模糊數(shù)學第二章模糊集合

1、第二章模糊集合2.1 經(jīng)典集合論概述2.1.1集合的概念經(jīng)典集合的定義 定義2-1 具有某種共同性質的事物的全體稱為“集合”，而每一個別事物稱為該集合的“元素”。 論域 ：在討論集合前常常需要首先給出我們研究的對象范圍，這個范圍就稱為論域。論域本身是一種特殊的集合，它的選取一般不唯一，應根據(jù)具體情況研究的需要而定。 經(jīng)典集合論的基本要求 ：在論域中選出一個元素a，同時給定一個集合。則a或者“屬于”A或者“不屬于”A，兩者必居其一，并且只居其一。當a屬于A時記為 ，而當a不屬于A時記為 。 幾種常用的集合分類 當一個集合中的元素數(shù)目有限時，稱其為“有限集合”，否則為“無限集合”。 設S為無限集合

2、，若S與自然數(shù)集合N之間存在11對應的關系，則稱S為“可列集合”，否則稱其為“不可列集合”。 不含任何元素的集合稱為“空集”，記為；含有論域中所有元素的集合稱為“全集”，記為U。特征函數(shù) = 常見的集合表示方法 枚舉法： 對于元素不多的集合，可以將它的所有元素都一一列出，對于具有明顯的順序規(guī)律的集合僅列出部分元素，而將集合中的其它一些元素隱含表示。例如： “大于2小于6的整數(shù)集合”，。 “自然數(shù)集合”，。 描述法：對于有些集合是很難一一列出集合元素的，其元素間也不存在任何順序規(guī)律性。例如“貓科動物”、“實數(shù)集合”。可以通過形式描述的手段表示集合，設集合S的元素具有屬性P,則 S =xP(x)其

3、中豎線左邊為集合元素符號，而右邊是集合元素所具有的性質。例如： “實數(shù)集合R” xx為實數(shù) 特征函數(shù)法：由于任一特征函數(shù)都能唯一地確定一個集合，所以也常常采用它來描述任何種類的集合。例如，以實數(shù)域R為論域，則有理數(shù)集合Q的特征函數(shù)為： 文氏圖：采用圖表示集合很直觀形象，故被廣泛應用于集合論中。但這種方法缺乏描述上的嚴格性，所以使用范圍有一定的限制。 A=B A B或A B B A或B A集合論中最基本的概念：(1)對于任意兩個集合A、B，若A的每一個元素都是B的元素，則稱A是B的“子集”，記為A B或B A；若B中存在不屬于A的元素，則稱A是B的“真子集”，記為A B或B A。(2)兩集合“相

4、等”，當且僅當A B且B A。(3)論域 U包含任何集合A，即A U。(4)對于任意集合A，恒有 A。(5)對于一個集合A，由其所有子集作為元素構成的集合稱為A的“冪集”，記為: (A)= X|X A (6)設X、Y為兩個集合，則X和Y的笛卡兒積(又稱“直積”)定義為: XY = (x，y)| xX，yY2.1.2 集合的運算及其性質 經(jīng)典集合運算 定義2-3 令A、B為論域 U中任意兩個集合，則定義 A與B的“并集”：AB= x |( xA)( xB) A與B的“交集”：AB= x |( xA)( xB) A與B的“差集”：AB= x |( xA)( x B) A的“補集”：A=UA= x|

5、( x A)( xU) 定義2-4 令A、B為論域中任意兩個集合，則定義 A與B的“并集”為AB，且 = (x) (x)； A與B的“交集”為AB，且 = (x) (x)； A與B的“差集”為A-B，且 = (x)(1- (x)； A的“補集”為A，且 = 1 (x)。經(jīng)典集合運算的基本性質(1)交換率： AB=BA；AB=BA。(2)結合率： A(BC)=(AB)C； A(BC)=(AB)C。(3)分配率： A(BC)=(AB)(AC)； A(BC)=(AB)(AC)。(4)冪等率： AA=A；AA=A(5)吸收率： A(AB)=A； A(AB)=A。(6)對偶率： (AB)=AB； (AB

6、)=AB。(7)互補率： AA=U； AA=。(8)對合率： (A)= A。(9)同一率： A=A； AU=A。(10)零率： AU=U； A=。(11)傳遞率：若A B及B C，則A C 。 2.1.3 關系 關系的定義 定義2-5 從集合X到集合Y的一個“二元關系R”，定義為笛卡兒積 XY的一個子集 R XY。特別地，當X=Y時，稱R為“X上的二元關系”。 對于任意xX，yY，若x、y之間存在關系R，則記為xRy。事實上，關系R可以描述為集合： R=(x，y)|(xX)(yY)xRy 顯然，當xRy時必有(x，y)R。 定義域 由R的所有元素中第一客體x組成的集合稱為關系R的”定義域”，記

7、為： D(R)=x|(x,y)R； 值域 由R的所有元素中第二客體y組成的集合稱為關系R的“值域”，記為： C(R)=y|(x,y)R。 關系矩陣 令集合X= , ,， ,Y= , ,， ,X到Y存在關系R，則關系R的“關系矩陣”為 = ,其中 = 逆關系 定義2-6 設R是一個集合X到集合Y的關系，則從Y到X的關系 =(y,x)|(x,y)R 稱之為R的“逆關系”。 合成關系 定義2-7 令R是集合X到集合Y的關系，而S是集合Y到Z的關系，則稱RS為R與S的“合成關系”：RS=(x，y)| yY(x，y)R(y，z)S)。特別地，關系R自身的合成運算稱為R的“冪運算”： =RR , = R例

8、2-13 設X=1,2,3,Y=a,b,c,Z=$,#,現(xiàn)有從X到Y的關系R和從Y到Z的關系S：R=(1,a),(1,b),(2,b) S=(a,),(b,#),(c,#), 則RS=(1,),(1,#),(2,#)。下圖給出了本例的復合關系的圖示。采用下面的矩陣運算也能得到相同的結果： R = , S = , 則有RS = = 關系中最重要的三條性質 設R是非空集合X上的關系，則 (1)若對于任意xX均有(x,x)R，則稱關系R具有“自反性”； (2)對有任意x、yX，如果由(x,y)R能保證(y,x)R，則稱關系R具有“對稱性”； (3)若對于任意x、y、zX，若(x,y)R且(y,z)R

9、時必有(x,z)R，則稱關系R具有“傳遞性”。 例2-14 容易證明以下關系的性質： “朋友”關系是對稱的，“父子”關系不是對稱的； 整數(shù)集合中的“”關系是自反的、傳遞的，但不是對稱的； 實數(shù)集合中的“相等”關系是自反的、對稱的，且又是傳遞的。 相似關系 定義2-8 設R是非空集合X上的關系,若R具有自反性和對稱性，則稱R是集合X上的“相似關系”。 等價關系 定義2-9 設R是非空集合X上的關系,若R具有自反性、對稱性和傳遞性,則稱R是集合X上的“等價關系”。 劃分 設S是一個給定集合,A= , , ,且 S, i=1,2, ,n,若 S= ,即 的并集覆蓋了S; =,ij且i、j=1,2,

10、,n,即互不相交； 則稱A為S的一個“劃分”，而集合 , , 稱為劃分A的“類”。 等價類 設R是集合X上的等價關系，對任意給定的xX,由所有與x有關系R的元素組成的集合稱為x的“等價類”，記為 ， = y| yX,(x,y)R 定理2-1 設R是集合X上的等價關系 則由R的等價類組成的集合構成X的一個劃分。 例2-15 設集合X=a,b,c,d上的關系R為 R=(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d) 可以證明R是等價關系,并且它的等價類為 = =a,b = =c,d2.1.4 映射 映射的定義 定義2-10 設f是從集合X到集合Y的一個

11、關系，若對于任意xX，存在唯一的yY，使得(x,y)f，則稱關系f是從集合X到集合Y的一個“映射”，記為 f：XY。 幾類常見的映射 對于映射f: XY,若其值域等于Y，則稱f是“映上的”，否則是“映內的”。 對于映射f: XY, 、 X，若當 時必有 f( )f( ) 則稱f是“一對一的”。 如果映射f: XY即是一對一的，又是映上的，則稱f是“1-1對應的”。 逆映射 定義2-11 設f: XY是1-1對應的映射，則f所構成的逆關系稱之為f的“逆映射”，記為: YX。2.2模糊集合概念 模糊集合的定義 定義2-12 論域X上的“模糊集合”A定義為： A=(x,A(x)|xX 或者 A=(x

12、,(x)| xX 其中A(x)稱為“隸屬函數(shù)”，它滿足：A:XM，這里，M稱為“隸屬空間”。 隸屬度 隸屬函數(shù)A(x)用于刻畫元素x對模糊集合A的隸屬程度“隸屬度”。所以，模糊集合A的每個元素(x,A(x)都能明確地表現(xiàn)出x的隸屬等級。A(x)的值越大，x的隸屬程度就越高。 模糊集合與經(jīng)典集合之間的關系 模糊集合概念是經(jīng)典集合概念的推廣，而經(jīng)典集合是模糊集合的特例。 當隸屬函數(shù)A(x)的值域為集合0,1時，模糊集合A便退化為經(jīng)典集合，而隸屬函數(shù)就等同于特征函數(shù)。 模糊冪集 定義2-13 由論域X上所有模糊集合構成的集合F(X)稱為“模糊冪集”。 模糊冪集的特點 模糊冪集自身是經(jīng)典集合 論域X上

13、的模糊冪集真包含了經(jīng)典冪集 模糊集合的表示方法 序偶表示法或稱向量表示方法 查德(Zadeh)方法 符號法：這種表示法適合于論域為有限集合或可列集合時的模糊集合的描述。設論域為X= ， ，, ，A為X上的一個模糊集合，則A可記為： A = 符號法：這種表示法適合于任何種類的論域，特別是無限論域中的模糊集合的描述。對于任意論域X中的模糊集合A可記為： A= 隸屬函數(shù)方法 用解析表達式表示隸屬函數(shù)。 當論域為實數(shù)集合中的某個區(qū)間時，有時將模糊集合的隸屬函數(shù)用解析表達式表示很方便。 例2-19 對于年齡區(qū)間X=(0,100)中的“年老”和“年輕”這兩個模糊集合O、Y，它們的隸屬函數(shù)分別可表示為： O

14、(x)= Y(x)= 例2-21 設A表示“接近5的整數(shù)”，則模糊集合A可表示為： A=(3,0.2),(4,0.5),(5,1),(6,0.5),(7,0.2); A=0.2/3+0.5/4+1/5+0.5/6+0.2/7; A(x)=2.3 隸屬構造函數(shù) 在模糊數(shù)學中，隸屬度是建立模糊集合論的基石，隸屬函數(shù)是描述模糊性的關鍵。 隸屬函數(shù)能否反映出客觀事實將直接影響應用效果。 由于人們認識事物的局限性，我們通常只能構造出一個近似的隸屬函數(shù)。 2.3.1 概述 例證法：從已知的有限個隸屬值A(x)中來估計論域X上的模糊集合A的隸屬函數(shù)。 模糊統(tǒng)計法：在某些情況下，隸屬函數(shù)可以用統(tǒng)計方法來確定。

15、 蘊涵解析定義法：根據(jù)微積分的理論來確定隸屬函數(shù)。假設隸屬函數(shù)A(x)是連續(xù)可微的，則可用微分的方法計算A(x)。 二元對比法：采用對比的方法確定隸屬值。這種方法還根據(jù)具體的實現(xiàn)分為相對比較法、對比平均法、擇優(yōu)比較法和優(yōu)先關系定序法。 三分法：類似于模糊統(tǒng)計法，也是用隨機區(qū)間的思想來處理模糊性的實驗模型。 模糊分布法：從給定的一系列隸屬函數(shù)解析式選擇出合適的函數(shù)作為自己的模糊函數(shù)。2.3.2 模糊統(tǒng)計 隸屬頻率的穩(wěn)定性 類似于隨機試驗，我們可以進行模糊統(tǒng)計試驗。模糊統(tǒng)計試驗也會表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種規(guī)律被稱為隸屬頻率的穩(wěn)定性。 模糊統(tǒng)計試驗的基本原理 設A是論域X中的模糊集合，現(xiàn)考慮xX對

16、模糊集合A的隸屬度。在論域X中構造一個邊界可變的、可移動的普通集合S，這個集合S往往是各種不同的人對于模糊集合A的一種肯定性的評價。對于特定的x，S中可以含有x，也可以不含有x。假設進行了n次模糊統(tǒng)計試驗，其中有m次xX，則m與n之比稱為x對模糊集合A的隸屬頻率。事實證明，隨著試驗次數(shù)n的增大，x對A的隸屬頻率將趨于穩(wěn)定。這個穩(wěn)定值可以作為x對模糊集合A的隸屬度A(x)。 模糊統(tǒng)計的方法的實質 模糊統(tǒng)計方法體現(xiàn)了用確定的手段去把握和研究模糊性。通過部分人(例如專家等)評分的方法來確定隸屬度是一種廣泛使用的方法，例如跳水比賽、體操比賽、教學質量、學術水平等的評判，將其結果進行適當?shù)奶幚矶伎赡苋〉?/p>

17、較好的效果。129人認為“年輕人”的年齡范圍調查記錄 “27歲”對“年輕人”模糊集合A的隸屬度：A(27)=101/129=0.78 表2-2給出了在不同人數(shù)的統(tǒng)計調查中，“27歲”對模糊集合A的隸屬頻率。從表中可以看出隸屬頻率的穩(wěn)定性。2.3.3 模糊分布2.4 截集 截集的引入 將 “發(fā)燒病人”表示為模糊集合： A (x1 , 0.9),(x2 , 0),(x3 , 0.4),(x4 , 1),(x5 , 0.7) ; 這樣，可以對發(fā)燒病人進行一些分類。例如，可將隸屬函數(shù)0.9的病人分出作為“發(fā)高燒”進行特別護理：A0.9x1 , x4;類似地，我們還可以有：A0.8x1 , x4;A0.

18、4x2 , x3 , x4 , x5。一般地，我們用A表示A(x)的元素x組成的集合。 截集的定義 定義2-14 設A為論域X中的模糊集合，0，1，定義A的“截集”為集合 Ax | A(x) 實數(shù)稱為“閾值”(又稱“置信水平”)。 特別地，集合Ax | A(x)稱為A的“強截集”。 截集的特點 模糊集合A的截集A是經(jīng)典集合，它是由論域X中所有隸屬度等于或超過的元素組成。 截集的性質 定理2-2 令A、B為模糊集合，則以下等式成立：(AB)=AB(AB)=AB證明：對于式： x(AB) (AB)(x) (A(x)B(x) (A(x)(B(x) (xA)(xB) x(AB) 故式成立。 反方向可同

19、樣證明。用類似的方法可證明式。定理2-3 令A為模糊集合，、0,1且，則 。 證明：對于任意的 ，可得 可得 。反方向可舉出反例。定理2-4 令0，1，I為其下標集合，Ai為模糊集合，其中iI，則有： 證明：對于任意x0 ，在下標集合I中必存在某一元素i0，使得x0 。由截集定義知 ，從而得 ，即 ，故得x0 ,因此式成立。用類似的方法可證明式。例225 設Ai為論域X中的無數(shù)個模糊集合，這里的i為正整數(shù)。記模糊集合A = ( )(定理2-4式左邊)，令A I 的截集之并集(定理24式右邊)為B = 若A i 的隸屬函數(shù)為Ai(x)=(0.5( i-1)/ i。這不難推出A(x)= 0.5。這

20、說明論域X中的任何元素對于模糊集合A的隸屬度均為0.5，故有A 0.5 = X，即=0.5時，A i 之并的截集包含了論域中的所有元素。 現(xiàn)在考慮定理24式右邊的情況。顯然對于任意正整數(shù)i，(A i)0.5 =，故有B 0.5 =。這說明當=0.5時，Ai 的截集之并不包含論域中的任何元素。 由以上兩方面的討論得A 0.5B 0.5 。幾個概念 定義2-15 設A為論域X中的模糊集合，定義： A的“核”為：Ker A=x | A(x)=1(注，Ker為Kernel的縮寫)； A的“支集”為：Supp A=x | A(x) 0(注，Supp為Support的縮寫)； 若Ker A ，則稱A為“正

21、規(guī)模糊集”。2.5 模糊集合代數(shù)運算 什么是模糊集合的代數(shù)運算 對相應的隸屬函數(shù)進行特定的運算，并且由此得到新的隸屬函數(shù)，從而確定出新的模糊集合 。 模糊集合之間的基本關系 定義2-16 令A、B為論域X中的模糊集合，對于任意X中的元素x： A =，當且僅當 0；A = X，當且僅當 1。 A包含于B內，當且僅當 。 A與B相等，當且僅當 = 。 模糊集合的基本運算 定義2-17 令A、B為論域X中的模糊集合，對于任意X中的元素x： A與B之“并集”記為 AB = (A(x)B(x)x 即模糊集合AB的隸屬函數(shù) = max ( , ) 記作 或 A(x)B(x)。 A與B之“交集”記為 AB

22、= (A(x)B(x)x 即模糊集合AB的隸屬函數(shù) = min ( , ) 記作 或 A(x)B(x)。 A的“補集”(又稱“余集”)記為 A = (1A(x)x 即模糊集合A的隸屬函數(shù) 1 或記為1A(x) 。 模糊集合并、交運算還可以推廣至任意多個 設A i為模糊集合，且 iI(I為某種下標集合)，則有： 令A = ，則定義： = ； 令A = ，則定義： = 。 模糊集合的運算性質交換律：AB = BA； AB = BA。結合律：A(BC)=(AB)C； A(BC)=(AB)C。分配律：A(BC)=(AB)(AC)； A(BC)=(AB)(AC)。冪等律：AAA； AAA。吸收律：A(A

23、B)= A； A(AB)= A。對偶律：(AB)= A B； (AB)= A B。對合律：(A)=A同一律：A=A； AX=A。零 律：AX=X； A=。 證明對偶律(德莫根律)中的第一式 證明： (AB)(x)= 1(AB)(x) = 1(A(x)B(x) =(1A(x)(1B(x) = A(x) B(x) =(A)B)(x) 故得 (AB)= AB。 模糊集合不滿足的規(guī)律 AA X AA (A) (A) 模糊集合的性質 命題2-1 若論域X中的模糊集合A、B滿足 ，則 對于X中任意元素x： A（x） B（x）； B A。 代數(shù)和與代數(shù)積 定義2-17 令A、B為論域X中的模糊集合，對于任意

24、X中的元素x： A與B的代數(shù)和，記作A B ； A與B的代數(shù)積，記作AB 。 有關代數(shù)和與代數(shù)積的運算性質 當A、B為經(jīng)典集合時，A BAB，ABAB 對偶律：(A B)AB，(AB)A B 恒等律：A A，AXA 零律：A XX，A 分配律： A(BC)(AB) (AC) A(BC)(AB) (AC) A (BC）(A B) (A C) A (BC）(A B) (A C)2.6 分解定理 分解定理的作用 模糊集合A的截集是經(jīng)典集合，由1趨向于0時，A就有核Ker A變?yōu)?支集Supp A。由于模糊集合A的核與支集均為經(jīng)典集合，所以這自然使得我們考慮能否用經(jīng)典集合來表示模糊集合。 數(shù)積 定義2-18 設A為論域X中的模糊集合，0，1，定義數(shù)與集合A的“數(shù)積”為模糊集合B =A，其隸屬函數(shù)為：B（x） min (， )其中 為截集A的特征函數(shù)。 數(shù)積B的隸屬函數(shù)還可記為： B（x）= 分解定理 定理2-5 令A為論域X中的模糊集合，則 A = A 證明：等式右端的隸屬函數(shù)為所以等式成立. 分解定理的另一種表示定理2-6 令A為論域X中的模糊集合，則A(x) (min(， ) 記作A(x) (CA(x) 例229 設模糊集合A=(a , 0.7),(b , 0.5),(c , 0),