函數(shù)與極坐標(biāo)

1、函數(shù)與極坐標(biāo)第1頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一一、區(qū)間和鄰域設(shè)實(shí)數(shù)a 和 b，取ab, 數(shù)集x | axb,稱為開區(qū)間，記（a，b），即（a，b）= x | axb. 數(shù)集 x | axb 稱為閉區(qū)間，記a，b，即 a，b=x | axb.第2頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 從數(shù)軸上看，這些有限區(qū)間是長度為有限的線段. 類似地 a，b)=x | axb， (a，b=x | axb，稱為半開半閉區(qū)間.以上區(qū)間都稱為有限區(qū)間，區(qū)間長度為b a. 此外還有所謂無限區(qū)間, 引進(jìn)記號+ (讀作正無窮大)和-(讀作負(fù)無窮大), 例如a，+) = x |

2、ax,(-，b) = x | xb.全體實(shí)數(shù)的集合R也可記作(, +), 它也是無窮區(qū)間.第3頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 設(shè)是任一正數(shù), 則開區(qū)間(a , b )稱為點(diǎn)a 的 鄰域，記為 U(a, ) =x | |xa| . 點(diǎn)集 x | 0|xa| 稱為點(diǎn)a 的去心鄰域, 如圖 , 記作 x | 0|xa| 第4頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一在平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)集二、函數(shù) 定義1 設(shè)D是R的非空子集，則從D到R的對應(yīng)關(guān)系f 稱為定義在D上的函數(shù)，記為 y = f (x)，xD.其中x稱為自變量，y稱為因變量, D稱為函數(shù) f 的定義域，

3、記為Df .集合Rf = y | y =f (x)，xD 為函數(shù) f 的值域. (x，y)| y =f (x)，xD 稱為函數(shù) y =f (x)，xD的圖像第5頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 例1 求函數(shù) 的定義域，值域，并畫出其圖像.證明數(shù)列解 定義域 1 x2 0， 即 D = 1, 1.值域 Rf = y |y0. 圖像為半圓(如圖)第6頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一例2 絕對值函數(shù)定義域 D = (，+ ). 值域 Rf = 0，+，圖像如圖.第7頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一例3 符號函數(shù)圖像如圖.第8頁，

4、共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一例4 取整函數(shù) y = x，表示不超過x的最大整數(shù). 圖像如圖.如1.25 = 1，3.5 = 4，1 = 1. 從例2到例4看到，有時(shí)一個(gè)函數(shù)要用幾個(gè)式子來表示. 這種在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)關(guān)系用幾個(gè)不同式子表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).第9頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一三、初等函數(shù) 1. 基本初等函數(shù) . 初等數(shù)學(xué)對下面六類函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)的性態(tài)進(jìn)行了討論： 常數(shù)函數(shù) y=C (C是常數(shù))； 冪函數(shù) y= xa (aR);指數(shù)函數(shù) y= ax (a 0，且a1);對數(shù)函數(shù) y= logax ( a 0

5、，且a1); 三角函數(shù) y= sinx，y= cosx，y= tanx，y= cotx；反三角函數(shù) y= arcsinx，y= arccosx，y= arctanx.這六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第10頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一2. 反函數(shù) 在函數(shù)定義中，如果 f 是D到R的一一映射，則它的逆映射f -1稱為函數(shù)的反函數(shù)，記為x = f -1(y). 顯然 f 1的定義域?yàn)镽f，值域?yàn)镈. 例如，函數(shù)y= x3，xR是一一映射，所以它的反函數(shù)存在，其反函數(shù)為 習(xí)慣上寫為yR.xR.第11頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 一般地，y = f

6、(x)，xD的反函數(shù)記成 y = f -1(x)，xf (D). 把函數(shù) y = f (x)和它的反函數(shù) y = f -1(x)的圖像畫在同一坐標(biāo)平面上，這兩個(gè)圖像關(guān)于直線是對稱的(如圖). 第12頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 函數(shù) g 在D上的值域 g(D) 必須含在 f 的定義域內(nèi)，即g (D)Df. 否則，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 3. 復(fù)合函數(shù) 設(shè)函數(shù) y = f (u)的定義域?yàn)镈1，函數(shù)u=g (x)在D上有定義，且 g(D) D1，則由下式確定的函數(shù) y = f g (x)，xD 函數(shù)g與函數(shù) f 能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是:稱為由函數(shù) y = f (u)和函數(shù)

7、u = g (x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)镈，變量u稱為中間變量. 兩個(gè)及多個(gè)函數(shù)能夠構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的過程叫函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算.第13頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 復(fù)合函數(shù)y= arcsin(x2-1) 的定義域?yàn)?例5 函數(shù) y = arcsin(x2 1)可以看成是函數(shù) y = f (u) = arcsinu和u=g (x)= x2 1 y = f (u)的定義域U0=u | |u|1, u = g (x) 的定義域D=x | x + ，復(fù)合而成的函數(shù). 第14頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一4. 四則運(yùn)算 設(shè)函數(shù)f (x), g(x)的定

8、義域分別為D1, D2, 記 D= D1D2, 且D (是空集), 在D上, 通過加、減、乘、除四則運(yùn)算可定義新的函數(shù) f (x)g (x) f (x)g (x) (g (x)0).第15頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一5. 初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算得到的可用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù). 例如，等都是初等函數(shù).第16頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一四、函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈. 如果存在數(shù)M1，使得對任一xD都有則稱函數(shù)f (x)在D上有上界，M1稱為函數(shù)f (x)在D上的一個(gè)上界.如果存

9、在數(shù)M2，使得對任一xD都有 f (x)M1 f (x)M2則稱函數(shù)f (x)在D上有下界，M2稱為函數(shù)f (x)在D上的一個(gè)下界.如果存在數(shù)M，使得對任一xD都有 f (x)|M|則稱函數(shù) f (x)在D上有界. 如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f (x)在D上無界. 第17頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 y=ex在(-, +)上無界，如定義域取有限區(qū)間，則它也是有界的.例如 y=sinx在(-，+)上有界；第18頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一2. 單調(diào)性 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈，如果對于D上的任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1 x2時(shí)，恒有則稱

10、函數(shù)f (x)在區(qū)間D上是單調(diào)增加的；如果恒有 f (x1) f (x2) f (x1) f (x2)則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間D上是單調(diào)減少的.第19頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一3. 奇偶性 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對稱. 如果對于任意xD，都有則稱函數(shù)f (x)為偶函數(shù)；如果對于任意xD，都有 f (x) = f (x) f (x) = f (x)則稱函數(shù)f (x)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)軸對稱.第20頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 則稱 f (x)為周期函數(shù)，T 稱為 f (x)的周期，通常

11、說周期函數(shù)的周期是指最小正周期.4. 周期性 設(shè)函數(shù) f (x)的定義域?yàn)镈. 如果存在一個(gè)正數(shù)T，使得對于任意 xD有（xT）D，且恒成立， f (T+x) = f (x) 例如，函數(shù)sinx，cosx都是以2為周期的周期函數(shù)； 函數(shù)tanx是以 為周期的周期函數(shù).第21頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 其中r表示點(diǎn)P到極點(diǎn)O的距離, 表示射線OP與極軸正向的夾角.這里五、極坐標(biāo) 在平面上定義由一定點(diǎn)和一條定軸所組成的坐標(biāo)系稱為極坐標(biāo)系，其中定點(diǎn)稱為極點(diǎn)，定軸稱為極軸.如圖坐標(biāo)系中的點(diǎn) P 用有序數(shù)(r , )表示. r0, 0 2.第22頁，共28頁，2022年，5

12、月20日，9點(diǎn)23分，星期一 若取極點(diǎn)作為原點(diǎn)，極軸作為x軸建立直角坐標(biāo)系，這樣得到極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：或(2) x = r cos，y = r sin (1) 建立 r 與 關(guān)系的等式稱為極坐標(biāo)方程，如 r =1， 表示圓心在極點(diǎn)，半徑為1的圓. 利用式(1)、(2)可以把直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程進(jìn)行互化.第23頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 r2 = 2rcos, 例6 將極坐標(biāo)方程 r =2cos 解 方程兩邊同乘以 r 得化為直角坐標(biāo)方程，并說明它表示什么曲線. 則 x2 + y2 = 2x (x-1)2 + y2 = 1,所以它表示圓心為(1,0)，半徑為1的圓.第24頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 r = a(1 + cos), 下面給幾個(gè)特殊的極坐標(biāo)方程： (1) 心形線 (外擺線的一種)如圖極坐標(biāo)方程為 化為直角方程為第25頁，共28頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)23分，星期一 r2 = a2cos2 下面給幾個(gè)特殊的極坐標(biāo)方程： (2) 雙紐線, 如圖極坐標(biāo)方程為 化為直角