利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限

1、利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限第1頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一一、 引例1. 變速直線運(yùn)動的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為則 到 的平均速度為而在 時刻的瞬時速度為第2頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一2. 曲線的切線斜率曲線在 M 點(diǎn)處的切線割線 M N 的極限位置 M T割線 M N 的斜率切線 MT 的斜率=割線MN的斜率的極限第3頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .為函數(shù)關(guān)于自變量的瞬時變化率的問題第4頁，共33頁，2022年，5月20日，1

2、3點(diǎn)51分，星期一二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1 . 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點(diǎn)處可導(dǎo), 在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù). 若上述極限不存在 ,在點(diǎn) 不可導(dǎo). 若也稱在就說函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為無窮大 .第5頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一在 時刻的瞬時速度運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)曲線在 M 點(diǎn)處的切線斜率第6頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一1. 設(shè)存在 , 則2. 已知則解: 3. 設(shè)存在, 且求所以第7頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一4. 設(shè)存在, 求極限解: 原式第8頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)5

3、1分，星期一 存在,在點(diǎn)的某個右 鄰域內(nèi)則稱此極限值為在 處的右 導(dǎo)數(shù),記作(左)(左)定義2 . 設(shè)函數(shù)有定義,定理2. 存在不存在單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限第9頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一例如,在 x = 0 處有第10頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo). 若函數(shù)與則稱在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間 上可導(dǎo).且第11頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一例1. 求函數(shù)(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù). 解:即例2. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解: 即第

4、12頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一說明：對一般冪函數(shù)( 為常數(shù)) 例如，第13頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P94) 第14頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一四、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與 x 軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與 x 軸垂直 .曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:第15頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一例7. 問曲線哪一點(diǎn)有垂直切線 ? 哪一點(diǎn)處的切線與直線平行 ? 寫出其切線方程.解

5、:令得對應(yīng)則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn) (0 , 0) 有垂直切線第16頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一五、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證: 設(shè)在點(diǎn) x 處可導(dǎo),存在 ,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù) .注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).即第17頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一判斷可導(dǎo)性不連續(xù), 一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);第18頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一在求. 設(shè)其中在因故正

6、確解法:時, 下列做法是否正確?處連續(xù),第19頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 第20頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 定理1.的和、差、積、商 (除分母為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo),且第21頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.推論:( C為常數(shù) )( C為常數(shù) )第22頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一例1. 解:第23頁，共33頁

7、，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一例2. 求證證: 第24頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 例1. 求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解: 設(shè)則, 則第25頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一在點(diǎn) x 可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn) x 可導(dǎo),例2. 求下列導(dǎo)數(shù):解: (1)(2)(3)第26頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一例如,關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.第27頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一例3. 設(shè)求解:例4. 設(shè)解:第28頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)第29頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一例7. 求解:關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)第30頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期一例8. 設(shè)求解:第31頁，共33頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星