函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性

1、函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性第1頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一一、單調性的判別法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第2頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一定理1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一證應用拉格朗日中值定理，得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第4頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一例1解注意: 函數(shù)的單調性是一個區(qū)間上的性質，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第5頁，共5

2、9頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一說明：1.此定理只給出了函數(shù)在某個區(qū)間上單調的充分條件，而不是必要條件。2. 區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零或導數(shù)不存在,不影響區(qū)間的單調性.只需用導數(shù)為零或導數(shù)不存在的點來劃分定義區(qū)間，就能保證函數(shù)的各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號，從而使函數(shù)在各個部分區(qū)間上單調。又例例如機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第6頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一定義: 若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調區(qū)間.導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調區(qū)間的分界點方法:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第7頁，共59頁，2022年，

3、5月20日，9點33分，星期一例2解單調區(qū)間為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第8頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一例3解單調區(qū)間為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一例4證機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第10頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一例5證機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一例6證機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

4、 證明第13頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明1利用單調性證：第14頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明2利用單調性證第15頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明3利用中值定理證第16頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明1利用單調性證列表x0_0+0第17頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明2利用中

5、值定理證由中值定理知 ，第18頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明3利用泰勒公式證第19頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一二、曲線的凹凸性問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第20頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一定義機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第21頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第22頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分

6、，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第23頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第24頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第25頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一定理2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第26頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第27頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第28頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期

7、一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 由定義2，(1)成立。同理可以證明(2)。第29頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一例10解注意到,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第30頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一推論：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第31頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一例11解：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1)(2)第32頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一三、曲線的拐點及其求法1、定義注意: 拐點處的切線必在拐點處穿過曲線。2、拐點的求法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

8、第33頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一證機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第34頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一例12解凹的凸的凹的拐點拐點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第35頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一注意:例13解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第36頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求函數(shù) f (x) 的拐點的步驟：注意：例第37頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一定理5證明：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第38頁，共

9、59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一例14解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第39頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一四、漸近線定義:1.鉛直漸近線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第40頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一例如有鉛直漸近線兩條:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第41頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第42頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一3.斜漸近線斜漸近線求法:顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。機

10、動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第43頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一證明：由漸近線的定義，有要使此時成立，必須機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第44頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一注意:例15解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第45頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第46頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第47頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一五、小結1. 單調性的判別（它是拉格朗日中值定理的重要應

11、用）.3. 應用：利用函數(shù)的單調性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.單調性2. 單調區(qū)間的求法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第48頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一曲線的彎曲方向凹凸性;改變彎曲方向的點拐點;1 凹凸性的判定.2 拐點的求法.凹凸性及拐點漸近線的求法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第49頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一習題(3-4)P151 3 (2)(5) ; 4 (2)(3)(4) ; 8 (2)(4)(6) ; 9 (3) ; 11；12 ; 13 ; 作業(yè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第50頁，共59頁

12、，2022年，5月20日，9點33分，星期一思考題1解答不能斷定.例但機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考題1第51頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一當 時，當 時，注意 可以任意大，故在 點的任何鄰域內(nèi)， 都不單調遞增機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第52頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一思考題2解答例機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考題2第53頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一思考題 3 解答機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考題3第54頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一思考與練習上則或的大小順序是 ( )提示: 利用單調增加 ,及B1. 設在機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第55頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一 ; .2. 曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及 ;第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第56頁，共59頁，2022年，5月20日，9點33分，星期一1.求證曲線 有位于一直線的三個拐點.證明：備