華東師范版數(shù)學中考總復習函數(shù)綜合-知識講解(提高)

1、光前教育/朝天門校區(qū)/22608806中考總復習：函數(shù)綜合知識講解（提高）【考綱要求】1平面直角坐標系的有關知識平面直角坐標系中各象限和坐標軸上的點的坐標的特征，求點關于坐標軸、坐標原點的對稱點的坐標，求線段的長度，幾何圖形的面積，求某些點的坐標等.2函數(shù)的有關概念求函數(shù)自變量的取值范圍，求函數(shù)值、函數(shù)的圖象、函數(shù)的表示方法3函數(shù)的圖象和性質常見的題目是確定圖象的位置，利用函數(shù)的圖象確定某些字母的取值，利用函數(shù)的性質解決某些問題利用數(shù)形結合思想來說明函數(shù)值的變化趨勢，又能反過來判定函數(shù)圖象的位置4函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式，求拋物線的頂點坐標、對稱軸方程，利用函數(shù)的解析式來求某些字母或代數(shù)式的

2、值一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)常與一元一次方程、一元二次方程、三角形的面積、邊角關系、圓的切線、圓的有關線段組成綜合題【知識網(wǎng)絡】全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806【考點梳理】考點一、平面直角坐標系1相關概念（1）平面直角坐標系（2）象限（3）點的坐標2.各象限內(nèi)點的坐標的符號特征3.特殊位置點的坐標（1）坐標軸上的點（2）一三或二四象限角平分線上的點的坐標（3）平行于坐標軸的直線上的點的坐標（4）關于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標4.距離（1）平面上一點到x軸、y軸、原點的距離（2）坐標軸或平行于坐標軸的直線上兩點間的距離（3）平面上任意兩點間的距離5.坐

3、標方法的簡單應用（1）利用坐標表示地理位置（2）利用坐標表示平移要點詮釋：點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于y；（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于x；（3）點P(x,y)到原點的距離等于x2y2.考點二、函數(shù)及其圖象1.變量與常量2.函數(shù)的概念3.函數(shù)的自變量的取值范圍4.函數(shù)值5.函數(shù)的表示方法（解析法、列表法、圖象法）6.函數(shù)圖象要點詮釋：由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟：（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應值；（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應的點；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來.考點

4、三、一次函數(shù)1.正比例函數(shù)的意義2.一次函數(shù)的意義3.正比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質4.一次函數(shù)的圖象與二元一次方程組的關系5.利用一次函數(shù)解決實際問題要點詮釋：全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)kx（k0）中的常數(shù)k；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)kxb（k0）中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.考點四、反比例函數(shù)1.反比例函數(shù)的概念2.反比例函數(shù)的圖象及性質3.利用反比例函數(shù)解決實際問題要點詮釋：反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義，如下圖，過反比例函數(shù)ykx(k0)圖像上任一點P(x,y)

5、作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足為M、N，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=yxxy.yk,xyk，S|k|.x考點五、二次函數(shù)1.二次函數(shù)的概念2.二次函數(shù)的圖象及性質3.二次函數(shù)與一元二次方程的關系4.利用二次函數(shù)解決實際問題要點詮釋：1、兩點間距離公式（當遇到?jīng)]有思路的問題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）如圖：點A坐標為（x1，y1），點B坐標為（x2，y2），則AB間的距離，即線段AB的長度為x1x22y1y22.全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/226088062、函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減.3、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那

6、么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當xb2a4acb2時，y.4a最值如果自變量的取值范圍是x1xx，那么，首先要看2b2a是否在自變量取值范圍x1xx內(nèi)，22a4ab4acb2若在此范圍內(nèi)，則當x=時，y最值；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1xx范2圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當xx時，y2最大ax22bx2c，當xx1時，y最小ax21bx1c；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當xx時，y1最大ax21bx1c，當xx時，y2最小ax22bx2c.4、拋物線的對稱變換關于x軸對稱yax2bxc關于x軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；k關于x軸對

7、稱后，得到的解析式是yaxhyaxh22k.關于y軸對稱yax2bxc關于y軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；k關于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhyaxh22k.關于原點對稱yax2bxc關于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc；k關于原點對稱后，得到的解析式是yaxhyaxh22全國統(tǒng)一熱線：22608806k.光前教育/朝天門校區(qū)/22608806關于頂點對稱b2yax2bxc關于頂點對稱后，得到的解析式是yax2bxc；2ak關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhyaxh22k關于點m，n對稱yaxh2k關于點m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m22nk.根據(jù)對稱的性質

8、，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠不變求拋物線的對稱圖象的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式考點六、函數(shù)的應用1.一次函數(shù)的實際應用2.反比例函數(shù)的實際應用3.二次函數(shù)的實際應用要點詮釋：分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關系式（或圖象）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應用題多設計成兩種情況以上，解答時需分段討論.在現(xiàn)實生活中存在著很多需分段計費的實際問題，因此，分段計算的應用題成了近幾年中考應用題的一種重

9、要題型.【典型例題】類型一、用函數(shù)的概念與性質解題1在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，0），點P是第一象限內(nèi)的直線y=6x上的點，O是坐標原點（如圖所示）：（1）P點坐標設為(x,y)，寫出OPA的面積S的關系式；（2）S與y具有怎樣的函數(shù)關系，寫出這函數(shù)中自變量y的取值范圍；（3）S與x具有怎樣的函數(shù)關系？寫出自變量x的取值范圍；（4）如果把x看作S的函數(shù)時，求這個函數(shù)解析式，并寫出這函數(shù)中自變量取值范圍；（5）當S=10時，求P的坐標；（6）在直線y=6x上，求一點P，使POA是以OA為底的等腰三角形.全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806【思路點撥】本例

10、的第（1）問是“SOPA”與“y”的對應關系，呈現(xiàn)正比例函數(shù)關系，y是自變量；第（3）問是“S”與“x”的對應關系，呈現(xiàn)一次函數(shù)關系，x是自變量；第（4）問是“x”與“S”的對應關系，呈現(xiàn)一次函數(shù)關系，S是自變量，不要被是什么字母所迷惑，而是要從“對應關系”這個本質去考慮，分清哪個是函數(shù)，哪個是自變量.【答案與解析】解：（1）過P點作x軸的垂線，交于Q，SOPA=|OA|PQ|=4y=2y.（2）S與y成正比例函數(shù)，即S=2y，自變量y的取值范圍是0y6.（3）y=6-x,S=2y=2(6-x)=12-2x,S=-2x+12成為一次函數(shù)關系，自變量x的取值范圍是0 x6.（4）把x看作S的函數(shù)

11、，將S=-2x+12變形為：x=,即這個函數(shù)的解析式為：x=-+6.自變量S的取值范圍是：0S12.（5）當S=10時，代入（3）、（4）得：x=-+6=-+6=1,S=2y,10=2y,P點的坐標為（1，5）.（6）以OA為底的等腰OPA中，OA=4，OA的中點為2，x=2,y=6-x,y=4.即P點坐標為（2，4）.y=5,全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806【總結升華】數(shù)學從對運動的研究中引出了基本的函數(shù)概念，函數(shù)的本質就是對應，函數(shù)關系就是變量之間的對應關系，是一種特殊的對應關系.函數(shù)的概念中，有兩個變量，要分清對應關系，哪一個字母是函數(shù)，哪一個是自變量

12、.比如“把x看作S的函數(shù)”時，對應關系為用S表示x,其中S是自變量，x是函數(shù).舉一反三：【變式】已知關于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù).（1）求k的值；（2）當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k-1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合這個新的圖象回答：當直線y=12與x+b(bk)此圖象有兩公共點時，b的取值范圍.【答案】解：（1）由題意得，168(k1)0k3k為正整數(shù)，k1，2，3（2）當k1

13、時，方程2x24xk10有一個根為零；當k2時，方程2x24xk10無整數(shù)根；全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806當k3時，方程2x24xk10有兩個非零的整數(shù)根綜上所述，k1和k2不合題意，舍去；k3符合題意當k3時，二次函數(shù)為y2x24x2，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為y2x24x6（3）設二次函數(shù)y2x24x6的圖象與x軸交于A、B兩點，則A(3,0),B(1,0)依題意翻折后的圖象如圖所示當直線y13xb經(jīng)過A點時，可得b；2211當直線yxb經(jīng)過B點時，可得b22由圖象可知，符合題意的b(b3)的取值范圍為12b322如圖，在矩形AB

14、CD中，AB=3，BC=4，點P在BC邊上運動，連結DP，過點A作AEDP，垂足為E，設DP=x，AE=y，則能反映y與x之間函數(shù)關系的大致圖象是()【解析】這是一個動點問題.很容易由ADEDPC得到AE(A)(B)(C)(D)【思路點撥】本題應利用APD的面積的不同表示方法求得y與x的函數(shù)關系；或由ADEDPC得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系【答案】C；AD12=，從而得出表達式y(tǒng)；CDDPxeqoac(,S)APD也可連結PA，由112=S得到表達式y(tǒng)，排除(A)、(B).2矩形ABCDx因為點P在BC邊上運動，當點P與點C重合時，DP與邊DC重合，此時DP最短，x=3；當點P與點B重合時，DP與對角

15、線BD重合，此時DP最長，x=5，即x的臨界值是3和5.又因為當x取3和5時，線段AE的長可具體求出，因此x的取值范圍是3x5.全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806正確答案選(C).【總結升華】解決動點問題的常用策略是“以靜制動，動靜結合”.找準特殊點，是求出臨界值的關鍵.動態(tài)問題也是中考試題中的常見題型，要引起重視.舉一反三：【變式】小明騎自行車上學，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行車出了故障，只好停下來修車.車修好后，因怕耽誤上課，他比修車前加快騎車速度繼續(xù)勻速行駛，下面是行駛路程s(m)關于時間t(min)的函數(shù)圖象，那么符合這個同學行駛情況的圖象大

16、致是().【答案】A表示小明一直在停下來修車，而沒繼續(xù)向前走，B表示沒有停下來修車，相反速度騎的比原來更慢，D表示修車時又向回走了一段路才修好后又加快速度去學校.選項C符合題意.類型二、函數(shù)的綜合題3如圖，把RtABC放在直角坐標系內(nèi)，其中CAB=90，BC=5，點A、B的坐標分別為（1，0）、（4，0），將ABC沿x軸向右平移，當點C落在直線y=2x6上時，線段BC掃過的面積為（）A4B8C16D82yCOABx【思路點撥】此題涉及運用勾股定理；已知一次函數(shù)解析式中的y值，解函數(shù)轉化的一元一次方程求出x值，利用橫坐標之差計算平移的距離；以及平行四邊形面積公式.【答案】C；【解析】將ABC沿x

17、軸向右平移，當點C落在直線y=2x6上時即當y=4時，解得x=5，所以平移的距離為5-1=4，又知BC掃過的圖形為平行四邊形，高不變?yōu)椋?22(41)4，所以平行四邊形面積=底高=44=16.【總結升華】運用數(shù)形結合、平移變換、動靜變化的數(shù)學思想方法是解此題的關鍵，綜合性較強.舉一反三：全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806【變式】在坐標系中，二次函數(shù)ymx2(m3)x3(m0)的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C.（1）求點A的坐標；（2）當ABC45時，求m的值；（3）已知一次函數(shù)ykxb，點P（n，0）是x軸上的一個動點，在（2）的

18、條件下，過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點M，交二次函數(shù)ymx2(m3)x3(m0)的圖象于N.若只有當2n2時，點M位于點N的上方，求這個一次函數(shù)的解析式.【答案】（1）點A、B是二次函數(shù)ymx2m3x3（m0）的圖象與x軸交點，令y0，即ymx2m3x3.11，x23解得：xm.又點A在點B左側且m0，點A的坐標為（-1，0）.y543232A11O1123Bx23C45（2）由（1）可知點B的坐標為（3，0）m二次函數(shù)與y軸交于點C，點C的坐標為（0，-3）.ABC=45，全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/226088063=3.mm=1.（3）由（2）得，

19、二次函數(shù)解析式為yx22x3.依題意并結合圖象可知，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標分別為-2和2，由此可得交點坐標為（-2，5）和（2，-3）.將交點坐標分別代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)kxb中，2kb5，得2kb3，解得k2.b1.一次函數(shù)的解析式為y2x1.y5432PA3121O12312MCN3Bx454（2015湖北模擬）函數(shù)y=和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點P是y=的圖象上一動點，PCx軸于點C，交y=的圖象于點B給出如下結論：ODB與OCA的面積相等；PA與PB始終相等；四邊形PAOB的面積大小不會發(fā)生變化；CA=AP其中所有正確結論的序號是（）ABCD全國統(tǒng)一熱線：226

20、08806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806eqoac(,=S)=【思路點撥】由于A、B是反比函數(shù)y=上的點，可得出SOBDOAC，故正確；當P的橫縱坐標相等時PA=PB，故錯誤；根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可求出四邊形PAOB的面積為定值，故正確；連接PO，根據(jù)底面相同的三角形面積的比等于高的比即可得出結論【答案】C.【解析】解：A、B是反比函數(shù)y=上的點，eqoac(,=S)=SOBDOAC，故正確；當P的橫縱坐標相等時PA=PB，故錯誤；P是y=的圖象上一動點，S矩形PDOC=4，S四邊形PAOB=S矩形PDOCeqoac(,S)ODBSOAC=4=3，故正確；連接OP，=4，AC

21、=PC，PA=PC，=3，AC=AP；故正確；綜上所述，正確的結論有故選C【總結升華】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義是解答此題的關鍵舉一反三：【變式】如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=BC=4，DEBC于點E，且E是BC中點；動點P從點E出發(fā)沿路徑EDDAAB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；設點P的運動時間為t秒，PBC的面積為S，則下列能反映S與t的函數(shù)關系的圖象是（）全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806ABCD【答案】B解：根據(jù)題意得：當點P在ED上運動時，S=BCPE=2t；當點P在DA上運動時，此

22、時S=8；當點P在線段AB上運動時，S=BC（AB+AD+DEt）=5t；結合選項所給的函數(shù)圖象，可得B選項符合故選B類型三、函數(shù)與幾何綜合題5如圖，將矩形OABC放在直角坐際系中，O為坐標原點點A在y軸正半軸上點E是邊AB上的個動點(不與點A、B重合)，過點E的反比例函數(shù)yk(x0)的圖象與邊BC交于點F.x（1）若OAE、OCF的而積分別為S1、S2且S1S2=2，求k的值；（2）若OA=20C=4問當點E運動到什么位置時，四邊形OAEF的面積最大其最大值為多少?（1）設E（x，k【思路點撥】1x1kkx2），F(xiàn)（x2，），x10，x20，根據(jù)三角形的面積公式得到S1=S2=，2（2）設E

23、(k，2)，F(xiàn)(4，)，利用S四邊形OAEF=S矩形OABCeqoac(,S)BEFeqoac(,S)OCF=k425，根據(jù)二次函數(shù)的利用S1S2=2即可求出k.k12416全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806最值即可得到當點E運動到AB的中點時，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5.【答案與解析】解：（1）點E、F在函數(shù)ykx(x0)的圖象上，），F(xiàn)（x，），x0，x0，設E（x，1kkx2x1212，S2=xx.2x22x2S1=1kk1kk1212S1S2=2，kk222.k2.（2）四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，設E(kk，2)，F(xiàn)(4，).

24、24BE=4keqoac(,S)BEF=42k2=4，S矩形OABC=24=8，22416242k，BF=2.241kk11kkk4eqoac(,，S)OCFeqoac(,=)S四邊形OAEF=S矩形OABCSBEFeqoac(,S)OCF8(11kk2k4)k2416162k45.=1162當k=4時，S四邊形OAEF=5.AE=2.當點E運動到AB的中點時，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5.【總結升華】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查曲線圖上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的最值.6（2015宿遷）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（8，1），B（0，3），反比例函數(shù)y=（x0）的圖象經(jīng)過

25、點A，動直線x=t（0t8）與反比例函數(shù)的圖象交于點M，與直線AB交于點N（1）求k的值；（2）求BMN面積的最大值；（3）若MAAB，求t的值全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806【思路點撥】（1）把點A坐標代入y=（x0），即可求出k的值；（2）先求出直線AB的解析式，設M（t，），N（t，t3），則MN=t+3，由三角形的面積公式得出BMN的面積是t的二次函數(shù)，即可得出面積的最大值；（3）求出直線AM的解析式，由反比例函數(shù)解析式和直線AM的解析式組成方程組，解方程組求出M的坐標，即可得出結果【答案與解析】解：（1）把點A（8，1）代入反比例函數(shù)y=（x0）得

26、：k=18=8，y=，k=8；（2）設直線AB的解析式為：y=kx+b，根據(jù)題意得：，解得：k=，b=3，直線AB的解析式為：y=x3；設M（t，），N（t，t3），則MN=t+3，BMN的面積S=（t+3）t=t2+t+4=（t3）2+BMN的面積S是t的二次函數(shù)，0，S有最大值，當t=3時，BMN的面積的最大值為；（3）MAAB，設直線MA的解析式為：y=2x+c，把點A（8，1）代入得：c=17，直線AM的解析式為：y=2x+17，解方程組得：或（舍去），M的坐標為（，16），t=全國統(tǒng)一熱線：22608806光前教育/朝天門校區(qū)/22608806【總結升華】本題是反比例函數(shù)綜合題目，考

27、查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值問題、垂線的性質等知識；本題難度較大，綜合性強7如圖1，已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E（4，0）（1）當x取何值時，該拋物線取最大值？該拋物線的最大值是多少？（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動設它們運動的時間為t秒（0t3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）當t=時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5？若有可能，求出此時N點的坐標；若無可能，請說明理由【思路點撥】（1）根據(jù)O、E的坐標即可確定拋物線的解析式，進而求出其頂點坐標，即可得出所求的結論；（2）當t=時，OA=AP=，由此可求出P點的坐標，將其代入拋物線的解析式中進行驗證即可；此題要分成兩種情況討論：（i）PN=0時，即t=0或t=3時，以P、N、C、D為頂點的多邊形是PCD，以CD為底AD長為高即可求出其面積；（ii）PN0時，即0t3時，以P、N、C、D為頂點的多邊形是梯形PNCD，