包裝系統(tǒng)振動(dòng)理論

1、包裝系統(tǒng)振動(dòng)理論第1頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二包裝產(chǎn)品系統(tǒng)的振動(dòng)力學(xué)模型單自由線性系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)一般粘性阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng)多自由度線性系統(tǒng)振動(dòng)的近似解法非線性振動(dòng)簡(jiǎn)介第2頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 GB 2298機(jī)械振動(dòng)沖擊名詞術(shù)語(yǔ)將振動(dòng)定義為“機(jī)械系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)量的振蕩現(xiàn)象”。 振蕩指“相對(duì)給定的參考系，一個(gè)隨時(shí)間變化的量值與其平均值相比，時(shí)大時(shí)小交替變化的現(xiàn)象”。 機(jī)械振動(dòng)指具有質(zhì)量和彈性的物體或系統(tǒng)在其平衡位置附近作來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，如車輛振動(dòng)系統(tǒng)、船舶振動(dòng)系統(tǒng)、運(yùn)輸物流過(guò)程中包裝產(chǎn)品系統(tǒng)、印

2、刷機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)等。 包裝產(chǎn)品系統(tǒng)由產(chǎn)品、緩沖襯墊、包裝箱等三個(gè)部分組成的一個(gè)適應(yīng)運(yùn)輸物流環(huán)境（過(guò)程）、保護(hù)產(chǎn)品安全運(yùn)輸?shù)臋C(jī)械系統(tǒng)。一、工程實(shí)例 第一節(jié) 包裝產(chǎn)品系統(tǒng)的振動(dòng)力學(xué)模型第3頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二例1、空調(diào)機(jī)包裝卡車人力車包裝車間成品倉(cāng)庫(kù)鐵路貨站鐵路終點(diǎn)貨棧商店商店叉車電瓶車標(biāo)準(zhǔn)路面貨車堆6層卡車混放混放堆18層放4周堆6層放3天堆8層放2天第4頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二例2、電子槍包裝（FMB361E1Z64cmPF電子槍 ） 電子槍主要用于電視機(jī)、加速器、電鏡、示波器、電子顯微鏡、電子探針顯微分析儀、微聚焦X2

3、射線管等電子束器件中，是它們極其重要的心臟部件。 第5頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 第6頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二（1）電子槍破損形式 電子槍的材料主要為玻璃和薄片金屬，形狀不規(guī)則，金屬多為點(diǎn)焊連接，在流通過(guò)程中由于振動(dòng)、沖擊、壓力等環(huán)境載荷作用容易造成產(chǎn)品損壞，其破損形式主要為： 固定玻桿斷裂 電極的供電線路發(fā)生相互粘連短路 管腳彎曲 整只電子槍的軸向彎曲變形等。（2）電子槍對(duì)緩沖包裝要求 a.電子槍為易損的不規(guī)則產(chǎn)品，要求緩沖襯墊具有很好的加工制造性能，并且尺寸穩(wěn)定性強(qiáng)。 b.電子槍結(jié)構(gòu)為長(zhǎng)軸狀，要求槍身保持較高平行度，杜絕

4、發(fā)生滑動(dòng)、擠壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)等變形，緩沖襯墊應(yīng)適當(dāng)考慮多個(gè)接觸面，保證受力均勻。第7頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 c.電子槍的排氣管為玻璃材質(zhì)，很易破碎，緩沖襯墊的結(jié)構(gòu)應(yīng)避免其與外界接觸，造成損壞。 d.電極的供電線路易發(fā)生相互粘連而造成短路，在設(shè)計(jì)緩沖襯墊時(shí)使電極部位不與襯墊或外界接觸。 e.管腳的材質(zhì)較軟，容易彎曲，使緩沖襯墊的主受力面不要集中在管腳上。 f.考慮電子槍包裝應(yīng)便于庫(kù)存盤(pán)點(diǎn)、集合裝卸等流通作業(yè)，因此，在設(shè)計(jì)內(nèi)包裝時(shí)應(yīng)考慮電子槍在緩沖結(jié)構(gòu)上的布局排列、擺放數(shù)目等因素。（3）電子槍包裝方法 瓦楞紙板托架結(jié)構(gòu)包裝防護(hù)方案 紙漿模塑襯墊結(jié)構(gòu)包裝防護(hù)方案

5、發(fā)泡聚乙烯襯墊結(jié)構(gòu)包裝防護(hù)方案第8頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二包裝防護(hù)方案1: 瓦楞紙板托架結(jié)構(gòu)包裝防護(hù)方案第9頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二包裝防護(hù)方案2: 紙漿模塑襯墊結(jié)構(gòu)第10頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二包裝防護(hù)方案3: 發(fā)泡聚乙烯襯墊結(jié)構(gòu)第11頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二二、三類振動(dòng)問(wèn)題 包裝產(chǎn)品系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題可用輸入、系統(tǒng)、輸出之間的關(guān)系框圖描述，外部載荷（激勵(lì)，輸入）作用于包裝產(chǎn)品（系統(tǒng)）使之產(chǎn)生振動(dòng)響應(yīng)（或輸出）。 包裝產(chǎn)品系統(tǒng)輸入輸出激勵(lì)響應(yīng)第12頁(yè)，共

6、168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二三類振動(dòng)問(wèn)題已知激勵(lì)、系統(tǒng)求響應(yīng)（第一類問(wèn)題：動(dòng)力分析）。這是工程中最基本和最常見(jiàn)的問(wèn)題，主要任務(wù)是驗(yàn)算結(jié)構(gòu)、產(chǎn)品在工作狀態(tài)的動(dòng)力響應(yīng)、變形、位移、應(yīng)力是否滿足預(yù)定要求。 已知輸入、輸出求系統(tǒng)（第二類問(wèn)題：系統(tǒng)識(shí)別）。它包括物理參數(shù)識(shí)別和模態(tài)參數(shù)識(shí)別。物理參數(shù)識(shí)別獲取系統(tǒng)的物理參數(shù)，如質(zhì)量、剛度及阻尼系數(shù)。模態(tài)參數(shù)識(shí)別獲取系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，如系統(tǒng)的固有頻率、振型、阻尼比等。系統(tǒng)識(shí)別是振動(dòng)的第一種逆問(wèn)題，振動(dòng)力學(xué)是它的基礎(chǔ)理論。已知系統(tǒng)、輸出求輸入（第三類問(wèn)題：環(huán)境預(yù)測(cè)）。這是振動(dòng)的第二種逆問(wèn)題。例如，為了避免包裝產(chǎn)品在公路運(yùn)輸中破損，需要估計(jì)

7、運(yùn)輸環(huán)境，為產(chǎn)品設(shè)計(jì)可靠而有效的振動(dòng)防護(hù)包裝。第13頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二12341234(a) (b)圖2-1 產(chǎn)品包裝系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖1、包裝箱 2、緩沖襯墊 3、產(chǎn)品 4、易損件三、振動(dòng)力學(xué)模型第14頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 最簡(jiǎn)單的模型是單自由度線性系統(tǒng)（圖2-2）力學(xué)模型： 把產(chǎn)品假定為質(zhì)量均勻的剛體，且具有一個(gè)自由度； 忽略包裝箱質(zhì)量和彈性；不計(jì)緩沖材料或襯墊的質(zhì)量，并把緩沖材料或襯墊視為具有粘性阻尼的彈性體； 由慣性元件（m）、阻尼元件（c）、彈性元件（k）所組成集中參數(shù)系統(tǒng)。u(t) kcmx(t)圖2-2

8、 單自由度線性系統(tǒng)力學(xué)模型u(t) ：外部位移激勵(lì)，x(t)：產(chǎn)品位移第15頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二在運(yùn)輸物流過(guò)程中，產(chǎn)品上靈敏或脆弱的部件最容易發(fā)生破損，這種部件稱之為易損件。需要分析易損件的響應(yīng)而無(wú)需計(jì)入包裝箱的質(zhì)量時(shí)，可采用兩自由度線性系統(tǒng)（圖2-3）描述，產(chǎn)品只含有一個(gè)易損件。若包裝產(chǎn)品含有幾個(gè)易損件，可采用多自由度線性系統(tǒng)描述（圖2-4）。描述運(yùn)輸過(guò)程中包裝產(chǎn)品的重疊放置的振動(dòng)力學(xué)模型很復(fù)雜，可采用多自由度線性系統(tǒng)描述（圖2-5）。圖2-3 兩自由度線性系統(tǒng)力學(xué)模型c1k1m1c2k2m2 第16頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分

9、，星期二圖2-4 三自由度線性系統(tǒng)力學(xué)模型圖2-5 包裝產(chǎn)品重疊放置時(shí)的力學(xué)模型c3k3m3 c1k1m1c2k2m2 c1k1m1c2k2m2 cn-1kn-1cnknmn-1mn 第17頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二四、動(dòng)力學(xué)方程建立方法 1、牛頓第二定律 對(duì)質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)量形式：對(duì)力學(xué)體系的標(biāo)量形式： R約束力向量： F主動(dòng)力向量：(2-2)(2-1)第18頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 假設(shè)只存在n個(gè)約束，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可描述為 （2-3）2、達(dá)朗伯原理 對(duì)力學(xué)體系：（2-4）（2-5）對(duì)質(zhì)點(diǎn)：第19頁(yè)，共168頁(yè)，2022年

10、，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二3、拉格朗日方程T 系統(tǒng)動(dòng)能，U系統(tǒng)勢(shì)能，L拉格朗日函數(shù)（等于系統(tǒng)的動(dòng)能T與U之差，即 L=T - U）， 廣義動(dòng)量， 拉格朗日力， 廣義坐標(biāo)（位移）， 廣義速度， 廣義力。（2-6）第20頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二一、簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件下的強(qiáng)迫振動(dòng)由牛頓第二定律，包裝產(chǎn)品的動(dòng)力學(xué)方程可寫(xiě)成（2-7） f(t)是簡(jiǎn)諧函數(shù)，如 f(t)是周期函數(shù)，如 f(t)既不是簡(jiǎn)諧函數(shù)，也不是周期函數(shù)第二節(jié) 單自由線性系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)第21頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)由初始條件引起的自由振動(dòng)、伴

11、隨強(qiáng)迫振動(dòng)發(fā)生的自由振動(dòng)、等幅穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)三部分組成。前兩部分由于阻尼的存在，是逐漸衰減的瞬態(tài)振動(dòng)，稱為瞬態(tài)響應(yīng)。第三部分是與激勵(lì)同頻率、同時(shí)存在的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。瞬態(tài)響應(yīng)只存在于振動(dòng)的初始階段，該階段稱為過(guò)渡階段。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)存在于穩(wěn)態(tài)階段。當(dāng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率很接近，將發(fā)生共振現(xiàn)象。 過(guò)渡階段（瞬態(tài)響應(yīng)） 穩(wěn)態(tài)階段（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） 共振現(xiàn)象包裝產(chǎn)品系統(tǒng)受到簡(jiǎn)諧激振力 的動(dòng)力學(xué)方程：（2-8）第22頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 （2-9） 1簡(jiǎn)諧振動(dòng)（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)階段） Laplace變換法 復(fù)數(shù)法設(shè)復(fù)數(shù)形式的特解為?。?-10）（2-11）第23頁(yè)，共

12、168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二(2-12)B0 是質(zhì)量塊在激振力作用下的最大靜位移。第24頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二將式（2-11）代入式（2-10），得到復(fù)數(shù)形式的特解取式(2-13)的虛部，得到方程(2-8)的特解 (2-13)(2-14)第25頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二引入無(wú)量綱的放大因子Tr，且定義為線性系統(tǒng)對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激勵(lì)頻率而相位滯后于激振力 f(t)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位差只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（如質(zhì)量、剛度、阻尼）和激振的頻率和力幅，而與系統(tǒng)進(jìn)入運(yùn)動(dòng)的

13、方式（初始條件）無(wú)關(guān)。（2-15）（2-16）第26頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 在式(2-11)、(2-14)、(2-15)中令 ，則得到無(wú)阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 當(dāng) 時(shí)， ， ， 。 當(dāng) 時(shí)， ， ， 或 。這時(shí)相位差反映在 的符號(hào)中。 系統(tǒng)響應(yīng)的振幅急劇增大的現(xiàn)象稱之為共振 ，此時(shí)有（2-17）第27頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二2、瞬態(tài)響應(yīng)（瞬態(tài)振動(dòng)，過(guò)渡階段）通解+特解=全解 （2-18）（2-20）（2-19）第28頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二（2-21）式(2-21)右端的第一

14、項(xiàng)是系統(tǒng)在無(wú)激勵(lì)時(shí)的自由振動(dòng)，第二項(xiàng)是自由伴隨振動(dòng)，第三項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)。自由伴隨振動(dòng)的特點(diǎn)是振動(dòng)頻率為系統(tǒng)的固有頻率，但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及激勵(lì)因素有關(guān)。由于阻尼的存在，作為瞬態(tài)響應(yīng)的自由振動(dòng)和自由伴隨振動(dòng)都將隨時(shí)間逐漸衰減為零（經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)時(shí)間后），只剩下穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)。第29頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二（2-22） 若初始位移與初始速度都為零（零初始條件），則式(2-21)可寫(xiě)成：第30頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二圖2-6 零初始條件下的諧振響應(yīng)第31頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二3、強(qiáng)迫振動(dòng)中的

15、能量關(guān)系無(wú)阻尼自由振動(dòng) , 等幅振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng) , 衰減振動(dòng) 要維持等幅振動(dòng)，系統(tǒng)必須由外界吸收能量，即由激振力對(duì)系統(tǒng)作功。第32頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二（一周期內(nèi)）阻尼耗能：（一周期內(nèi)）激振力作功： m第33頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二第34頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二二、周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng) 系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)通常指穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可利用周期激勵(lì)的諧波分析來(lái)研究。 首先將周期激勵(lì)分解成一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)； 然后求出系統(tǒng)對(duì)不同頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)； 再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將各個(gè)響應(yīng)疊

16、加而得到系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)。第35頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二周期激振力： 若f(t)滿足狄利克雷條件，則采用傅里葉級(jí)數(shù)將f(t)展開(kāi)：（2-23）第36頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二把式（2-23）代入方程（2-8），得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為（2-24）第37頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 由疊加原理得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)當(dāng)=0時(shí)，（2-25）（2-26）第38頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二三、任意激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng) 工程實(shí)際中，一般情況下的激振力既不是簡(jiǎn)諧波，也不是周期性函數(shù)

17、，而是非周期性任意激勵(lì)。 任意激勵(lì)或者作用時(shí)間很短（或極短）的脈沖激勵(lì)下，系統(tǒng)通常沒(méi)有穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，只有瞬態(tài)響應(yīng)，它可以通過(guò)脈沖響應(yīng)或階躍響應(yīng)來(lái)分析。第39頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二1、單位脈沖響應(yīng)（也稱脈沖響應(yīng)） 沖量為U 的脈沖力可借助函數(shù)表示為 ，當(dāng) 時(shí)就成為單位脈沖力，即 。 在零初始條件下系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)，稱之為單位脈沖響應(yīng)。記0-，0+分別為單位脈沖力作用瞬間的前后時(shí)刻，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（2-8）與零初始條件可寫(xiě)成：（2-27）第40頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二動(dòng)量定理：故在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了

18、突變，但在這一瞬間位移沒(méi)有改變， 。（2-28）（2-29）（2-30）（2-31）第41頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二（2-32）時(shí)因此，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是初始位移為零而初始速度為 的自由振動(dòng)，記為h(t)，其表達(dá)式為 （2-33）第42頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二無(wú)阻尼時(shí)，（2-34）（2-35）2、任意激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng) 當(dāng)處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激振力作用時(shí)，可以把激振力 f(t)看做是一系列脈沖的疊加。在時(shí)刻 t=的脈沖力的沖量為 ，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為： (2-36)第43頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分

19、，星期二Duhamel積分， 如果系統(tǒng)在 t=0 時(shí)有初始位移 x0、初始速度 ，則系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)為 (2-37)(2-38)(2-39)卷積第44頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二或 由于Duhamel積分是系統(tǒng)在零初始條件下的響應(yīng)，故當(dāng)激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，Duhamel積分即自由伴隨振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)兩部分。(2-40)第45頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二例1 有阻尼單自由度線性系統(tǒng)對(duì)階躍激振力的響應(yīng)第46頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二例2 無(wú)阻尼單自由度線性系統(tǒng)對(duì)矩形脈沖激振力的響應(yīng)第47頁(yè)，共16

20、8頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二例3 無(wú)阻尼單自由度線性系統(tǒng)對(duì)后峰鋸齒脈沖激振力的響應(yīng)第48頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二例4 無(wú)阻尼單自由度線性系統(tǒng)對(duì)半正弦脈沖激振力的響應(yīng)第49頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二例5 無(wú)阻尼單自由度線性系統(tǒng)對(duì)斜坡階躍激振力的響應(yīng)第50頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二第三節(jié) 多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng) 工程上較復(fù)雜的振動(dòng)問(wèn)題需要采用多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)原理來(lái)分析解決 。一個(gè)具有n個(gè)自由度的線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程一般是n個(gè)相互耦合的二階常微分方程組成的方程組

21、。 對(duì)n自由度的無(wú)阻尼系統(tǒng)，它具有n個(gè)固有頻率（有可能出現(xiàn)重值），當(dāng)系統(tǒng)按任意一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是一種同步運(yùn)動(dòng)，稱為主振動(dòng)。系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)所具有的振動(dòng)形態(tài)稱為主振型，或稱為模態(tài)。第51頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 在初始干擾下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)是n個(gè)主振動(dòng)的疊加。對(duì)于特殊選取的n個(gè)廣義坐標(biāo)，使得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的全部耦合項(xiàng)都不出現(xiàn)，這樣的坐標(biāo)稱為主坐標(biāo)。采用主坐標(biāo)，n自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)可當(dāng)作n個(gè)單自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)來(lái)分析，再通過(guò)疊加得到系統(tǒng)原來(lái)的振動(dòng)，這種分析方法稱為振型疊加法。 振型疊加法適用于比例阻尼或振型阻尼系統(tǒng)。 固有振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)（自

22、由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)、振型疊加法）傳遞函數(shù)、復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)復(fù)模態(tài)分析法第52頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二一、多自由度線性系統(tǒng)的固有振動(dòng)1、作用力方程c2k2m2c1k1m1 圖2-7 兩自由度線性系統(tǒng)第53頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二（2-41）（2-42）運(yùn)動(dòng)微分方程矩陣形式（2-43）第54頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二多自由度線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程矩陣形式(2-44)第55頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二（1）剛度影響系數(shù)計(jì)算 假設(shè)外力以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)，即(2-45)再假

23、定作用于系統(tǒng)的一組外力使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其它各個(gè)坐標(biāo)上都不產(chǎn)生位移，即產(chǎn)生的位移向量為：影響系數(shù)法：根據(jù)質(zhì)量影響系數(shù)、剛度影響系數(shù)、阻尼影響系數(shù)分別確定M、K、C，再建立作用力方程。第56頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 因此，所施加的這組外力在數(shù)值上正好是剛度矩陣的第j列，kij 是在第i個(gè)坐標(biāo)上所施加的力。故剛度矩陣K中的元素kij是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第個(gè)i坐標(biāo)上所施加的力。kij稱為剛度影響系數(shù)。(2-46)第57頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬間，只產(chǎn)生加速

24、度而不產(chǎn)生位移和速度，即 (2-47)再假定作用于系統(tǒng)的一組外力使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其它各個(gè)坐標(biāo)上都不產(chǎn)生加速度，即加速度向量為：（2）質(zhì)量影響系數(shù)計(jì)算第58頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二(2-48)即所施加的這組外力在數(shù)值上正好是質(zhì)量矩陣的第j列。因此，質(zhì)量矩陣M中的元素mij是使系統(tǒng)在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力。mij稱為質(zhì)量影響系數(shù)。 第59頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 阻尼矩陣C中的元素Cij稱為阻尼影響系數(shù)，其物理意義是：使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i

25、個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力。阻尼矩陣一般是正定或半正定的對(duì)稱矩陣，可以按工程上各種理論及經(jīng)驗(yàn)公式求出，或直接由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。（3）阻尼影響系數(shù)計(jì)算第60頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二2、慣性耦合及彈性耦合 對(duì)式（2-44）所描述的n自由度線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，若矩陣中非對(duì)角元素非零則稱之為耦合項(xiàng)。質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)的耦合項(xiàng)稱為慣性耦合，剛度矩陣中出現(xiàn)的耦合項(xiàng)稱為彈性耦合。 耦合的物理意義可以簡(jiǎn)單地用兩自由度系統(tǒng)為例說(shuō)明。如果系統(tǒng)僅在第一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生加速度，即 , ,則：第61頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 結(jié) 論不出現(xiàn)慣性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)

26、生的加速度只在該坐標(biāo)上產(chǎn)生慣性力；出現(xiàn)慣性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度還會(huì)在其它坐標(biāo)上引起慣性力；不出現(xiàn)彈性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移只在該坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力；出現(xiàn)了彈性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移還會(huì)在其它坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力。耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標(biāo)的選擇，若選用主坐標(biāo)，可使得多自由度線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程完全解耦。主坐標(biāo)指使多自由度線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的全部耦合項(xiàng)都不出現(xiàn)的坐標(biāo)。它是求解多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題中的一個(gè)十分重要的概念，而單自由度線性系統(tǒng)中是沒(méi)有的。第62頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二3、主振動(dòng)、固有頻率、主振型（固有振動(dòng)）時(shí)式（2-4

27、4）被改寫(xiě)成 （2-49）（2-50）（2-51）描述系統(tǒng)的同步運(yùn)動(dòng) 第63頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二由于在正定或半正定振動(dòng)系統(tǒng)中，M正定、K正定或半正定 式（2-51） （2-52）（2-53）（2-54）第64頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式為 因此，正定系統(tǒng)只可能出現(xiàn)的同步運(yùn)動(dòng)有兩種：簡(jiǎn)諧振動(dòng)。系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都以相同的頻率及初始相位作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。剛體運(yùn)動(dòng)。半正定系統(tǒng)除了能出現(xiàn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)之外，還能出現(xiàn)剛體運(yùn)動(dòng)（這是一種可以無(wú)限遠(yuǎn)離原平衡位置的剛體運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)不發(fā)生彈性變形）。(2-55)第65頁(yè)，共168頁(yè)，2022年

28、，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二若把常數(shù)并入式（2-55）中 的各元素內(nèi)，主振動(dòng)（這里指簡(jiǎn)諧振動(dòng)）可寫(xiě)成 (2-56)第66頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二把式（2-56）代入式（2-49），得到代數(shù)齊次方程組 克萊姆法則(2-57)(2-58)(2-59)第67頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二矩陣 稱為特征矩陣，記為 (2-60)(2-61)(2-62)(2-63)第68頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二令 ，解方程組（2-63），得第i階特征向量為代入式（2-55） 將（2-64）（2-65）第69頁(yè)，共1

29、68頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二在振動(dòng)中把i稱作第i階主振型。主振型也稱作固有振型或主模態(tài)。主振型僅取決于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M 、剛度矩陣K等物理參數(shù)。主振型是多自由度系統(tǒng)中的一個(gè)重要概念，在單自由度系統(tǒng)中是沒(méi)有的。多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)是n個(gè)主振動(dòng)的疊加。把式（2-57）所描述的特征方程 改寫(xiě)為 （2-66）（2-67）第70頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二（2-68）（2-69）式（2-68）中的矩陣 的最大特征值是 ，而式（2-69）中的矩陣 的最大特征值是 。 第71頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二4、主振型的正交

30、性主振型之間關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣具有正交性質(zhì) 式（2-67） （2-70）（2-71）（2-72）（2-73）第72頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二由式（2-72）和（2-73）相減，得 （2-74）（2-75）（2-76）式（2-75）和式（2-76）表明：對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，既關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。第73頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 ，式（2-73）總成立，令 顯然，主質(zhì)量 總是正實(shí)數(shù)，主剛度 在正定系統(tǒng)中是正實(shí)數(shù)，而在半正定系統(tǒng)中 除正實(shí)數(shù)外還可以是零。式（2-73）（

31、2-77）（2-78）（2-79）第74頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二式（2-75）和（2-77）可合寫(xiě)成矩陣形式，即 由式（2-76）和（2-78）得 （2-80）（2-81）（2-82）記 是主振型第75頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二主振型正交的物理意義可以從能量角度解釋 位移響應(yīng)系統(tǒng)動(dòng)能第76頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二系統(tǒng)勢(shì)能系統(tǒng)在第i階主振動(dòng)時(shí)的能量表達(dá)式： 由于主振型之間的正交性，系統(tǒng)的動(dòng)能（勢(shì)能）等于各階主振動(dòng)單獨(dú)存在時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能（勢(shì)能）之和，而且對(duì)每一階主振型，雖然其動(dòng)能與勢(shì)能在相互交換

32、，但總和是一個(gè)常數(shù)（恒定值），即各階主振動(dòng)之間不發(fā)生能量交換（或轉(zhuǎn)換）。第77頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二5、振型矩陣與譜矩陣引入振型矩陣 ，也稱之為模態(tài)矩陣，且定義為 （2-83）（2-84）（2-85）主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣第78頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二在式（2-70）中依次取 ，所得到的n個(gè)方程合并寫(xiě)成矩陣形式 對(duì)式（2-86）兩邊左乘 ，由式（2-84）和式（2-85）得 (2-86)(2-87)(2-88)譜矩陣第79頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二譜矩陣的表達(dá)式可寫(xiě)成(2-89)6、主坐標(biāo)

33、及解耦(2-90)(2-91)(2-92)假設(shè)對(duì)同一系統(tǒng)所選擇的兩種不同坐標(biāo)x與y之間的變換關(guān)系有 第80頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二K陣，M陣都是對(duì)稱的任意一個(gè) n維向量 x都能唯一的被表示成n個(gè)主振型的線性組合，即： 是新坐標(biāo): （2-93）而主振型是 的坐標(biāo)架。該式表明，系統(tǒng)任何一種可能的運(yùn)動(dòng)都可以用主振型（或主模態(tài)）的線性組合來(lái)描述。第81頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 第i階主振型i對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)x的貢獻(xiàn)的度量。 將式（2-93）代入方程組（2-49）所描述的固有（或自由）振動(dòng)方程，得（2-94）（2-95）（2-96）第82

34、頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 由于主質(zhì)量矩陣 Mp ,主剛度矩陣 Kp都是對(duì)角陣，方程（2-95）或（2-96）中已不再存在坐標(biāo)耦合，即解耦。因此，振型矩陣就是要尋找的D陣,就是主坐標(biāo)。 正則坐標(biāo)是主坐標(biāo)中的一種特例。 正則坐標(biāo)： (2-97)(2-98)正則振型：(2-99)第83頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二將式（2-98）代入式（2-99），得相應(yīng)于 的主剛度為 (2-100)(2-101)第84頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 以正則振型作為列的振型矩陣 稱為正則振型矩陣。 由式（2-100）知

35、把式（2-97）代入方程組（2-49）所描述的固有振動(dòng)方程，得(2-102)(2-103)(2-104)(2-105)第85頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二或(2-106)(2-107)例1：圖2-8（a）是一個(gè)三自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，試分析固有頻率、主振型、振型矩陣、主剛度矩陣 、主質(zhì)量矩陣 、正則振型矩陣 。 采用正則坐標(biāo)描述n自由度位移的運(yùn)動(dòng)，能獲得形式最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)方程！第86頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二2k2kkkmmm(a)112-10111-1(b)(c)(d)圖2-8第87頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3

36、2分，星期二解：系統(tǒng)的固有振動(dòng)方程（或自由振動(dòng)方程）為 主振動(dòng):(a)(b)第88頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二代入式（a）得，式（c）改寫(xiě)成 令令特征矩陣的行列式等于零，得特征方程（c）(d)(e)第89頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二解之得: ， ，系統(tǒng)的固有頻率為 由特征矩陣的伴隨矩陣得到若選擇上式右端矩陣的第1列，分別將 的值代入，得到三個(gè)主振型為 （f）第90頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 振型圖（圖2-8（b）（d），顯然第二階主振型中有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，而第三階主振型中有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，這由主振型內(nèi)元素符號(hào)

37、的變化次數(shù)也可以判斷。第91頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二主剛度矩陣為主質(zhì)量矩陣為 、 的非對(duì)角項(xiàng)等于零，說(shuō)明主振型是關(guān)于剛度矩陣及質(zhì)量矩陣相互正交的。譜矩陣（作為檢驗(yàn)）為第92頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二即第93頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二二、多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng)無(wú)阻尼多自由度線性系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)（自由振動(dòng)）無(wú)阻尼多自由度線性系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)（強(qiáng)迫振動(dòng)）有阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng)第94頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二1、無(wú)阻尼多自由度線性系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)（

38、自由振動(dòng)） n自由度無(wú)阻尼線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程： 設(shè)初始條件(2-108)(2-109)第95頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二則在正則坐標(biāo)下的自由振動(dòng)方程為 （2-110）（2-111）或（2-112）該方程已經(jīng)全部解耦。 （2-113）且 。對(duì)于主坐標(biāo)，則有 。第96頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二把式（2-113）代入式（2-110），得正則坐標(biāo)的初始條件 自由振動(dòng)可描述為 （2-114）（2-115）（2-116）（2-117）第97頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)形式可寫(xiě)成由式（2-11

39、0）求出物理坐標(biāo)下的自由振動(dòng)為（2-118）（2-119）第98頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二2、無(wú)阻尼多自由度線性系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)（強(qiáng)迫振動(dòng)） n自由度無(wú)阻尼線性系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)方程： （2-120）或（2-121）（2-122）第99頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二式（2-121）的n個(gè)方程已經(jīng)全部解耦，第i個(gè)方程為 假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為式（2-109）所示 系統(tǒng)響應(yīng)：求解n自由度線性系統(tǒng)響應(yīng)的方法稱為振型疊加法或模擬疊加法。（2-123）（2-124）（2-125）第100頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16

40、點(diǎn)32分，星期二如果以一般的振型矩陣 取代正則振型矩陣 （2-126）（2-127）（2-128）或第101頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二式（2-128）所描述的 n個(gè)方程都幾經(jīng)解耦，第 i個(gè)方程為 或式（2-126） （2-129）（2-130）（2-131）第102頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二初始條件：根據(jù)單自由度線性系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的響應(yīng)可寫(xiě)出n自由度系統(tǒng)在第i個(gè)坐標(biāo)的響應(yīng)（2-132）（2-133）第103頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 物理坐標(biāo)下的系統(tǒng)響應(yīng)： 假設(shè) F(t)是同一頻率的簡(jiǎn)諧激振

41、力向量，即 式（2-129）（2-134）（2-135）（2-136）（2-137）（2-138）第104頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二把各個(gè)坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)代入式（2-139）得到系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 （2-139）（2-140）（2-141）第105頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二當(dāng) 時(shí)，第s階主振動(dòng)的振幅會(huì)變得很大，稱系統(tǒng)發(fā)生了第s階共振，式（2-141）可以寫(xiě)成系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)除了采用振型疊加法之外，還可采用直接解法求得。將式（2-143）代入式（2-120），得 （2-142）（2-143）（2-144）第106頁(yè)

42、，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二設(shè)n階方陣H是無(wú)阻尼系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣，且定義 由式（2-144）解得 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： （2-145）（2-146）（2-147）第107頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二與式（2-141）比較得出或直接推導(dǎo)： 把式（2-149）展為級(jí)數(shù)形式，即式（2-148）、式（2-149）稱為幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣的模態(tài)展開(kāi)式。若采用正則模態(tài)取代主模態(tài)，式（2-148）、式（2-149）可以改寫(xiě)成 （2-148）（2-149）（2-150）第108頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 的物理意義

43、:把上式代入式（2-147）得第109頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二僅在系統(tǒng)第j個(gè)坐標(biāo)上有簡(jiǎn)諧激勵(lì)而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)的幅頻響應(yīng)函數(shù)。例2：假設(shè)圖2-8所示系統(tǒng)中左邊第一質(zhì)量上作用有激振力試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 (2-151)(2-152)第110頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二解：已知系統(tǒng)的固有頻率為 正則振型矩陣： 激振力向量： 正則坐標(biāo)下的激振力向量：第111頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二第一個(gè)正則方程是相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 同樣可解出第2個(gè)、第3個(gè)正則方程的穩(wěn)態(tài)解（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）第112頁(yè)，共168頁(yè)，2022

44、年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 由于激振頻率接近第二階固有頻率，在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中第二階振型占主要成分。 第113頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二3、有阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng)(1) 阻尼矩陣的近似處理方法（2-153）（2-154）第114頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 該條件較為苛刻，一般的有阻尼多自由度系統(tǒng)不滿足式（2-155）所給出的條件，因而主坐標(biāo)方法已經(jīng)不再適用，振動(dòng)分析將變得十分復(fù)雜。為了能沿用無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)中的主坐標(biāo)方法，工程上常對(duì)阻尼矩陣采用近似處理方法。方法1：非對(duì)角元素忽略法方法2：比例阻尼法方

45、法3：實(shí)驗(yàn)測(cè)定法 解耦的充分必要條件：（2-155）第115頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二方法1：非對(duì)角元素忽略法。忽略矩陣 中的全部非對(duì)角元素，取 式（2-154）已經(jīng)解耦, 第i個(gè)方程：（2-156）（2-157）（2-158）第116頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二方法2：比例阻尼法。將矩陣C假設(shè)為比例阻尼，即 （2-159）（2-160）（2-161）第117頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二方法3：實(shí)驗(yàn)測(cè)定法。由于各種阻尼的機(jī)理很復(fù)雜，實(shí)際的阻尼矩陣C不容易精確測(cè)定或計(jì)算。當(dāng)阻尼比較小的時(shí)候，常通過(guò)實(shí)

46、驗(yàn)直接測(cè)定各階振型阻尼比 ，以確定式(2-157)中的各個(gè)參數(shù)。矩陣 可由式（2-156）及式（2-161）得到。這種方法有較大的實(shí)用價(jià)值，但是只適用于各階阻尼比 的情況。 第118頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二(2) 有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng) 利用上述對(duì)阻尼矩陣的幾種近似處理方法所得到的矩陣 都是對(duì)角矩陣，稱為主阻尼矩陣，此時(shí)主坐標(biāo)下的強(qiáng)迫振動(dòng)方程已全部解耦。故根據(jù)單自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)理論，可得到系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)（2-162）（2-163）第119頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二計(jì)算有阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)的步驟（振型疊加法） 對(duì)相應(yīng)

47、的無(wú)阻尼系統(tǒng)作固有振動(dòng)分析，求出各階固有頻率及相應(yīng)的主振型； 利用振型矩陣作坐標(biāo)變換，使動(dòng)力學(xué)方程解耦，阻尼矩陣采用近似處理方法； 計(jì)算主坐標(biāo)下的初始條件和激勵(lì)向量； 計(jì)算系統(tǒng)在主坐標(biāo)下的響應(yīng)； 將主坐標(biāo)下的系統(tǒng)響應(yīng)轉(zhuǎn)換為原來(lái)物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。第120頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二若計(jì)算有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)主坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)解 (2-163)(2-164)(2-165)(2-166)第121頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生第 s階共振，（2-168）（2-169）當(dāng)振型阻尼比較小時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)形

48、態(tài)接近第s階主振型，即因此，可以用一般的共振實(shí)驗(yàn)方法近似測(cè)定系統(tǒng)的各階固有頻率及相應(yīng)的主振型。由式（2-168）還可以看到，如果激振力幅向量與第s階主振型正交，即 ，式（2-168）的展開(kāi)式中不包括相應(yīng)于 的這一項(xiàng)，故未被激勵(lì)所激發(fā)的主振型對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)沒(méi)有貢獻(xiàn)。第122頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二(3) 傳遞函數(shù)矩陣與幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 Laplace變換，假設(shè)零初始條件(2-170)(2-171)(2-172)系統(tǒng)的輸出與輸入關(guān)系：第123頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二故傳遞函數(shù)矩陣只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量、剛度及

49、阻尼物理性質(zhì)（參數(shù)），且 令 由式（2-171）、式（2-173）得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣 （2-173）（2-174）第124頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二頻率域內(nèi)輸出與輸入的關(guān)系：（2-175）（2-176）幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣只取決于系統(tǒng)本身的物理參數(shù)，它在計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)以及確定系統(tǒng)的動(dòng)力特性學(xué)方面都很有用處。 第125頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二第四節(jié) 一般粘性阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng) 首先來(lái)考察一般粘性阻尼系統(tǒng)的矩陣特征值問(wèn)題。 有非零解的充要條件（克萊姆法則）是 式（2-179）描述了一般粘性阻尼系統(tǒng)的特性方程，它是關(guān)于的

50、2n次代數(shù)多項(xiàng)式方程。（2-177）（2-178）（2-179） 當(dāng)阻尼矩陣不能近似處理時(shí)，主坐標(biāo)法（振型疊加法）不能沿用，可采用狀態(tài)方程法（復(fù)模態(tài)方法）。第126頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 現(xiàn)對(duì)式（2-178）補(bǔ)充一個(gè)方程則式（2-180）與式（2-178）可以合寫(xiě)成 或（2-180）（2-181）第127頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二設(shè)在式(2-181)中令 ，再將式（2-182）代入，得 由于描述的是同一個(gè)系統(tǒng)，式（2-183）與式（2-178）有著相同的特征值，通過(guò)比較式（2-182）與式（2-177） ，得知兩者的特征向

51、量的關(guān)系為（2-182）（2-183）（2-184）第128頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二式（2-183）的矩陣特征值問(wèn)題在形式上與 完全相同。記 為對(duì)應(yīng)于 ，則必然存在類似于 的正交性，即有 （2-185）（2-186）第129頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二當(dāng) 時(shí)，記由式（2-183）可以推導(dǎo)出記為2n階方陣，且定義（2-187）（2-188）（2-189）第130頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 假定系統(tǒng)的 2n個(gè)特征值互不相同，式（2-185）式（2-187）給出的正交性可以表示為矩陣形式 如果將 階

52、矩陣 及2n階對(duì)角陣 定義為 （2-190）（2-191）（2-192）（2-193）第131頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二對(duì)式（2-181）作坐標(biāo)變換，令把上式代入式（2-195），得到該方程已全部解耦。第i個(gè)方程： 或（2-194）（2-195）（2-196）（2-197）（2-198）第132頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二式（2-198） Laplace變換Laplace逆變換（2-199）（2-200）（2-201）第133頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 第 i個(gè)初始條件： 再根據(jù)（2-202）（

53、2-203）（2-204）（2-205）第134頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 一般粘性阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)：式（2-205）將式（2-200）代入式（2-207），得Laplace變換零初始條件（2-206）（2-207）（2-208）（2-209）第135頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為把上述兩式相減，得2n個(gè)復(fù)模態(tài) 之間存在的n個(gè)線性關(guān)系，其矩陣形式為 式(2-210) （2-210）（2-211）（2-212）（2-213）（2-214）第136頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二

54、 如果激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，用復(fù)數(shù)表示為 ，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可通過(guò)在式（2-197）中令 ，x是振幅列向量，代入式 于是，系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)數(shù)形式為（2-215）第137頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二第五節(jié) 多自由度線性系統(tǒng)振動(dòng)的近似解法 多自由度線性系統(tǒng)的固有振動(dòng)歸結(jié)為求解矩陣特征值問(wèn)題，當(dāng)自由度數(shù)較大時(shí)，這種求解的計(jì)算工作量非常大，已不適合采用手算方法，對(duì)特征多項(xiàng)式求根。 多自由度線性系統(tǒng)的廣義矩陣特征值問(wèn)題可描述為 標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問(wèn)題可寫(xiě)成 系統(tǒng)的剛度矩陣與柔度矩陣之間的關(guān)系： (2-216)(2-217)(2-218)第138頁(yè)，共168頁(yè)，2022年

55、，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二除了代數(shù)多項(xiàng)式求根這一類方法外，還有向量迭代法、矩陣變換法可用于求解矩陣特征值問(wèn)題，這些方法通常要借助計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)。矩陣迭代法屬于向量迭代法，過(guò)程簡(jiǎn)單，適宜于解自由度數(shù)不很大的系統(tǒng)最低的幾階固有頻率及主振型。子空間迭代法兼有向量迭代法和矩陣變換法的特點(diǎn)，對(duì)于求解大型復(fù)雜振動(dòng)系統(tǒng)較低的若干階固有頻率及主振型非常有效。求解系統(tǒng)響應(yīng)近似解的振型截?cái)喾?。從能量守恒原理出發(fā)求解系統(tǒng)最低（或較低）的幾階固有頻率的方法，如鄧柯萊法（簡(jiǎn)單實(shí)用）、瑞利法、里茲法。第139頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二一、鄧柯萊法由該公式計(jì)算出的基頻是精確值的下限！

56、 （2-221）第140頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二二、瑞利法 對(duì)于保守系統(tǒng)，從 得到瑞利商 的表達(dá)式 若振型 X 就是第 r階主振型 ，則瑞利商為 （2-222）（2-223）（2-225）（2-224）第141頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 當(dāng) 時(shí)，確有 ，所以R(X)的最（極）小為 。同樣，可以證明 R(X)的極大值為 。（2-226）（2-227）第142頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二三、里茲法（Ritz）法瑞利法計(jì)算出的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對(duì)第一階主振型的近似程度，而且得到的基頻總是精確

57、的上限。里茲法對(duì)近似振型給出更合理的假設(shè)，從而使算出的基頻值進(jìn)一步下降，并且可以得到系統(tǒng)較低的前幾階固有頻率及相應(yīng)的主振型。 里茲法假設(shè)系統(tǒng)的近似主振型為 把式（2-228）代入瑞利商的表達(dá)式得 （2-228）（2-229）第143頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 、 是s階方陣，且由于R(X)在系統(tǒng)的真實(shí)主振型處于駐值，所以的各元素應(yīng)當(dāng)從方程確定。由于剛度矩陣、質(zhì)量矩陣的階數(shù)s一般小于系統(tǒng)自由度數(shù)n，上式所示的矩陣特征值問(wèn)題比原來(lái)系統(tǒng)的矩陣特征值問(wèn)題求解容易。因而，里茲法實(shí)際上是一種縮減系統(tǒng)自由度數(shù)求固有振動(dòng)的近似解法。 (2-231)(2-230)(2-232)

58、第144頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二四、矩陣迭代法 在求解系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)較低的前幾段固有頻率及相應(yīng)的主振型占有較重要的地位，采用矩陣迭代法既實(shí)用又比較簡(jiǎn)單。 矩陣特征值問(wèn)題 (2-233)(2-234)(2-235)第145頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二(2-236)若特征值 是特征方程的重根，則上式中的 都小于1。因此，與其它主振型相比較，第一階主振型 在X2內(nèi)占的比重相對(duì)比在X1中占的比重要大，即用矩陣A 迭代計(jì)算一次以后，擴(kuò)大了迭代向量中第一階主振型的優(yōu)勢(shì)。第146頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，

59、星期二 隨著迭代次數(shù)的增加，第一階主振型的優(yōu)勢(shì)越來(lái)越擴(kuò)大。當(dāng)?shù)螖?shù)充分大時(shí)，由上式近似得到為了防止迭代過(guò)程中迭代向量的元素變得過(guò)大或者過(guò)小，每次迭代后需要使向量歸一化，例如使它最后一個(gè)元素成為1。第147頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二五、子空間迭代法 把矩陣迭代法與里茲法相結(jié)合就可以得到一種新的計(jì)算方法，即子空間迭代法，它對(duì)求解自由度數(shù)較大的系統(tǒng)較低的前若干階固有頻率及主振型非常有效。六、振型截?cái)喾?對(duì)自由度數(shù)n很大的復(fù)雜振動(dòng)系統(tǒng)，不可能求出全部的固有頻率和相應(yīng)的主振型，再用振型疊加法分析系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)。當(dāng)激勵(lì)頻率主要包含低頻成份時(shí)，可以不考慮高階振型及固有頻

60、率對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，而只利用較低的前面若干階固有頻率及主振型近似分析系統(tǒng)的響應(yīng)，這就是工程上常用的振型截?cái)喾ā?假設(shè)已經(jīng)求出系統(tǒng)較低的前s階固有頻率、主振型 ，則無(wú)阻尼系統(tǒng)在第 i個(gè)主坐標(biāo)的響應(yīng)描述為第148頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二則式（2-133）可以寫(xiě)成 略去高階振型部分，就得到下列近似的系統(tǒng)響應(yīng)（2-237）第149頁(yè)，共168頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)32分，星期二 如果考慮系統(tǒng)阻尼，并假定其主阻尼矩陣 是對(duì)角陣，則只需要確定前s階的振型阻尼比，而將高階的振型阻尼比 假定為零，即有撇去高階振型部分，得到有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)的近似解 （2-238）第15