四邊形輔助線專題訓練

1、 一、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1，已知點0是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.說明：當已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例2如圖2,在AABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分別為D,G.求證:ED+FG=AC.說明：當圖形中涉及到一組對邊平行時，可通過作平行線構(gòu)造另一組對邊平行，得到平行四邊形解決問題.利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖3,已知人。是4ABC的

2、中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證BF=AC.A說明：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形.當已知中點或中線應(yīng)思考這種方法.二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例4如圖5,在厶ABC中，ZACB=90,ZBAC的平分線交BC于點D,E是AB上一點，且AE=AC,EF/BC交AD于點F,求證：四邊形CDEF是菱形.例5如圖6,四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.圖6說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，

3、和菱形的有關(guān)證明題或計算題作輔助線的不是很多,常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對角線.三、與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例6如圖7,已知矩形ABCD內(nèi)一點，PA=3,PB=4,PC=5.求PD的長.圖7四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常

4、用輔助線.Z例7如圖8,過正方形ABCD的頂點B作BE/AC，且AE=AC，AEB.說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì)通過連接正方形的對角線構(gòu)造正方形AHBO,進一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題.與中點有關(guān)的輔助線作法一、有中線時可倍長中線，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形例1.已知：如圖，AD為ABC中線，求證：AB,AC2AD.類題1.已知：如圖，AD為ABC的中線，AE=EF.求證：BF=AC.二、有以線段中點為端點的線段時，常加倍此線段，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形.例2.已知：如圖，在ABC中,C90。，M%AB中點，P、Q分別在AC、BC上,且PM丄QM于M

5、.求證：PQ2AP2+BQ2.類題2.已知：ABC的邊BC的中點為N,過A的任一直線AD丄BD于D,CE丄AD于E.求證：NE=ND.三、有中點時，可連結(jié)中位線.例3.如圖，ABC中，D、E分別為AB、AC上點，且BD=CE，M、N為BE、CD中點，連MN交AB、AC于P、Q,求證：AP=AQ.AEDPMNQBC類題3.已知:如圖,E、F分別為四邊形ABCD的對角線中點,ABCD.求證：EF-2（ABCD）.類題4.如圖，ABC中，AD是高，CE為中線，DG丄CE,G為垂足，DC=BE.求證：（1）G是CE的中點；（2）ZB二2/BCE.四、有底邊中點，連中線，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證

6、題例4.已知：如圖，在RtABC中，ZBAC二90，AB=AC，D為BC邊中點，P為BC上一 點，PF丄AB于F,PE丄AC于E.求證：DF=DE.C # #類題5.已知:如圖，矩形ABCD,E為CB延長線上一點，且AC=CE,F為AE中點，求證：BF丄FD. # #六、與梯形中點有關(guān)的輔助線：有腰中點時，常見以下三種引輔助線法 # #例5.已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC,AB丄BC,皿為CD的中點.求證：AM=MB. # #類題6.已知：梯形ABCD中，ABCD,E為BC中點，EF丄AD于F.求證: S二EFAD.梯形ABCD【作業(yè)】1、已知ABC和厶DBE為等腰直角三角形，ZA

7、BC=ZDBE=90,A、B、D在同一直線上，M、N、P分別是AD、AC、DE邊上的中點，試說明MP與MN的關(guān)系并證明。2、如果上題中A、B、D不在同一直線上，其余條件不變，上述結(jié)論是否發(fā)生變化？證明結(jié)論。3、平行四邊形ABCD，對角線相交于點0,P、E、F分別是AD、OB、0C的中點，AC=2AB。求證：PE=EFAPD4、等腰梯形ABCD中，DCAB,NA0B=60,E、F、FM分別是0D、0A、BC的中點。求證：AEFM是等邊三角形。DCEOMFAB5、如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,M、N、P、Q分別是AD、BC、BD、AC的中點。求證:MN與PQ互相垂直平分。MDQPCN6、如

8、圖，在厶ABC中，E是AB的中點，CD平分ZACB,AD丄CD,垂足為點D,求證：2DE=BC-AC7、BD、CE分別為ABC外角平分線，AM丄BD于M,AN丄CE于N,探究MN與AB、BC、AC的關(guān)系。DAEMNBC附加題:若將上題中BD改為ZABC的平分線，其它條件不變，則上題結(jié)論是否成立。若BD、CE分別為ZABC和ZACB的平分線，其它條件不變，以上結(jié)論是否成立？(畫圖、證明)8、ABC中，AB=AC，ZBAC=，在AB、AC上截取AD、AE，且AD=AE，連結(jié)DE。如圖1所示，貝煬證BD=CE，如圖2所示，將ADE逆時針針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，連結(jié)BD、CE。判斷BD與CE的數(shù)量關(guān)系及

9、BD、CE延長線所夾銳角的度數(shù)。DEEDBCCBB(2)點G、F分別是等腰ABC、等腰AADE底邊的中點，ZBAC=ZDAE=DC點P是線段CD的中點，試探索ZGPF與的關(guān)系，并加以證明。FEDPCBG9、我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形請解答下列問題：寫出一個你所學過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；如圖1,在AABC中，AB=AC，點D在BC上，且CD=CA,點E、F分別為BC、AD的中點，連接EF并延長交AB于點G.求證：四邊形AGEC是等鄰角四邊形；如圖2,若點D在AABC的內(nèi)部，(2)中的其他條件不變，EF與CD交于點H.圖中是否存在等鄰角四邊形，

10、若存在，指出是哪個四邊形，不必證明；若不存在，請說明理由.圖1酊1、在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB，BC，CD，DA的中點，順次連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE。請判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明；試添加一個條件，使四邊形EFGH是菱形，并說明理由。2、如圖，在四邊形ABC中,AB=AD,CB=CD,點M,N,P,Q分別是AB,BC,CD,DA的中點，求證：四邊形MNPQ是矩形.小結(jié)：中點四邊形:對角線的四邊形的中點四邊形是菱形對角線的四邊形的中點四邊形是矩形對角線的四邊形的中點四邊形是正方形對角線的四邊形的中點四邊形是平行四邊形(1)順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是順次連接平

11、行四邊形各邊中點所得的四邊形是順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是)曲順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是練習題：1、順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是(A.矩形B.直角梯形C.菱形D.正方形2、如圖，小區(qū)的一角有一塊形狀為等梯形的空地，為了美化小區(qū)，社區(qū)居委會計劃在空地上建一個四邊形的水池，使水池的四個頂點恰好在梯形各邊的中點上，則水池的形狀一定是A、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形3、.順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形，則下列四邊形滿足條件的是()平行四邊形菱形等腰梯形對角線互相垂直的四邊形A.B.C.D.4、順次連接四邊

12、形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是A.菱形B.對角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對角線相等的四邊形如圖，在梯形ABCD中，ABCD,AD=BC，點E,F,G,H分別是AB,BC，CD，DA的中點，則).B.ZGHE=ZHEF下列結(jié)論一定正確的是(A.ZHGF=ZGHEC.ZHEF=ZEFGD.ZHGF=ZHEF6、如圖，依次連結(jié)第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個矩形的面積為1,則第n個矩形的面積為。7、我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.若一個四邊形ABCD的中點四邊形是一個矩形，則四邊形ABCD可以是8、如圖，點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點，當四邊形ABCD的邊至少滿足條件時，四邊形EFGH是菱形.9、如圖，四邊形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC丄BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形，如此進行下去,得到四ABCD,再順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形ABCD111111112222A1