高中數(shù)學(xué)必修二 第六章 6.4 6.4.3 第1課時

1、6.4.3余弦定理、正弦定理第1課時余弦定理知識點一余弦定理eq o(,sup4(01)三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍即a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC知識點二余弦定理的推論cosAeq o(,sup4(01)eq f(b2c2a2,2bc)，cosBeq o(,sup4(02)eq f(a2c2b2,2ac)，cosCeq o(,sup4(03)eq f(a2b2c2,2ab).知識點三解三角形(1)把三角形的eq o(,sup4(01)三個角A，B，C和它們的eq o(,sup4(02)對邊

2、a，b，c叫做三角形的元素(2)eq o(,sup4(03)已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形知識點四余弦定理及其推論的應(yīng)用應(yīng)用余弦定理及其推論可解決兩類解三角形的問題：一類是已知eq o(,sup4(01)兩邊及其夾角解三角形，另一類是已知eq o(,sup4(02)三邊解三角形1對余弦定理的理解(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立(2)結(jié)構(gòu)特征：“平方”“夾角”“余弦”(3)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系(4)主要功能：余弦定理的主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化2判定三角形的形狀(1

3、)有關(guān)三角形邊角關(guān)系解三角形問題，就是從“統(tǒng)一”入手，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想判斷三角形的形狀有兩條思路：化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系式化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系式(2)判定三角形形狀時經(jīng)常用到下列結(jié)論：在ABC中，若a2b2c2，則0A90；反之，若0A90，則a2b2c2.例如：在不等邊ABC中，a是最大的邊，若a2b2c2，則90A180；反之，若90Ab2c2.1判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)余弦定理只適用于已知三邊和已知兩邊及其夾角的情況()(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣()(3)已知ABC中的三邊，可結(jié)合余

4、弦定理判斷三角形的形狀()答案(1)(2)(3)2做一做(1)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a1，beq r(7)，ceq r(3)，則B_.(2)已知ABC的三邊分別為2,3,4，則此三角形是_三角形(3)在ABC中，若a2b2c2ab，則角C的大小為_(4)在ABC中，AB4，BC3，B60，則AC等于_答案(1)eq f(5,6)(2)鈍角(3)eq f(,3)(4)eq r(13)題型一 已知兩邊及一角解三角形例1在ABC中，a2eq r(3)，ceq r(6)eq r(2)，B45，解這個三角形解由余弦定理得b2a2c22accosB(2eq r(3)2(eq

5、r(6)eq r(2)222eq r(3)(eq r(6)eq r(2)cos458，b2eq r(2)，又cosAeq f(b2c2a2,2bc)eq f(8r(6)r(2)22r(3)2,22r(2)r(6)r(2)eq f(1,2)，A60，C180(AB)75.已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)已知兩邊和兩邊夾角，直接應(yīng)用余弦定理求出第三邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系應(yīng)用余弦定理求解(2)三角形中已知兩邊和一邊的對角，解法如下：利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運用解方程的方法求出第三邊的長(1)在ABC中，已知a4，b6，C120，則邊c的值是()A8 B2eq r(17) C

6、6eq r(2) D2eq r(19)(2)在ABC中，已知b3，c3eq r(3)，B30，求角A，C和邊a.答案(1)D(2)見解析解析(1)根據(jù)余弦定理，c2a2b22abcosC1636246cos12076，c2eq r(19).(2)由余弦定理，得b2a2c22accosB，32a2(3eq r(3)22a3eq r(3)cos30，a29a180，解得a3或6.當(dāng)a3時，A30，C120.當(dāng)a6時，由余弦定理，得cosAeq f(b2c2a2,2bc)eq f(92736,233r(3)0.A90，C60.題型二 已知三邊(三邊關(guān)系)解三角形例2(1)在ABC中，若a7，b4eq

7、 r(3)，ceq r(13)，則ABC的最小角為()Aeq f(,3) Beq f(,6) Ceq f(,4) Deq f(,12)(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ab4，ac2b，且最大角為120，求此三角形的最大邊長解析(1)因為cbb，且ab4，又ac2b，則b4c2b，所以bc4，則bc，從而abc，所以a為最大邊，A120，ba4，ca8.由余弦定理，得a2b2c22bccosA(a4)2(a8)2(a4)(a8)，即a218a560，解得a4或a14.又ba40，所以a14.即此三角形的最大邊長為14.答案(1)B(2)見解析條件探究若本例(1)中條件不變，如何求最大角的余弦值呢？解因為cbab，知角C為最大角，則cosCeq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2)，C120，即此三角形的最大角為120.4在ABC中，a，b，c分別為A，B，C的對邊，beq r(2)，c1eq r(3)，且a2b2c22bcsinA，則邊a_.答案2解析由已知及余弦定理，得sinAeq f(b2c2a2,2bc)cosA，A45，a2b2c22bccos454，a2.5在ABC中，basinC，cacosB，試判斷ABC的形狀解由余弦定