初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑾

1、個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第11講染色和賦值染色方法和賦值方法是解答數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題的兩種常用的方法。就其本質(zhì)而言，染色方法是一種對(duì)題目所研究的對(duì)象進(jìn)行分類的一種形象化的方法。而凡是能用染色方法來(lái)解的題，一般地都可以用賦值方法來(lái)解，只需將染成某一種顏色的對(duì)象換成賦于其某一數(shù)值就行了。賦值方法的適用范圍要更廣泛一些，我們可將題目所研究的對(duì)象賦于適當(dāng)?shù)臄?shù)值，然后利用這些數(shù)值的大小、正負(fù)、奇偶以及相互之間運(yùn)算結(jié)果等來(lái)進(jìn)行推證。T1BnOwpFFF一、染色法將問(wèn)題中的對(duì)象適當(dāng)進(jìn)行染色，有利于我們觀察、分析對(duì)象之間的關(guān)系。像國(guó)際象棋的棋盤那樣，我們可以把被研究的對(duì)象染上不同

2、的顏色，許多隱藏的關(guān)系會(huì)變得明朗，再通過(guò)對(duì)染色圖形的處理達(dá)到對(duì)原問(wèn)題的解決，這種解題方法稱為染色法。常見(jiàn)的染色方式有：點(diǎn)染色、線段染色、小方格染色和對(duì)區(qū)域染色。T1BnOwpFFF例1用15個(gè)“T”字形紙片和1個(gè)“田”字形紙片如下圖所示），能否覆蓋一個(gè)88的棋盤？解：如下圖，將88的棋盤染成黑白相間的形狀。如果15個(gè)“T”字形紙片和1個(gè)“田”字形紙片能夠覆蓋一個(gè)88的棋盤，那么它們覆蓋住的白格數(shù)和黑格數(shù)都應(yīng)該是32個(gè)，但是每個(gè)“T”1/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途字形紙片只能覆蓋1個(gè)或3個(gè)白格，而1和3都是奇數(shù)，因此15個(gè)“T”字形紙片覆蓋的白格數(shù)是一個(gè)奇數(shù)；又每個(gè)“田”字

3、形紙片一定覆蓋2個(gè)白格，從而15個(gè)“T”字形紙片與1個(gè)“田”字形紙片所覆蓋的白格數(shù)是奇數(shù)，這與32是偶數(shù)矛盾，因此，用它們不能覆蓋整個(gè)棋盤。T1BnOwpFFF例2如左下圖，把正方體分割成27個(gè)相等的小正方體，在中心的那個(gè)小正方體中有一只甲蟲，甲蟲能從每個(gè)小正方體走到與這個(gè)正方體相鄰的6個(gè)小正方體中的任何一個(gè)中去。如果要求甲蟲只能走到每個(gè)小正方體一次，那么甲蟲能走遍所有的正方體嗎？T1BnOwpFFF解：甲蟲不能走遍所有的正方體。我們?nèi)缬疑蠄D將正方體分割成27個(gè)小正方體，涂上黑白相間的兩種顏色，使得中心的小正方體染成白色，再使兩個(gè)相鄰的小正方體染上不同的顏色。顯然，在27個(gè)小正方體中，14個(gè)是

4、黑的，13個(gè)是白的。甲蟲從中間的白色小正方體出發(fā)，每走一步，方格就改變一種顏色。故它走27步，應(yīng)該經(jīng)過(guò)14個(gè)白色的小正方體、13個(gè)黑色的小正方體。因此在27步中至2/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途少有一個(gè)小正方體，甲蟲進(jìn)去過(guò)兩次。由此可見(jiàn)，如果要求甲蟲到每一個(gè)小正方體只去一次，那么甲蟲不能走遍所有的小正方體。T1BnOwpFFF例388的國(guó)際象棋棋盤能不能被剪成7個(gè)22的正方形和9個(gè)41的長(zhǎng)方形？如果可以，請(qǐng)給出一種剪法；如果不行，請(qǐng)說(shuō)明理由。T1BnOwpFFF解：如下圖，對(duì)88的棋盤染色，則每一個(gè)41的長(zhǎng)方形能蓋住2白2黑小方格，每一個(gè)22的正方形能蓋住1白3黑或3白1黑

5、小方格。推知7個(gè)正方形蓋住的黑格總數(shù)是一個(gè)奇數(shù)，但圖中的黑格數(shù)為32，是一個(gè)偶數(shù)，故這種剪法是不存在的。T1BnOwpFFF例4在平面上有一個(gè)2727的方格棋盤，在棋盤的正中間擺好81枚棋子，它們被擺成一個(gè)99的正方形。按下面的規(guī)則進(jìn)行游戲：每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過(guò)相鄰的棋子，放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中，并把越過(guò)的這枚棋子取出來(lái)。問(wèn)：是否存在一種走法，使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子？T1BnOwpFFF解：如下圖，將整個(gè)棋盤的每一格都分別染上紅、白、黑三種顏色，這種染色方式將棋盤按顏色分成了三個(gè)部分。按照游戲規(guī)則，每走一步，有兩部分中的棋子數(shù)各減少了一個(gè)，而第三部分的3/17個(gè)人收

6、集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途棋子數(shù)增加了一個(gè)。這表明每走一步，每個(gè)部分的棋子數(shù)的奇偶性都要改變。T1BnOwpFFF因?yàn)橐婚_始時(shí)，81個(gè)棋子擺成一個(gè)99的正方形，顯然三個(gè)部分的棋子數(shù)是相同的，故每走一步，三部分中的棋子數(shù)的奇偶性是一致的。T1BnOwpFFF如果在走了若干步以后，棋盤上恰好剩下一枚棋子，則兩部分上的棋子數(shù)為偶數(shù)，而另一部分的棋子數(shù)為奇數(shù)，這種結(jié)局是不可能的，即不存在一種走法，使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子。T1BnOwpFFF例5圖1是由數(shù)字0，1交替構(gòu)成的，圖2是由圖1中任選減1，如此反復(fù)多次形成的。問(wèn)：圖2中的A格上的數(shù)字是多少？T1BnOwpFFF解：如左下圖所示

7、，將88方格黑白交替地染色。4/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途此題允許右上圖所示的6個(gè)操作，這6個(gè)操作無(wú)論實(shí)行在哪個(gè)位置上，白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和總是常數(shù)。所以圖1中白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和，與圖2中白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和相等，都等于32，由31A）-32=32，得出A=33。T1BnOwpFFF例6有一批商品，每件都是長(zhǎng)方體形狀，尺寸是124?，F(xiàn)在有一批現(xiàn)成的木箱，內(nèi)空尺寸是666。問(wèn)：能不能用這些商品將木箱填滿？T1BnOwpFFF解：我們用染色法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。先將666的木箱分成216個(gè)小正方體，這216個(gè)小正方體，可以組成27

8、個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體。我們將這些棱長(zhǎng)為2的正方體按黑白相間涂上顏色如下圖）。T1BnOwpFFF容易計(jì)算出，有14個(gè)黑色的，有13個(gè)白色的?，F(xiàn)在將商品放入木箱內(nèi)，不管怎么放，每件商品要占據(jù)8個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體的空間，而且其中黑、白色的必須各占據(jù)4個(gè)?，F(xiàn)在白色的小正方5/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途體共有813=104個(gè)），再配上104個(gè)黑色的小正方體，一共可以放26件商品，這時(shí)木箱余下的是8個(gè)黑色小正方體所占據(jù)的空間。這8個(gè)黑色的小正方體的體積雖然與一件商品的體積相等，但是容不下這件商品。因此不能用這些商品剛好填滿。T1BnOwpFFF例76個(gè)人參加一個(gè)集會(huì)，每?jī)蓚€(gè)人或者互

9、相認(rèn)識(shí)或者互相不認(rèn)識(shí)。證明：存在兩個(gè)“三人組”，在每一個(gè)“三人組”中的三個(gè)人，或者互相認(rèn)識(shí)，或者互相不認(rèn)識(shí)這兩個(gè)“三人組”可以有公共成員）。T1BnOwpFFF證明：將每個(gè)人用一個(gè)點(diǎn)表示，如果兩人認(rèn)識(shí)就在相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間連一條紅色線段，否則就連一條藍(lán)色線段。本題即是要證明在所得的圖中存在兩個(gè)同色的三角形。T1BnOwpFFF設(shè)這六個(gè)點(diǎn)為A，B，C，D，E，F(xiàn)。我們先證明存在一個(gè)同色的三角形：考慮由A點(diǎn)引出的五條線段AB，AC，AD，AE，AF，其中必然有三條被染成了相同的顏色，不妨設(shè)AB，AC，AD同為紅色。再考慮BCD的三邊：若其中有一條是紅色，則存在一個(gè)紅色三角形；若這三條都不是紅色，則存

10、在一個(gè)藍(lán)色三角形。T1BnOwpFFF下面再來(lái)證明有兩個(gè)同色三角形：不妨設(shè)ABC的三條邊都是紅色的。若DEF也是三邊同為紅色的，則顯然就有兩個(gè)同色三角形；若DEF三邊中有一條邊為藍(lán)色，設(shè)其為DE，再考慮DA，DB，6/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途DC三條線段：若其中有兩條為紅色，則顯然有一個(gè)紅色三角形；若其中有兩條是藍(lán)色的，則設(shè)其為DA，DB。此時(shí)在EA，EB中若有一邊為藍(lán)色，則存在一個(gè)藍(lán)色三角形；而若兩邊都是紅色，則又存在一個(gè)紅色三角形。T1BnOwpFFF故不論如何涂色，總可以找到兩個(gè)同色的三角形。二、賦值法將問(wèn)題中的某些對(duì)象用適當(dāng)?shù)臄?shù)表示之后，再進(jìn)行運(yùn)算、推理、解題的

11、方法叫做賦值法。許多組合問(wèn)題和非傳統(tǒng)的數(shù)論問(wèn)題常用此法求解。常見(jiàn)的賦值方式有：對(duì)點(diǎn)賦值、對(duì)線段賦值、對(duì)區(qū)域賦值及對(duì)其他對(duì)象賦值。T1BnOwpFFF例8一群旅游者，從A村走到B村，路線如下圖所示。怎樣走才能在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)B村？圖中的數(shù)字表示走這一段路程需要的時(shí)間單位：分）。T1BnOwpFFF解：我們先把從A村到各村的最短時(shí)間標(biāo)注在各村的旁邊，從左到右，一一標(biāo)注，如下圖所示。7/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途由此不難看出，按圖中的粗黑線走就能在最短時(shí)間60分鐘）內(nèi)從A村走到B村。例9把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。問(wèn)：有無(wú)可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由

12、。解：假設(shè)題中所設(shè)想的染色方案能夠?qū)崿F(xiàn)，那么每條直線上代表各點(diǎn)的數(shù)字之和便應(yīng)都是奇數(shù)。一共有五條直線，把這五條直線上代表各點(diǎn)的數(shù)字之和的這五個(gè)奇數(shù)再加起來(lái)，得到的總和數(shù)仍應(yīng)是一個(gè)奇數(shù)。但是，由觀察可見(jiàn)，圖中每個(gè)點(diǎn)都恰好同時(shí)位于兩條直線上，在求上述總和數(shù)時(shí)，代表各點(diǎn)的數(shù)字都恰被加過(guò)兩次，所以這個(gè)總和應(yīng)是一個(gè)偶數(shù)。這就導(dǎo)致矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立，染色方案不能實(shí)現(xiàn)。T1BnOwpFFF例10平面上nn2）個(gè)點(diǎn)A1，A2，An順次排在同一條直線上，每點(diǎn)涂上黑白兩色中的某一種顏色。已知A1和An涂上的顏色不同。證明：相鄰兩點(diǎn)間連接的線段中，其兩端點(diǎn)不同色的線段的條數(shù)必為奇數(shù)。T1BnOwpFFF證明：賦予

13、黑點(diǎn)以整數(shù)值1，白點(diǎn)以整數(shù)值2，點(diǎn)Ai以整數(shù)值為ai，當(dāng)Ai為黑點(diǎn)時(shí)，ai=1，當(dāng)Ai為白點(diǎn)時(shí)，ai=2。再賦予線段AiAi+1以整數(shù)值ai+ai+1，則兩端同色的線段具有的整數(shù)值為2或4，兩端異色的線段具有的整數(shù)值為3。T1BnOwpFFF8/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途所有線段對(duì)應(yīng)的整數(shù)值的總和為a1a2）a2a3）a3a4）an-1an）a1an2a2a3an-1）212a2a3an-1）奇數(shù)。設(shè)具有整數(shù)值2，3，4的線段的條數(shù)依次為l，m，n，則2lm4n=奇數(shù)。由上式推知，m必為奇數(shù)，證明完畢。例11下面的表1是一個(gè)電子顯示盤，每一次操作可以使某一行四個(gè)字母同時(shí)改

14、變，或者使某一列四個(gè)字母同時(shí)改變。改變的規(guī)則是按照英文字母的順序，每個(gè)英文字母變成它的下一個(gè)字母即A變成B，B變成CZ變成A）。問(wèn)：能否經(jīng)過(guò)若干次操作，使表1變?yōu)楸?？如果能，請(qǐng)寫出變化過(guò)程，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。T1BnOwpFFFSOBRKBDSTZFPHEXGHOCNRTBSADVXCFYA表1表2解：不能。將表中的英文字母分別用它們?cè)谧帜副碇械男蛱?hào)代替即A用1，B用2Z用26代替）。這樣表1和表2就分別變成了表3和表4。T1BnOwpFFF每一次操作中字母的置換相當(dāng)于下面的置換：9/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途12，23，2526，261。1915218202661

15、6815314142224表311241985247182021936251表4容易看出，每次操作使四個(gè)數(shù)字改變了奇偶性，而16個(gè)數(shù)字的和的奇偶性沒(méi)有改變。因?yàn)楸?中16個(gè)數(shù)字的和為213，表4中16個(gè)數(shù)字的和為174，它們的奇偶性不同，所以表3不能變成表4，即表1不能變成表2。T1BnOwpFFF例12如圖1）6）所示的六種圖形拼成右下圖，如果圖1）必須放在右下圖的中間一列，應(yīng)如何拼？10/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途解：把右上圖黑、白相間染色見(jiàn)上圖）。其中有11個(gè)白格和10個(gè)黑格，當(dāng)圖形拼成后，圖形2）4）5）6）一定是黑、白各2格，而圖形3）必須有3格是同一種顏色，另

16、一種顏色1格。因?yàn)榍八姆N圖形，黑、白已各占24=8格），而黑格總共只有10格，所以圖形3）只能是3白1黑。由此知道圖1）一定在中間一列的黑格，而上面的黑格不可能，所以圖1）在中間一列下面的黑格中。T1BnOwpFFF那么其它圖形如何拼呢？為了說(shuō)明方便，給每一格編一個(gè)數(shù)碼見(jiàn)左下圖）。因?yàn)閳D3）是3白1黑，所以為使角上不空出一格，它只能放在1，3，4，5）或7，12，13，17）或11，15，16，21）這三個(gè)位置上。T1BnOwpFFF若放在1，3，4，5）位置上，則圖6）只能放在7，12，13，18）或15，16，19，20）或2，7，8，13）這三個(gè)位置，但是前兩個(gè)位置是明顯不行的，否則角上

17、會(huì)空出一格。若放在2，7，8，13）上，則圖2）只能放在12，17，18，19）位置上，此時(shí)不能同時(shí)放下圖4）和圖5）。T1BnOwpFFF若把圖3）放在7，12，13，17）位置上，則方格1這一格只能由圖2）或圖6）來(lái)占據(jù)。如果圖2）放在1，2，3，4），那么11/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途圖6）無(wú)論放在何處都要出現(xiàn)孤立空格；如果把圖6）放在1，4，5，10），那么2，3這兩格放哪一圖形都不合適。T1BnOwpFFF因此，圖形3）只能放在11，15，16，21）。其余圖的拼法如右上圖。練習(xí)111.中國(guó)象棋盤的任意位置有一只馬，它跳了若干步正好回到原來(lái)的位置。問(wèn)：馬所跳的

18、步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？2.右圖是某展覽大廳的平面圖，每相鄰兩展覽室之間都有門相通。今有人想從進(jìn)口進(jìn)去，從出口出來(lái)，每間展覽廳都要走到，既不能重復(fù)也不能遺漏，應(yīng)如何走法？T1BnOwpFFF3.能否用下圖中各種形狀的紙片不能剪開）拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為99的正方形圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1）？請(qǐng)說(shuō)明理由。T1BnOwpFFF4.用15個(gè)14的長(zhǎng)方形和1個(gè)22的正方形，能否覆蓋88的棋盤？5.平面上不共線的五點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)連一條線段，并將每條線段染成紅色或藍(lán)色。如果在這個(gè)圖形中沒(méi)有出現(xiàn)三邊同色的三角形，那么這個(gè)圖形一定可以找到一紅一藍(lán)兩個(gè)“圈”即封閉回路），每個(gè)圈恰好由五條線段組成。T1BnOwpFFF12/17

19、個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途6.將正方形ABCD分割成n2個(gè)相等的小正方格，把相對(duì)的頂點(diǎn)A，C染成紅色，B，D染成藍(lán)色，其他交點(diǎn)任意染成紅、藍(lán)兩種顏色之一。試說(shuō)明：恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)目是偶數(shù)。T1BnOwpFFF7.已知ABC內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，連同A，B，C三點(diǎn)一共n3）個(gè)點(diǎn)。以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)將ABC分成若干個(gè)互不重疊的小三角形。將A，B，C三點(diǎn)分別染成紅色、藍(lán)色和黃色。而三角形內(nèi)的n個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)任意染成紅色、藍(lán)色和黃色三色之一。問(wèn)：三個(gè)頂點(diǎn)顏色都不同的三角形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？T1BnOwpFFF8.從10個(gè)英文字母A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，X，Y，Z中任意選5個(gè)字母字

20、母允許重復(fù)）組成一個(gè)“詞”，將所有可能的“詞”按“字典順序”即英漢辭典中英語(yǔ)詞匯排列的順序）排列，得到一個(gè)“詞表”：T1BnOwpFFFAAAAA，AAAAB，AAAAZ，AAABA，AAABB，ZZZZY，ZZZZZ。設(shè)位于“詞”CYZGB與“詞”XEFDA之間這兩個(gè)詞除外）的“詞”的個(gè)數(shù)是k，試寫出“詞表”中的第k個(gè)“詞”。T1BnOwpFFF練習(xí)11答案：1.偶數(shù)。解：把棋盤上各點(diǎn)按黑白色間隔進(jìn)行染色圖略）。馬如從黑點(diǎn)出發(fā)，一步只能跳到白點(diǎn)，下一步再?gòu)陌c(diǎn)跳到黑點(diǎn)，因此，從原13/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途始位置起相繼經(jīng)過(guò)：白、黑、白、黑要想回到黑點(diǎn)，必須黑、白成對(duì)

21、，即經(jīng)過(guò)偶數(shù)步，回到原來(lái)的位置。T1BnOwpFFF2.不能。解：用白、黑相間的方法對(duì)方格進(jìn)行染色如圖）。若滿足題設(shè)要求的走法存在，必定從白色的展室走到黑色的展室，再?gòu)暮谏恼故易叩桨咨恼故?，如此循環(huán)往復(fù)。現(xiàn)共有36間展室，從白色展室開始，最后應(yīng)該是黑色展室。但右圖中出口處的展室是白色的，矛盾。由此可以判定符合要求的走法不存在。T1BnOwpFFF3.不能。解：我們將9999的正方形中每個(gè)單位正方形方格染上黑色或白色，使每?jī)蓚€(gè)相鄰的方格顏色不同，由于9999為奇數(shù)，兩種顏色的方格數(shù)相差為1。而每一種紙片中，兩種顏色的方格數(shù)相差數(shù)為0或3，如果它們能拼成一個(gè)大正方形，那么其中兩種顏色之差必為3

22、的倍數(shù)。矛盾！T1BnOwpFFF4.不能。解：如圖，給88的方格棋盤涂上4種不同的顏色用數(shù)字1，2，3，4表示）。顯然標(biāo)有1，2，3，4的小方格各有16個(gè)。每個(gè)14的長(zhǎng)方形恰好蓋住標(biāo)有1，2，3，4的小方格各一個(gè)，但一個(gè)22的正方形只能蓋住有三種數(shù)字的方格，故無(wú)法將每個(gè)方格蓋住，即不可能有題目要求的覆蓋。T1BnOwpFFF14/17個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途5.證：設(shè)五點(diǎn)為A，B，C，D，E?？紤]從A點(diǎn)引出的四條線段：如果其中有三條是同色的，如AB，AC，AD同為紅色，那么BCD的三邊中，若有一條是紅色，則有一個(gè)三邊同為紅色的三角形；若三邊都不是紅色，則存在一個(gè)三邊同為藍(lán)色的三角形。這與已知條件是矛盾的。T1BnOwpFFF所以，從A點(diǎn)出發(fā)的四條線段，有兩條是紅色的，也有兩條是藍(lán)色的。當(dāng)然，從其余四點(diǎn)引出的四條線段也恰有兩條紅色、兩條藍(lán)色，整個(gè)圖中恰有五條紅色線段和五條藍(lán)色線段。T1BnOwpFFF下面只看紅色線段，設(shè)從A點(diǎn)出發(fā)的兩條是AB，AE。再考慮從B點(diǎn)出發(fā)的另一條紅色線段，它不應(yīng)是BE，否則就有一個(gè)三邊同為紅色的三角形。不妨設(shè)其為BD。再考慮從D點(diǎn)出發(fā)的另一條紅色線段，它不應(yīng)是DE，否則從C引出的兩條紅色線段就要與另一條紅色線段圍成一個(gè)紅色三角形，故它是DC。最后一條紅色線段顯然是CE。這樣就得到了一個(gè)紅色的“圈”：T1BnOwpFFF15/17個(gè)人