，有A種站法，根據分步乘法計數原理，共有AA=240種站法.方法二 先把甲、乙以外的4個人作全排列，有A種站法，再在5個空檔中選出一個供甲、乙放入，有A種方法，最后讓甲、乙全排列，有A種方法，共

44、有AAA=240種.3因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊，有A種站法；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔含兩端中，有A種站法，故共有站法為AA=480種.也可用“間接法，6個人全排列有A種站法，由2知甲、乙相鄰有AA=240種站法，所以不相鄰的站法有A-AA=720-240=480種.4方法一 先將甲、乙以外的4個人作全排列，有A種，然后將甲、乙按條件插入站隊，有3A種，故共有A3A=144種站法.方法二 先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有A種，然后把甲、乙及中間2人看作一個“大元素與余下2人作全排列有A種方法，最后對甲

45、、乙進行排列，有A種方法，故共有AAA=144種站法.5方法一 首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有A種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有A種，根據分步乘法計數原理，共有AA=48種站法.方法二 首先考慮兩端兩個特殊位置，甲、乙去站有A種站法，然后考慮中間4個位置，由剩下的4人去站，有A種站法，由分步乘法計數原理共有AA=48種站法.6方法一 甲在左端的站法有A種，乙在右端的站法有A種，且甲在左端而乙在右端的站法有A種，共有A-2A+A=504種站法.方法二 以元素甲分類可分為兩類：甲站右端有A種站法，甲在中間4個位置之一，而乙不在右端有AAA 種，故共有A+AAA=504種站法.例2, 解

46、 1第一步：選3名男運發(fā)動，有C種選法.第二步：選2名女運發(fā)動，有C種選法.共有CC=120種選法. 3分2方法一 至少1名女運發(fā)動包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計數原理可得總選法數為CC+CC+CC+CC=246種.6分方法二 “至少1名女運發(fā)動的反面為“全是男運發(fā)動可用間接法求解.從10人中任選5人有C種選法，其中全是男運發(fā)動的選法有C種.所以“至少有1名女運發(fā)動的選法為C-C=246種.6分3方法一 可分類求解：“只有男隊長的選法為C；“只有女隊長的選法為C；“男、女隊長都入選的選法為C；所以共有2C+C=196種選法.9分方法二 間接法：從10人中

47、任選5人有C種選法.其中不選隊長的方法有C“至少1名隊長的選法為C-C=196種.9分4當有女隊長時，其他人任意選，共有C種選法.不選女隊長時，必選男隊長，共有C種，所以不選女隊長時的選法共有C-C種選法.所以既有隊長又有女運發(fā)動的選法共有C+C-C=191種.例3,解 1為保證“恰有1個盒不放球，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？即把4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另 外2個盒子內，由分步乘法計數原理，共有CCCA=144種.2“恰有1個盒內有2個球，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放

48、1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內有2個球與“恰有1個盒不放球是同一件事，所以共有144種放法.3確定2個空盒有C種方法.4個球放進2個盒子可分成3，1、2，2兩類，第一類有序不均勻分組有CCA種方法；第二類有序均勻分組有A種方法.故共有C( CCA+A=84種.當堂檢測答案1，從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，那么不同的組隊方案共有 A，70 種 B，80種 C，100 種 D，140 種解析：分為2男1女，和1男2女兩大類，共有=70種，解題策略：合理分類與準確分步的策略。2，2021年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、

49、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，假設其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，那么不同的選派方案共有 A, 48 種 B，12種 C，18種 D36種解析：合理分類，通過分析分為1小張和小王恰有1人入選，先從兩人中選1人，然后把這個人在前兩項工作中安排一個，最后剩余的三人進行全排列有種選法。2小張和小趙都入選，首先安排這兩個人，然后再剩余的3人中選2人排列有種方法。共有24+12=36種選法。解題策略：1，特殊元素優(yōu)先安排的策略。 2，合理分類與準確分步的策略。 3，排列、組合混合問題先選后排的策略。3，從0，1，2，3，4，

50、5這六個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數的個數為 A,48 B, 12 C，180 D，162解析：分為兩大類：1含有0，分步1，從另外兩個偶數中選一個，種方法，2，從3個奇數中選兩個，有種方法；3，給0安排一個位置，只能在個、十、百位上選，有種方法；4，其他的3個數字進行全排列，有種排法，根據乘法原理共種方法。2不含0，分步，偶數必然是2，4 ；奇數有種不同的選法，然后把4個元素全排列，共種排法，不含0 的排法有種。根據加法原理把兩局部加一塊得+=180.解題策略：1，特殊元素優(yōu)先安排的策略。 2，合理分類與準確分步的策略。 3，排列、組合混合問題先選后排的策略。4，甲

51、組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學，2名女同學。假設從甲、乙兩組中各選出2名同學，那么選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有 A，150種 B，180種 C，300種 D，345種解析：4人中恰有1名女同學的情況分為兩種，即這1名女同學或來自甲組，或來自乙組，那么所有不同的選法共有 種選法。解題策略：合理分類與準確分步的策略。5，甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，那么甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 A，6 B，12 C 30 D36 解析：可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有種選擇方法，然后再把兩個人全不相同的情況去掉，兩個人全不相同，可以讓甲選兩門有 種選法，然后乙從剩余

52、的兩門選，有種不同的選法，全不相同的選法是種方法，所以至少有一門不相同的選法為=30種不同的選法。解題策略：正難那么反，等價轉化的策略。6，用0 到9 這10 個 數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為 A324 B，328 C，360 D，648981解析：第一類個位是零，共種不同的排法。884第二類個位不是零，共種不同的解法。解題策略：合理分類與準確分步的策略.7，從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理，那么甲、乙 至少有1人入選，而丙 沒有入選的不同選法的總數為 A，85 B，56 C，49 D，28解析：合理分類，甲乙全被選中，有 種 選 法，甲乙有一個被選中，有種不同的選法，共

53、+=49種不同的選法。解題策略：1特殊元素優(yōu)先安排的策略，2合理分類與準確分步的策略.8，將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，那么不同分法的總數為 A，18 B，24 C，30 D，30將甲、乙、丙、丁四名學生分成三組，那么共有種不同的分法，然后三組進行全排列共種不同的方法；然后再把甲、乙分到一個班的情況排除掉，共種不同的排法。所以總的排法為=30種不同的排法。注意:這里有一個分組的問題，即四個元素分成三組有幾種不同的分法的問題。這里分為有序分組和無序分組，有興趣的同學可以繼續(xù)研究 ，這里不再詳述。解題策略：1正難那么反、等價轉化

54、的策略2相鄰問題捆綁處理的策略3排列、組合混合問題先選后排的策略；9，3位男生和3位女生共6位同學站成一排，假設男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，那么不同排法的種數是 A，360 B，288 C，216 D，96解析：分析排列組合的問題第一要遵循特殊元素優(yōu)先考慮的原那么，先考慮女生的問題，先從3個女生中選兩位，有種方法，然后再考慮順序，即先選后排，有種方法；這樣選出兩名女生后，再考慮男生的問題，先把三個男生任意排列，有中不同的排法，然后把兩個女生看成一個整體，和另一個女生看成兩個元素插入4個位置中。有種不同的排法，共有種不同的排法。然后再考慮把男生甲站兩端的情況排除掉。甲可能站左

55、端，也可能是右端，有種不同的方法，然后其他兩個男生排列有種排法，最后把女生在剩余的三個位置中排列，有種不同的排法。共種不同的排法， 故總的排法為-=288種不同的方法。 此題難度大，表達的排列組合的解題策略多： 1特殊元素優(yōu)先安排的策略：2合理分類與準確分步的策略；3排列、組合混合問題先選后排的策略；4正難那么反、等價轉化的策略；5相鄰問題捆綁處理的策略；6不相鄰問題插空處理的策略。解排列組合的應用題要注意以下幾點：仔細審題，判斷是排列還是組合問題，要按元素的性質分類，按事件發(fā)生的過程進行分步。深入分析，嚴密周詳，注意分清是乘還是加，要防止重復和遺漏，辯證思維，多角度分析，全面考慮。對限制條件

56、較復雜的排列組合問題，要周密分析，設計出合理的方案，把復雜問題分解成假設干簡單的根本問題后用兩個計數原理來解決。由于排列組合問題的答案一般數目較大，不易直接驗證，因此在檢查結果時，應著重檢查所設計的解決方案是否完備，有無重復和遺漏，也可采用不同的方法求解?？纯唇Y果是否相同，在對排列組合問題分類時，分類標準應統(tǒng)一，否那么易出現(xiàn)遺漏和重復。 排列組合易錯題正誤解析排列組合問題類型繁多、方法豐富、富于變化，稍不注意，極易出錯.本文選擇一些在教學中學生常見的錯誤進行正誤解析，以饗讀者.1沒有理解兩個根本原理出錯排列組合問題基于兩個根本計數原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘是解決排列

57、組合問題的前提.例11995年上海高考題從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,那么不同的取法有 種.誤解：因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有2種取法.錯因分析：誤解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機是完成任務的兩“類方法，每類方法中都還有不同的取法.正解：由分析，完成第一類方法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有種方法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有種方法，據乘法原理共有種方法.同理，完成第二類方法中有種方法.據加法原理完成全部的選取過程共有種方法

58、.例2 在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產生，那么不同的奪冠情況共有 種.A B C D誤解：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選A.錯因分析：誤解是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式. 正解：四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種.說明：此題還有同學這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得.這是由于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2判斷不出是排列還是組合出錯在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例3 有大小形狀相同的3個紅色小

59、球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因為是8個小球的全排列，所以共有種方法.錯因分析：誤解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解：8個小球排好后對應著8個位置，題中的排法相當于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：排法. 3重復計算出錯在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意防止重復計數，產生錯誤。例42002年北京文科高考題5本不同的書全局部給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為 A480種 B240種

60、C120種 D96種誤解：先從5本書中取4本分給4個人，有種方法，剩下的1本書可以給任意一個人有4種分法，共有種不同的分法，選A.乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2錯因分析：設5本書為、，四個人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2： 表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的情況；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計算成了不同的情況。正好重復了一次.正解：首先把5本書轉化成4本書，然后分給4個人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有種方法；第二步：再把4本書分給4個學生，有種方法.由乘法原理，共有種方