高中數(shù)學(xué)必修二 專題05 立體幾何的直觀圖與簡(jiǎn)單幾何體的表面積、體積（重難點(diǎn)突破）（含答案）

1、專題05 立體幾何的直觀圖與簡(jiǎn)單幾何體的表面積、體積一、考情分析二、經(jīng)驗(yàn)分析一、水平放置的平面圖形的直觀圖1斜二測(cè)畫法及其規(guī)則對(duì)于平面多邊形，我們常用斜二測(cè)畫法畫它們的直觀圖.斜二測(cè)畫法是一種特殊的畫直觀圖的方法，其畫法規(guī)則是： （1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，且使xOy= ，它們確定的平面表示水平面.（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成 x軸或y軸的線段.（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度 ，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來的 .2水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法步驟（1）

2、畫軸：在已知圖形中建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系xOy，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，且使xOy=45.（2）定點(diǎn)：根據(jù)“原圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段；原圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來的一半”的規(guī)則，確定平面圖形的關(guān)鍵點(diǎn).（3）連線成圖：連接已確定的關(guān)鍵點(diǎn)，把坐標(biāo)軸擦去，得到水平放置的平面圖形的直觀圖.3建立坐標(biāo)系的原則（1）平面圖形中若有互相垂直的直線，一般取這兩條互相垂直的直線作為 （2）若平面圖形為軸對(duì)稱圖形，一般取對(duì)稱軸作為 ；若平面圖形為中心對(duì)稱圖形，一般取對(duì)稱中心為 （3）若

3、以上條件都不具備，則建系的原則是使多邊形的頂點(diǎn)盡可能多地落在 上4常見平面圖形的直觀圖原圖直觀圖二、中心投影與平行投影1投影的概念由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做 .其中，我們把光線叫做 ，把留下物體影子的屏幕叫做 .2中心投影（1）概念光由一點(diǎn)向外散射形成的投影，叫做 ,如圖所示.現(xiàn)實(shí)生活中見到的很多投影都是中心投影，如在電燈泡、蠟燭等點(diǎn)光源照射下物體的影子. （2）性質(zhì)中心投影的投影線相交于 . 平行于投影面放置的物體，點(diǎn)光源離物體越近，投影形成的影子越 . 例如，在電燈泡的照射下，物體后面的屏幕上會(huì)形成影子，而且隨物體距離燈泡（或屏幕）的遠(yuǎn)近，形

4、成的影子大小會(huì)有所不同.3平行投影（1）概念在一束平行光線照射下形成的投影，叫做 在平行投影中，投影線正對(duì)著投影面時(shí)，叫做 ，否則叫做斜投影如圖所示. 在日常生活中，常常把太陽光線看作平行光線. （2）性質(zhì)平行投影的投影線互相 .在平行投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與這個(gè)平面圖形的形狀和大小是完全 的.當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投影線時(shí)：()直線或線段的平行投影仍是 ；()平行直線的平行投影是 的直線；()平行于投影面的線段，它的投影與這條線段 ；()與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形 ；()在同一直線或平行直線上的兩條線段的平行投影的長(zhǎng)度比 這兩條線段的長(zhǎng)度比.三、空

5、間幾何體的三視圖1三視圖的概念(1)光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的 ;(2)光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的 ;(3)光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的 . 幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.如圖. 2三視圖的畫法規(guī)則（1）排列規(guī)則：一般地，側(cè)視圖在正視圖的 ，俯視圖在正視圖的 .如下圖：正側(cè)俯（2）畫法規(guī)則正視圖與俯視圖的長(zhǎng)度一致，即“ ”；側(cè)視圖和正視圖的高度一致，即“ ”；俯視圖與側(cè)視圖的寬度一致，即“ ”.（3）線條的規(guī)則能看見的輪廓線用 表示；不能看見的輪廓線用 表示.3常見幾何體的三視圖常見幾

6、何體正視圖側(cè)視圖俯視圖長(zhǎng)方體矩形矩形矩形正方體正方形正方形正方形圓柱矩形矩形圓圓錐等腰三角形等腰三角形圓圓臺(tái)等腰梯形等腰梯形兩個(gè)同心的圓球圓圓圓四、空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積的概念棱柱、棱錐、棱臺(tái)是由多個(gè)平面圖形圍成的多面體,它們的表面積就是各個(gè)面的面積之 ,因此,我們可以把多面體展開成平面圖形,利用平面圖形求面積的方法求多面體的表面積.2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積（1）側(cè)面積：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是由若干個(gè) 、 、 所組成的.側(cè)面展開圖的面積稱為幾何體的側(cè)面面積（即側(cè)面積）.由此可知，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積就是它們的各個(gè)側(cè)面的面積之和.（2）表面積：棱柱、棱錐、

7、棱臺(tái)的平面展開圖是將其所有 和 展開后形成的一個(gè)平面圖形，因而平面展開圖的面積就是它們的表面積.可見，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成這些幾何體的各個(gè)平面的面積之和，也可表示為： ，.3直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面面積（1）直棱柱的側(cè)面積：把直棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)沿一條側(cè)棱剪開后，得到的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形.如圖(1)所示，則直棱柱的側(cè)面面積為 (c為底面周長(zhǎng)，h為側(cè)棱長(zhǎng)).（2）正棱錐的側(cè)面積：正棱錐(底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的正投影是底面的中心)的側(cè)面展開圖是幾個(gè)全等的等腰三角形.如圖(2)所示，則正棱錐的側(cè)面面積為 (c為底面周長(zhǎng)，h為斜高,即側(cè)面等腰三角形底邊上的高). （3

8、）正棱臺(tái)的側(cè)面積：正棱臺(tái)(由正棱錐截得)的側(cè)面展開圖是幾個(gè)全等的等腰梯形.如圖(3)所示，則正棱臺(tái)的側(cè)面面積為 (c，c分別為上、下底面周長(zhǎng)，h為斜高,即側(cè)面等腰梯形的高). 4圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面面積圓柱（底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l）圓錐（底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l）圓臺(tái)（上、下底面半徑分別為r,r,母線長(zhǎng)為l）側(cè)面展開圖底面面積S底=_S底=r2S上底=r2，S下底=r2側(cè)面面積S側(cè)=2rlS側(cè)=_S側(cè)=l(r+r)表面積S表=2r(r+l)S表=r(r+l)S表=_四、空間幾何體的體積1柱體、椎體、臺(tái)體的高（1）棱柱（圓柱）的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，

9、這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離.圓柱的 即圓柱的高.（2）棱錐（圓錐）的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離.（3）棱臺(tái)（圓臺(tái)）的高是指兩個(gè) 之間的距離.2柱體、錐體、臺(tái)體的體積幾何體體積柱體V柱體= (S為底面面積，h為高),V圓柱=r2h(r為底面半徑，h為高)錐體V錐體=Sh(S為底面面積，h為高)，V圓錐= (r為底面半徑，h為高)臺(tái)體(S、S分別為上、下底面面積，h為高)，V圓臺(tái)=h(r2+rr+r2)(r、r分別為上、下底面半徑，h為高)【知識(shí)點(diǎn)四、組合體的表面積與體積】求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)

10、面應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求體積時(shí)也要先弄清組成，求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積，再相加或相減.三、重難點(diǎn)題型分析重難點(diǎn)題型突破1 空間幾何體的認(rèn)識(shí)例1（1）（2021浙江）如圖所示，在三棱臺(tái)ABCABC中，截去三棱錐AABC，則剩余部分是（ ）A三棱錐B四棱錐C三棱柱D組合體【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可判斷.【詳解】根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征可判斷，余下部分是四棱錐ABCCB故選：B.（2）（2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)幾何體中，是棱臺(tái)的是（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，觀察可得答案.【詳解】A項(xiàng)中的幾何體是棱柱B項(xiàng)中的幾

11、何體是棱錐；D項(xiàng)中的幾何體的棱AA，BB，CC，DD沒有交于一點(diǎn)，則D項(xiàng)中的幾何體不是棱臺(tái)；C項(xiàng)中的幾何體是由一個(gè)棱錐被一個(gè)平行于底面的平面截去一個(gè)棱錐剩余的部分，符合棱臺(tái)的定義，是棱臺(tái)故選：C（3）（2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下面圖形中，為棱錐的是（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，是棱錐，不是棱錐，是棱錐.故選：C【變式訓(xùn)練1-1】、（2021浙江）觀察下列四個(gè)幾何體，其中可看作是由兩個(gè)棱柱拼接而成的是_(填序號(hào)).【答案】【分析】根據(jù)棱柱的定義直觀分析即可求解.【詳解】可看作由一個(gè)四棱柱和一個(gè)三棱柱組合而成，

12、可看作由兩個(gè)四棱柱組合而成.顯然不是棱柱拼接而成.故答案為：【變式訓(xùn)練1-2】、（2021浙江高一單元測(cè)試）下列說法正確的是_(填序號(hào)).底面是正多邊形的棱錐為正棱錐；各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；各側(cè)面都是等腰三角形的棱錐為正棱錐；各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；底面是正多邊形且各側(cè)面全等的棱錐為正棱錐.【答案】【分析】根據(jù)正棱錐的定義結(jié)合反例可判斷各選項(xiàng)的正誤，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于，如果棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影不是正多邊形的中心，則此棱錐不是正棱錐，故錯(cuò)誤.對(duì)于，如圖（1），棱錐的頂點(diǎn)是圓錐的頂點(diǎn)，而底面多邊形是圓錐底面圓的內(nèi)接非正多邊形，此時(shí)棱錐滿足各側(cè)棱都相等，但不

13、是正棱錐，故錯(cuò)誤. 對(duì)于，如圖（2），側(cè)面都是等腰三角形，且它們?nèi)龋撊忮F不是正棱錐，故錯(cuò)誤. 對(duì)于，因?yàn)榈酌媸钦噙呅吻腋鱾?cè)面全等的棱錐為正棱錐，故頂點(diǎn)底面上的射影為正多邊形的中心，此時(shí)棱錐為正棱錐，故正確.故答案為：【變式訓(xùn)練1-3】、（多選題）（2020肇慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）下列命題正確的是（ ）A有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體為棱臺(tái)B用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)C棱錐是由一個(gè)底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體D球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面【答案】CD【分析】根據(jù)空間幾何體的定義，對(duì)選項(xiàng)中的

14、命題判斷正誤即可【詳解】解：對(duì)于A，有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交與一點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)于B，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC截面與底面平行，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由棱錐的定義知由一個(gè)底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐，正確；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，正確；故選：CD.例2（2020重慶萬州區(qū)萬州純陽中學(xué)校高二月考）（多選題）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是圓柱的一條母線，已知，則下列說法正確的是（ ）A圓柱的側(cè)面積為B圓柱的側(cè)面積為C圓柱的表面

15、積為D圓柱的表面積為【答案】BC【分析】根據(jù)，由，求得底面半徑，再根據(jù)母線，利用圓柱的側(cè)面積公式和表面積公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以圓柱的側(cè)面積是，圓柱的表面積是，故選：BC【變式訓(xùn)練2-1】、（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）（多選題）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，、為上兩點(diǎn)，且的長(zhǎng)為定值，則下面四個(gè)值中是定值的是（ ）A點(diǎn)到平面的距離B直線與平面所成的角C三棱錐的體積D的面積【答案】ACD【分析】由為上任意一點(diǎn)，知平面是確定，從而判斷A，而，因此與平面平行，根據(jù)直線與平面所成的角的定義可判斷B，由棱錐體積公式和三角形面積公式可判斷CD【詳解】平面就是平面，是

16、確定的平面，因此點(diǎn)到平面的距離為定值，A正確；平面即平面，而在直線上，因此與平面平行，到平面的距離為定值，但運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長(zhǎng)度在變化，因此直線與平面所成的角也在變化，B錯(cuò)誤；點(diǎn)到直線的距離是確定，而的長(zhǎng)度不變，因此為定值，又到平面的距離為定值，從而三棱錐的體積為定值，C正確；，到的距離為定值，的長(zhǎng)度不變，的面積為定值，D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)到平面的距離，直線與平面所成的角，棱錐的體積等知識(shí)，解題關(guān)鍵是抓住，由此得平面是確定的平面，再結(jié)合定點(diǎn)和定長(zhǎng)，從而確定各選項(xiàng)中的定值重難點(diǎn)題型突破2 直觀圖與斜二測(cè)畫法例3（1）（2020江蘇蘇州市高一期中）已知用斜二測(cè)畫法畫得的正方形

17、的直觀圖的面積為，那么原正方形的面積為（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則得到直觀圖的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)關(guān)系，即可求出相應(yīng)的面積.【詳解】設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則可知，高，對(duì)應(yīng)直觀圖的面積為，即，故原正方形的面積為，故選：C.（2）（2021浙江高一單元測(cè)試）如圖所示為水平放置的正方形，在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)為，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖，則四邊形的面積為_.【答案】【分析】用斜二測(cè)畫法畫出直觀圖后可求其面積.【詳解】用斜二測(cè)畫法畫出正方形的直觀圖如圖所示：其中，故四邊形的面積為，故答案為：.【變式訓(xùn)練3-1】、（2021浙江高一期末）如圖，是水平放置的的直觀圖，則的

18、周長(zhǎng)為_【答案】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則得到直角三角形的直角邊長(zhǎng)，用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知，所以，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握斜二測(cè)畫法的規(guī)則是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3-2】、（2021浙江麗水市高二月考）一個(gè)三角形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，則原三角形的面積等于_.【答案】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個(gè)平面圖形的面積與它的直觀圖的面積之間的關(guān)系是，先求出直觀圖即正三角形的面積，根據(jù)比值求出原三角形的面積即可【詳解】解：根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個(gè)平面圖形的面積與

19、它的直觀圖的面積之間的關(guān)系是，本題中直觀圖的面積為，所以原三角形的面積等于故答案為：【變式訓(xùn)練3-3】、（2021浙江）關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖，以下說法正確的是（ ）A等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B正方形的直觀圖為平行四邊形C梯形的直觀圖不是梯形D正三角形的直觀圖一定為等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的方法：平行于軸的線段長(zhǎng)度減半，水平長(zhǎng)度不變即可判斷.【詳解】由于直角在直觀圖中有的成為45，有的成為135；當(dāng)線段與x軸平行時(shí)，在直觀圖中長(zhǎng)度不變且仍與x軸平行，當(dāng)線段與x軸平行時(shí)，線段長(zhǎng)度減半，直角坐標(biāo)系變成斜坐標(biāo)系，而平行關(guān)系沒有改變.故選：B.【變式訓(xùn)練3-4】、如圖，已知

20、等腰三角形，是一個(gè)平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（ ） ABCD【答案】D【分析】利用斜二測(cè)畫法，由直觀圖作出原圖三角形，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，所以原平面圖形為：且，所以原平面圖形的面積是，故選D【變式訓(xùn)練3-5】、（2021河南洛陽市高一期末）已知水平放置的平面四邊形，用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正方形，如圖所示，則的周長(zhǎng)為（ ）A2B6CD8【答案】D【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法可換元原圖形，根據(jù)原圖形計(jì)算周長(zhǎng)即可.【詳解】由直觀圖可得原圖形如圖，根據(jù)斜二測(cè)畫法可知，,在中, ,又,所以四邊形的周長(zhǎng)為,故選：D：D重難點(diǎn)題型突破

21、3 三視圖與空間幾何體的表面積與體積例4（1）（2021全國(guó)高三專題練習(xí)（理）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD【答案】A【分析】先根據(jù)三視圖得到幾何體是底面是直角梯形的一個(gè)四棱錐，再根據(jù)錐體的體積計(jì)算公式求解即可.【詳解】根據(jù)幾何體的三祝圖可知，還原到正方體如圖，該幾何體是底面為直角梯形(上底是1，下底是，高是)，高為的四棱推，該幾何體的體積，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛: 思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；觀察正視圖和側(cè)視圖

22、找到幾何體前、后、左、右的高度；畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.（2）（2021浙江高三其他模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_【答案】【分析】根據(jù)三視圖確定空間幾何體的形狀，運(yùn)用體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由該幾何體的三視圖可知，該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)三棱錐的組合體，長(zhǎng)方體的體積為：，三棱錐的體積為：，故該幾何體的體積為故答案為：（3）（2021浙江高一單元測(cè)試）將半徑為4的半圓卷成一個(gè)圓錐，則圓錐底面半徑為_，圓錐的體積為_【答案】2， 【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖列方程計(jì)算圓錐的底面半徑，根據(jù)勾股定理計(jì)算圓錐的高，代入體積公式計(jì)算即可.【詳解】顯然圓錐的母線長(zhǎng)為 設(shè)圓錐的底面半徑為，則 即,所以圓錐的高圓錐的體積 故答案為：2，.【變式訓(xùn)練4-1】、（2021全國(guó)高三專題練習(xí)（理）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，最后利用球和棱柱的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體是由個(gè)半徑為的球和個(gè)高為，底面為等