8.題型八 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題

1、題型八二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題 (10 年 6 考)類型一最大利潤問題(2018、2017、2013 年 22 題，2012 年 21 題)典例精講例 1某運(yùn)動(dòng)品牌銷售商發(fā)現(xiàn)某種運(yùn)動(dòng)鞋市場需求量較大，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)月銷售量 y(雙)與銷售單價(jià) x(元)1之間的函數(shù)關(guān)系為 yx800，而該種運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)價(jià) z(元)與銷售單價(jià) x(元)之間的函數(shù)關(guān)系為 z x240.5已知銷售商每月支付員工工資和場地租金等費(fèi)用總計(jì) 20000 元(注：月獲利月銷售總額月進(jìn)貨總價(jià) 工資和租金費(fèi)用)(1)求月獲利 W(元)與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售單價(jià) x 為何值時(shí)，月獲利最大，最大值為多少？(3)若該銷售商

2、銷售這種品牌運(yùn)動(dòng)鞋的月獲利不低于 2.2 萬元，請確定銷售單價(jià)的范圍在此情況下，要使 銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？【分層分析】(1)根據(jù)題意可知每雙鞋的利潤為_，根據(jù)月獲利每月的銷售量每雙運(yùn)動(dòng)鞋的利潤 工資和租金費(fèi)用，可得月利潤 W_；(2)由(1)知 W 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為二次函數(shù)，可將其配方成頂點(diǎn)式為 W_， 利用二次 函數(shù)性質(zhì)可求月利潤的最大值(3)要確定銷售單價(jià)的范圍，即確定月獲利不低于2.2 萬元，不高于最大值時(shí) x 的取值即可，要求定價(jià)，即找 出銷售量最大，銷售單價(jià)最低時(shí) x 的取值即可求解1 4解：(1)月獲利 W(xz)y20000(x x240)(x800

3、)20000 x2880 x212000；5 54 4(2)W x2880 x212000 (x550)230000，5 54 0，5當(dāng)銷售單價(jià)為 550 元時(shí)，月獲利最大，最大值為 30000 元；4(3)當(dāng)月獲利為 2.2 萬元時(shí)，即 (x550)23000022000，解得 x 450，x 650.5 1 2畫出 W 關(guān)于 x 的函數(shù)圖象的草圖(如解圖)，利用圖象可知要使月獲利不低于 2.2 萬元，銷售單價(jià)應(yīng)在 450 元到 650 元之間銷售單價(jià)越低，銷售量越大，又要使月獲利不低于 2.2 萬元，銷售單價(jià)應(yīng)定為 450 元x 例 1 題解圖滿分技法 詳見本書 P59針對訓(xùn)練1. (20

4、20 合肥肥東縣二模)某水果店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種高檔水果共 400 千克，每千克的售價(jià)、成本與購進(jìn) 數(shù)量(千克)之間關(guān)系如表：甲乙每千克售價(jià)(元) 0.1x1000.2x120(0 x200) 600050(200 x400)每千克成本(元)5060(1)若甲、乙兩種水果全部售完，求水果店獲得總利潤 y(元)與購進(jìn)乙種水果 x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式(其他 成本不計(jì))；(2)若購進(jìn)兩種水果都不少于 100 千克，當(dāng)兩種水果全部售完，能獲得的最大利潤是多少？24 46 類型二拋物線型問題 (2012 年 23 題)典例精講例 2 如圖，某小區(qū)在墻體 OM 上的點(diǎn) A 處安裝一拋物線型遮陽棚，現(xiàn)以

5、地面和墻體分別為 x 軸和 y 軸建立1平面直角坐標(biāo)系，已知遮陽棚的高度 y(m)與地面水平距離 x(m)之間的關(guān)系式可以用 y x25bxc 表示，24 21且拋物線經(jīng)過 B(2， )，C(5， )5 5請根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)求遮陽棚跨度 ON 的長；(3)現(xiàn)準(zhǔn)備在拋物線上一點(diǎn) E 處，安裝一直角形鋼架 GEF 對遮陽棚進(jìn)行加固(點(diǎn) F，G 分別在 x 軸，y 軸上， 且 EGx 軸，EFy 軸)，現(xiàn)有庫存 10 米的鋼材是否夠用？例 2 題圖【分層分析】(1)利用待定系數(shù)法可求拋物線關(guān)系式；(2)令 y0，解得關(guān)于 x 一元二次方程，即可求解；(3

6、) 因?yàn)辄c(diǎn) E 在拋物線上，則可用含 x 的式子表示 E 點(diǎn)坐標(biāo)為_，又因?yàn)辄c(diǎn) F，G 分別在 x 軸，y 軸上， 則可用含 x 的代數(shù)式表示 GE_，EF_，再根據(jù) GEEF 的函數(shù)關(guān)系式，判斷其最值與 10 的大小關(guān)系即可判斷鋼材是否夠用 2bc b5 5 5解：(1)將點(diǎn) B、C 的坐標(biāo)代入拋物線函數(shù)關(guān)系式得： ，解得 ，21 1655bc c5 51 6 16拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 y x2 x ；5 5 51 6 16(2)y x2 x ，令 y0，5 5 5解得 x2(舍去)或 8，ON8；1 6 16(3)設(shè)點(diǎn) E(x， x2 x )，5 5 51 6 16由題意得 GEEFx x

7、2 x ，5 5 51 11 16 1 1 11 37整理得 GEEF x2 x (x211x16) (x )2 ，5 5 5 5 5 2 4點(diǎn) G 在點(diǎn) A 的下方，0 x6.1 0，51GEEF 的最大值為 9 ，419 10.現(xiàn)有庫存 10 米的鋼材夠用 4滿分技法 詳見本書 P602類型三幾何面積最大值問題 (2015 年 22 題)典例精講例 3 如圖，用一根長度為 18 米的原材料制作一個(gè)矩形窗戶邊框(即矩形 ABFE 和矩形 DCFE)，原材料剛好 全部用完，設(shè)窗戶邊框 AB 長度為 x 米，窗戶總面積為 S 平方米(注：窗戶邊框粗細(xì)忽略不計(jì))例 3 題圖(1)求 S 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若窗戶邊框 AB 的長度不少于 2 米，且邊框 AB 的長度小于 BC 的長度，求此時(shí)窗戶總面積 S 的最大值 【分層分析】(1)直接利用矩形面積公式可以求得 S 與 x 的函數(shù)表達(dá)式；(2)根據(jù)窗戶邊框 AB 的長度不少于 2 米，且邊框 AB 的長度小于 BC 的長度可以得到關(guān)于 x 的不等式為_，解不等式即可得到 x 的取值范圍，然后根據(jù)(1)中的函數(shù)解析式結(jié)合二次函數(shù)的 性質(zhì)即可求解解：(1)由題意可得，Sx183x 3 x29x， 2 23即 S 與 x 的函數(shù)表達(dá)式是 S x229x；18