小學(xué)奧數(shù)：容斥原理之最值問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

1、7-7-5,容斥原理之最值問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1, 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2,掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問(wèn)題B AI B （其中符號(hào)“ U ”讀作讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”圖示如下：A表示小圓部分，BB ,即陰影面積.圖示如下：A表在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算. 求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù), 不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：AUB A“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“ I ”的意思.）則稱(chēng)這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱(chēng)容斥原理

2、.表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AI示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AIB,即陰影面積.先包含一一A B重疊部分AI B計(jì)算了 2次，多加了 1次;.再排除一一A B AI B把多加了 1次的重疊部分 AI B減去.包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A B的并集AUB的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合 A、B的元素個(gè)數(shù)，然后加起來(lái)，即先求 A B （意思是把 A B的一 切元素都“包含”進(jìn)來(lái)，加在一起）；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去C AI B （意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)）.二、三量重疊問(wèn)題A類(lèi)、

3、B類(lèi)與C類(lèi)元素個(gè)數(shù)的總和A類(lèi)元素的個(gè)數(shù)B類(lèi)元素個(gè)數(shù) C類(lèi)元素個(gè)數(shù)既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)既是B類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)既是A類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù) 同時(shí)是 A類(lèi)、B類(lèi)、C類(lèi)的元素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為： AU BUC A B C AIB BIC AIC AI BIC.圖示如下：7- 7-5,容斥原理之最值問(wèn)題.題庫(kù)6教師版page 1 of1 .先包含：重疊部分2.再排除：重疊部分圖中小圓表示 A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B的元素的個(gè)數(shù), 大圓表示C的元素的個(gè)數(shù).AAIAAIB CB、BI C、C I A重疊了 2次，多加了 1次.B C AI B BI C AI CB I C重疊了 3次，但是在進(jìn)行

4、ABCAI B BI C AI C計(jì)算時(shí)都被減掉了.在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來(lái)幫助分析思考.再包含：A B C AI B BI C AI C AI B I C .【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空例題精講【例1】“走美”主試委員會(huì)為三八年級(jí)準(zhǔn)備決賽試題。每個(gè)年級(jí)12道題，并且至少有8道題與其他各年級(jí)都不同。如果每道題出現(xiàn)在不同年級(jí)，最多只能出現(xiàn)3次。本屆活動(dòng)至少要準(zhǔn)備 道決賽試題?！究键c(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題一【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級(jí)，決賽，第 9題【解析】每個(gè)年級(jí)都有自己8道題目，然后可以三至五年級(jí)共用4道題目，六到八年級(jí)共

5、用4道題目，總共有8 6 4 2 56 (道)題目。【答案】56題【例2】 將113這13個(gè)數(shù)字分別填入如圖所示的由四個(gè)大小相同的圓分割成的13個(gè)區(qū)域中，然后把每個(gè)圓內(nèi)的 7個(gè)數(shù)相加，最后把四個(gè)圓的和相加，問(wèn)：和最大是多 少？【解析】越是中間，被重復(fù)計(jì)算的越多，最中心的區(qū)域被重復(fù)計(jì)算四次，將數(shù)字按從大到小依次填寫(xiě)于被重復(fù)計(jì)算多的區(qū)格中，最大和為：13X4+( 12+11+10+9) X 3+( 8+7+6+5) X 2+( 4+3+2+1) =240.【答案】240【例3】如圖，5條同樣長(zhǎng)的線(xiàn)段拼成了一個(gè)五角星.如果每條線(xiàn)段上恰有 1994個(gè)點(diǎn)被染成紅色，那么在這個(gè)五角星上紅色點(diǎn)最少有多少個(gè)？

6、【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】如下圖，下圖中“ d ”位置均有兩條線(xiàn)段通過(guò)，也就是交點(diǎn)，如果這些交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)7- 7-5.容斥原理之最值問(wèn)題.題庫(kù)6教師版page 2 of的線(xiàn)段都在“ d ”位置恰有紅色點(diǎn)， 那么在五角星上重疊的紅色點(diǎn)最多，所以此時(shí)顯現(xiàn)的紅色點(diǎn)最少，有1994X 5 -（2- 1） X 10=9960個(gè).【答案】9960【例4】 某班共有學(xué)生48人，其中27人會(huì)游泳，33人會(huì)騎自行車(chē)，40人會(huì)打乒乓球.那 么，這個(gè)班至少有多少學(xué)生這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)？【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】（法1）首先看至少有多少人會(huì)游泳、自行車(chē)兩項(xiàng)，由

7、于會(huì)游泳的有27人，會(huì)騎自行車(chē)的有33人，而總?cè)藬?shù)為48人，在會(huì)游泳人數(shù)和會(huì)騎自行車(chē)人數(shù)確定的情況 下，兩項(xiàng)都會(huì)的學(xué)生至少有27 33 48 12人，再看會(huì)游泳、自行車(chē)以及乒乓球三項(xiàng)的學(xué)生人數(shù)，至少有 12 40 48 4人. 該情況可以用線(xiàn)段圖來(lái)構(gòu)造和示意：48人33人40人（法2）設(shè)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的人有 x人，只會(huì)兩項(xiàng)的有 y人，只會(huì)一項(xiàng)的有z人, 那么根據(jù)在統(tǒng)計(jì)中會(huì) n項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的學(xué)生被統(tǒng)計(jì) n次的規(guī)律有以下等式：3x 2y z 27 33 40 x y z 48x, y,z 0由第一條方程可得到 z 100 3x 2y,將其代入第二條式子得到：100 2x y 48 ,即 2x y 52L

8、L L L 而第二條式子還能得到式子x y 48 ,即2x y 48 xL L L L聯(lián)立和得到48 x 52,即x 4 .可行情況構(gòu)造同上.【答案】4【鞏固】某班有 50名學(xué)生，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有 28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有 23人，參加英語(yǔ) 競(jìng)賽的有20人，每人最多參加兩科，那么參加兩科的最多有 人.【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】根據(jù)題意可知，該班參加競(jìng)賽的共有28 23 20 71人次.由于每人最多參加兩科，也就是說(shuō)有參加 2科的，有參加1科的，也有不參加的，共是 71人次.要求 參加兩科的人數(shù)最多，則讓這71人次盡可能多地重復(fù)，而 71 2 35L L 1 ,所

9、以至多有35人參加兩科，此時(shí)還有 1人參加1科.那么是否存在 35人參加兩科的情況呢？由于此時(shí)還有1人是只參加一科的，假設(shè)這個(gè)人只參加數(shù)學(xué)一科，那么可知此時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科的共有（28 22 20） 2 15人，參加語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科的共有 28 15 13人，參加數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科的共有20 13 7人.也就是說(shuō)，此時(shí)全班有15人參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科，13人參加語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科，7人參加數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科，1人只參加數(shù)學(xué)1科，還有14人不參加.檢驗(yàn)可知符合題設(shè)條件.所以 35人是可以達(dá) 到的，則參加兩科的最多有 35人.（當(dāng)然本題中也可以假設(shè)只參加一科的參加的是語(yǔ)文或英 語(yǔ)）【答案】35【鞏固】60人中有

10、2的人會(huì)打乒乓球， 衛(wèi)的人會(huì)打羽毛球， 上的人會(huì)打排球，這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng) 3457- 7-5.容斥原理之最值問(wèn)題.題庫(kù)6教師版page 3 of都會(huì)的人有22人，問(wèn)：這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不會(huì)的最多有多少人？【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】設(shè)只會(huì)打乒乓球和羽毛球兩項(xiàng)的人有x人，只會(huì)打乒乓球和排球兩項(xiàng)的有 y人，只 TOC o 1-5 h z 會(huì)打羽毛球和排球兩項(xiàng)的有 z人.由于只會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中的一項(xiàng)的不可能小于0,所以x、v、 z有如下關(guān)系：40 xy22045xz22048yz220將三條關(guān)系式相加，得到 x y z 33,而60人當(dāng)中會(huì)至少一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)有40 45 48 x y

11、z 2 22 56人，所以60人當(dāng)中三項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)最多4人（當(dāng)x、V、z分別取7、11、15時(shí)，不等式組成立）.【答案】4【例5】 圖書(shū)室有100本書(shū)，借閱圖書(shū)者需在圖書(shū)上簽名.已知這100本書(shū)中有甲、乙、丙簽名的分別有 33, 44和55本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書(shū)為29本，同時(shí)有甲、丙簽名的圖書(shū)為 25本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書(shū)為36本.問(wèn)這批圖書(shū)中最少有多少本沒(méi)有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過(guò)？【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】設(shè)甲借過(guò)的書(shū)組成集合 A,乙借過(guò)的書(shū)組成集合 B,丙借過(guò)的書(shū)組成集合 C.那=33, |B|=44, IC =55, |AI B卜29

12、 AI C| =25, |BI C| =36.本題只需算出甲、乙、丙中至少有一人借過(guò)的書(shū)的最大值，再將其與100作差即可.|aubuc| |a| |b| |c| |ai b| |ai c| |bi c| |ai bi c|,當(dāng)|AI BI C|最大時(shí)，|AU BUC|有最大值.也就是說(shuō)當(dāng)三人都借過(guò)的書(shū)最多時(shí)，甲、乙、 丙中至少有一人借過(guò)的書(shū)最多.而|AI BI C|最大不超過(guò)|A、怛卜 C |AI B|、|BI C|、|AI C| 6個(gè)數(shù)中的最小值，所 以 |AI BI C|最大為 25.此時(shí) |AU BUC| =33+44+55-29-25-36+25=67 ,即三者至少有一人 借過(guò)的書(shū)最多

13、為 67本，所以這批圖書(shū)中最少有 33本沒(méi)有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過(guò).【答案】33【鞏固】甲、乙、丙都在讀同-一本故事書(shū)，書(shū)中有 100個(gè)故事.每個(gè)人都從某一個(gè)故事開(kāi) TOC o 1-5 h z 始，按順序往后讀.已知甲讀了 75個(gè)故事，乙讀了 60個(gè)故事，丙讀了 52個(gè)故事.那 么甲、乙、丙3人共同讀過(guò)的故事最少有多少個(gè)？甲如 甲.乙35乙26I -1商52【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】 考慮甲乙兩人情況，有甲乙都讀過(guò)的最少為：75+60-100=35個(gè)，此時(shí)甲單獨(dú)讀過(guò)的為75-35=40個(gè)，乙單獨(dú)讀過(guò)的為 60-35=25個(gè)；欲使甲、乙、丙三人都讀過(guò)的書(shū)7

14、- 7-5.容斥原理之最值問(wèn)題.題庫(kù)6教師版page4 of最少時(shí)，應(yīng)將丙讀過(guò)的書(shū)盡量分散在某端，于是三者都讀過(guò)書(shū)最少為 52-40=12個(gè).【答案】12【例6】 某數(shù)學(xué)競(jìng)賽共160人進(jìn)入決賽，決賽共四題，做對(duì)第一題的有136人，做對(duì)第二題的有125人，做對(duì)第三題的有 118人，做對(duì)第四題的有 104人。在這次決賽中 至少有 得滿(mǎn)分。【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，5年級(jí)，決賽，第10題【解析】設(shè)得滿(mǎn)分的人都做對(duì)3道題時(shí)得滿(mǎn)分的人最少，有 136+125+118+104-160 3=3（人）?！敬鸢浮?人【例7】 某班有46人，其中有40人會(huì)騎自行車(chē)，38人

15、會(huì)打乒乓球，35人會(huì)打羽毛球，27人會(huì)游泳，則該班這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的至少有 人。【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】5星 【題型【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】不會(huì)騎車(chē)的6人，不會(huì)打乒乓球的 8人，不會(huì)羽毛球的11人，不會(huì)游泳的19人， 那么至少不會(huì)一項(xiàng)的最多只有6+8+11+19=44人，那么思想都會(huì)的至少 44人【答案】44人【例8 在陽(yáng)光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了 30盆，乙澆了 75盆，丙澆了 80盆，丁澆了 90盆，請(qǐng)問(wèn)恰好被 3個(gè)人澆過(guò)的花最 少有多少盆？【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】5星【題型】填空【解析】為了恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花盆數(shù)量最

16、少，那么被四個(gè)人澆過(guò)的花、兩個(gè)人澆過(guò)的花 和一個(gè)人澆過(guò)的花數(shù)量都要盡量多，那么應(yīng)該可以知道被四個(gè)人澆過(guò)的花數(shù)量最多是30盆，那么接下來(lái)就變成乙澆了45盆，丙澆了 50盆，丁澆60盆了，這時(shí)共有100 30 70盆花，我們要讓這 70盆中恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花最少，這就是簡(jiǎn)單 的容斥原理了，恰好被 3個(gè)人澆過(guò)的花最少有 45 50 60 140 15盆.【答案】15【鞏固】 甲、乙、丙同時(shí)給100盆花澆水.已知甲澆了 78盆，乙澆了 68盆，丙澆了 58盆， 那么3人都澆過(guò)的花最少有多少盆 ？【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都澆過(guò)的最少為：78+68-100=46盆，此時(shí)甲單獨(dú)澆過(guò)的為78-46=32盆，乙單獨(dú)澆過(guò)的為 68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都澆過(guò)的花最少時(shí)，應(yīng)將丙澆過(guò)的花盡量分散在兩端.于是三者都澆過(guò)花最少為58-32-22=4盆.【答案】4【鞏固】 在陽(yáng)光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了 30盆，乙澆了 75盆，丙澆了 80盆，丁澆了 90盆，請(qǐng)問(wèn)恰好被1個(gè)人澆過(guò)的花最少有多