剛體轉動動力學基礎

1、剛體轉動動力學基礎1第1頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一1.1 剛體的角位置與角速度描述方法 剛體 剛體坐標系與參考坐標系 剛體的運動自由度 自由剛體位置和運動的描述 定軸轉動剛體 定點轉動剛體基本概念2022/9/32第2頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一一 質點的位置向量及其表示方法1.1 剛體的角位置與角速度描述方法 廣義坐標 列向量 方向余弦 空間自由質點的位置，可用三個獨立參數(shù)表示，也可用多于三個的參數(shù)來表示，而后者必須滿足約束條件。 2022/9/33第3頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一二 定點轉動剛體角位

2、置的廣義坐標表示1.1 剛體的角位置與角速度描述方法 三個非共線向量自由剛體六個參數(shù)獨立 定點剛體三個參數(shù)獨立2022/9/34第4頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一1.1 剛體的角位置與角速度描述方法三 定點轉動剛體角位置的方向余弦描述采用三個正交向量作為剛體坐標系，其方向余弦表示為：確定剛體坐標系三根軸的九個方向余弦（一個33的矩陣），可以確定剛體的角位置。2022/9/35第5頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一三 定點轉動剛體角位置的方向余弦描述對于剛體的一個角位置，有唯一的一個方向余弦矩陣，反之亦然。 1.1 剛體的角位置與角速度描述方法

3、2022/9/36第6頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一方向余弦矩陣的應用：坐標變換基本公式討論：2022/9/37第7頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一討論：方向余弦矩陣的性質（1）兩個方向余弦矩陣互為轉置矩陣 （2）兩個方向余弦矩陣互為逆矩陣 （3）方向余弦矩陣是正交矩陣 約束方程2022/9/38第8頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一方向余弦矩陣的約束方程討論：2022/9/39第9頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一四 定點轉動剛體角位置的歐拉角描述1.1 剛體的角位置與角速度描述方法選用三個

4、獨立的角度來表示定點轉動剛體的方位。依次的三次轉動，轉動軸的選取產(chǎn)生兩類歐拉角。2022/9/310第10頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一第一類歐拉角 (轉動順序為：Z-X-Z)四 定點轉動剛體角位置的歐拉角描述2022/9/311第11頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一第一類歐拉角的線性化四 定點轉動剛體角位置的歐拉角描述2022/9/312第12頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一第二類歐拉角（轉動順序為：X-Y-Z）四 定點轉動剛體角位置的歐拉角描述2022/9/313第13頁，共52頁，2022年，5月20日，11

5、點16分，星期一第二類歐拉角的線性化四 定點轉動剛體角位置的歐拉角描述2022/9/314第14頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一五 定點轉動剛體角速度的歐拉角描述1.1 剛體的角位置與角速度描述方法2022/9/315第15頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一為了表示旋轉質量陀螺儀動力學方程的方便，求出剛體轉動角速度在中間坐標系中的投影： 2022/9/316第16頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一1.1 剛體的角位置與角速度描述方法五 定點轉動剛體角速度的歐拉角描述2022/9/317第17頁，共52頁，2022年，5月

6、20日，11點16分，星期一自學內容：方向余弦矩陣的導數(shù)2022/9/318第18頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一1.2 常用參考坐標系一 慣性坐標系1.日心慣性坐標系2.地心慣性坐標系 日心坐標系的原點取在太陽的中心，三根軸指向確定的恒星。地心坐標系的原點設在地球中心處，x和y軸位于地球赤道平面并分別指向確定的恒星，z軸與地球自轉軸（地球極軸）重合，并指向北極星。2022/9/319第19頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一1.2 常用參考坐標系二 地球坐標系及其旋轉角速度坐標系原點設在地球中心, 三根軸與地球相固結。 2022/9/320第2

7、0頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一1.2 常用參考坐標系三 地理坐標系1. 地固地理坐標系 坐標系的原點選在地球上任一點，三根軸與地球固結。2022/9/321第21頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一1.2 常用參考坐標系2. 當?shù)氐乩碜鴺讼?原點設在沿地球表面運動的物體上（通常選質心），三根軸和地固地理坐標系的指向相同，不與地球固結。 除隨地球自轉以外，還隨運動物體相對地球運動，但不參與物體的俯仰、傾斜等運動。 隨運動物體在地球表面運動，故也稱之為動地理坐標系。 KVNE2022/9/322第22頁，共52頁，2022年，5月20日，11點1

8、6分，星期一1.2 常用參考坐標系2. 當?shù)氐乩碜鴺讼?2022/9/323第23頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一1.2 常用參考坐標系四 地平坐標系原點設在運載體質心，y軸水平并沿載體運動方向，z軸鉛直向上。 2022/9/324第24頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一1.2 常用參考坐標系五 載體坐標系坐標原點設在載體質心，三個坐標軸與載體相固結。xyz2022/9/325第25頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一1.2 常用參考坐標系六 陀螺坐標系xyz O2022/9/326第26頁，共52頁，2022年，5月20

9、日，11點16分，星期一哥氏定理描述的是一般的空間自由質點相對于不同參考系的速度和加速度。 1.3 剛體定點轉動的一般原理一 哥氏定理與哥氏加速度兩個參考系之間存在相對轉動時，質點的速度和加速度與兩坐標系相對靜止時有所差別。2022/9/327第27頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一兩個參考系之間相對靜止時，質點的速度和加速度沒有差別n系b系一 哥氏定理與哥氏加速度2022/9/328第28頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一兩個參考系之間相對轉動時大小變化b系的方位變化一 哥氏定理與哥氏加速度2022/9/329第29頁，共52頁，2022年，5

10、月20日，11點16分，星期一兩個參考系之間相對轉動時于是：一 哥氏定理與哥氏加速度2022/9/330第30頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一哥氏定理的向量表示 哥氏定理說明：同一個向量相對兩個不同參考坐標系對時間取導數(shù)之間的關系，只有在兩個參考系之間無相對轉動時，二者才相等。有時稱左邊為絕對導數(shù)，右邊第一項為相對導數(shù)。 一 哥氏定理與哥氏加速度2022/9/331第31頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一由哥氏定理可得到速度合成公式質點相對于參考系的速度。坐標系b相對于參考系的速度質點相對于坐標系b的速度附加速度牽連速度一 哥氏定理與哥氏加速度

11、2022/9/332第32頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一對速度合成公式再取一次時間導數(shù)，可得到加速度之間的向量合成關系： 一 哥氏定理與哥氏加速度2022/9/333第33頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一一 哥氏定理與哥氏加速度動點在參考坐標系中的視加速度 動點的愛因斯坦加速度，是動系線性加速運動產(chǎn)生的。 動點在動坐標系中的相對加速度 2022/9/334第34頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一一 哥氏定理與哥氏加速度動點的哥氏加速度 動點的歐拉加速度 動點的向心加速度 牽連加速度 2022/9/335第35頁，共5

12、2頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一討論：用哥氏定理研究近地表面運動物體 e 系：地球坐標系i 系 地心慣性系2022/9/336第36頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一討論：用哥氏定理研究近地表面運動物體 e 系：地球坐標系i 系 地心慣性系2022/9/337第37頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一二 非慣性系中的牛頓定律慣性系中的牛頓第二定律： 根據(jù)哥氏定理： ：牽連慣性力 ：哥氏慣性力 2022/9/338第38頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一二 非慣性系中的牛頓定律達朗貝爾原理的一般形式 2022

13、/9/339第39頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一三 轉動慣量、慣量橢球與慣性主軸剛體對任意軸轉動慣量的表達式 剛體對任意軸的轉動慣量在直角坐標系中的表達式 2022/9/340第40頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一討論：轉動慣量的求解 求下圖裝置對不同坐標系的轉動慣量2022/9/341第41頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一求圓環(huán)與勻質圓盤的轉動慣量圓環(huán)勻質圓盤2022/9/342第42頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一轉動慣量矩陣 三 轉動慣量、慣量橢球與慣性主軸2022/9/343第43

14、頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一慣量橢球三 轉動慣量、慣量橢球與慣性主軸 過坐標原點到橢球面上的任意點的距離，反映了剛體對該任意軸的轉動慣量。該橢球可用來描述剛體對所有過原點的軸的轉動慣量的情況，稱之為剛體的慣量橢球或慣性橢球。 2022/9/344第44頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一 慣性主軸三 轉動慣量、慣量橢球與慣性主軸如果剛體對某根軸的慣量積為零，則稱該軸為剛體的慣性主軸，對于慣量橢球的三根對稱軸，剛體的慣量積是為零，所以這三根對稱軸是剛體的慣性主軸。 2022/9/345第45頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星

15、期一陀螺轉子的轉動慣量 三 轉動慣量、慣量橢球與慣性主軸轉子形狀對自轉軸對稱，自轉軸是轉子的慣性主軸；包含自轉軸的任何平面都是轉子的對稱平面，可判斷出垂直于自轉軸的任意軸均是轉子的慣性主軸。在轉子赤道平面內的任意赤道軸都是垂直于自轉軸的，故任意赤道軸也均是轉子的慣性主軸。 對于旋轉質量陀螺儀，轉子的轉動慣量是一個重要的參數(shù)，為了在有限的儀表體積內使轉子繞自轉軸有極大的轉動慣量，陀螺電機與一般電動機不同，即“內定子、外轉子”結構，使質量分布遠離自轉軸。而且，轉子采用金屬材料，使其具有較大的體積密度。 2022/9/346第46頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一四 角動量、

16、角動量定理與歐拉動力學方程質點的角動量及角動量定理 2022/9/347第47頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一定點轉動剛體的角動量 四 角動量、角動量定理與歐拉動力學方程2022/9/348第48頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一四 角動量、角動量定理與歐拉動力學方程定點轉動剛體的角動量 慣性主軸2022/9/349第49頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一剛體的角動量定理與歐拉動力學方程 四 角動量、角動量定理與歐拉動力學方程哥氏定理角動量定理2022/9/350第50頁，共52頁，2022年，5月20日，11點16分，星期一剛體的角動量定理與歐拉動力學方程四